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2024 年高考备考精英联赛调研卷
高三数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B D A B C D B AD ABD CD AD
1．【答案】C
【解析】∁ A={x|x2 −5x−6≤0}=[−1,6]，B=(2,2+e2)，故(∁ A)∩B=(2,6].
R R
2．【答案】B
【解析】设z=a+bi (a,b∈R)，由z+2=(1−i)⋅z，可得
a+2=a−b a=4
(a+2)+bi=(1−i)(a−bi)= (a−b)−(a+b)i，故 ，故 ，|z|= 16+4 =2 5.
b=−(a+b) b=−2
3．【答案】D
【解析】对于A，在α内，存在无数条直线和l垂直，A错误；对于B，当l⊂α时，l与
m不是异面直线（当l与α相交时，l与m也可能相交），B错误；对于C，当l∩α= A，且
A∉m时，l与m为异面直线，C错误；对于D，l∥α时，在α内存在直线与l平行，其可
能与m垂直，故l与m可能垂直，D正确.
4．【答案】A
【解析】设AC =4，则A（−2，0），B（4，0），C（2，0），以AB为直径的大半圆
x=2
的方程为(x−1)2 + y2 =9(y≥0)，CD的方程为x=2.由 ，得y=2 2，
(x−1)2 + y2 =9(y≥0)
2 2−0
即D(2,2 2)，故直线BD的斜率为k = =− 2.
BD 2−4
5．【答案】B
2π π π π π 2 5
【解析】sin(2α+ )= sin[2(α+ )+ ]=cos[2(α+ )]=1−2sin2(α+ )= 1−2× = .
3 12 2 12 12 9 9
6．【答案】C
90
【解析】营业额不低于4000元的天数所占比例为P(X ≥4000)= =0.3，则营业额在
300
1−0.3×2
[2000,3000)的天数所占比例为P(2000≤ X <3000)= =0.2，故营业额在[2000,3000)
2
的天数约为300×0.2=60.
7．【答案】D
π 1 2π π π
【解析】由题意，得 f(x)=2sin(ωx+ )，|AB|= × = ，f(1)=2sin(ω+ )，则△ABC
3 2 ω ω 3
1 π π π π π π 1
的面积为 × ×|2sin(ω+ )|= ×|sin(ω+ )|= ，故sin(ω+ )=± .结合0<ω<2，得
2 ω 3 ω 3 2ω 3 2
π 2π
ω= ，则 f(x)的最小正周期为T = =4.
2 ω
8．【答案】B
高三数学参考答案 第 1 页 （共 9 页）
{#{QQABJQIEggCgABBAAQgCQwWYCkGQkBAAAKoOhAAMoAAAyRFABAA=}#}【解析】由题意，得 f(x)=(x−1)2 +ln|x−1|−1，则 f(x)的图象关于直线x=1对称，且
8 10
f(x) 在 (1,+∞) 上 单 调 递 增 ， 则 b= f(1−ln1.1)= f(1+ln1.1) ， c= f( )= f( ) . 设
9 9
1
g(x)=ex−1−lnx−1，则 g'(x)=ex−1− ， g'(x)在 (0,+∞)上单调递增，且 g'(1)=0 ，则当
x
x∈(1,+∞)时，g'(x)>0，当x∈(0,1)时，g'(x)<0，即g(x)在（1，+∞）上单调递增；在(0,1)
上单调递减，故 g(1.1)>g(1)=0，即e0.1 >1+ln1.1>1.设h(x)=(1−x)ex −1 (0< x<1) ，则
10
h'(x)=−xex <0，故h(x)在（0，1）上单调递减，故h(0.1)=0.9e0.1−1<0，故e0.1 < ，故
9
10 10
>e0.1 >1+ln1.1>1，故 f(1+ln1.1)< f(e0.1)< f( )，即b0时，f(x)=2x +3x，故 f(x)在(0,+∞)
单调递增，由奇函数图象的对称性，得 f(x) 在 (−∞,0) 上单调递增，B 错误；因为
f(−2) 4 f(−2)
f(−2)=−f(2)=−(4+a2)，所以 =−(a+ )≤−4，当且仅当a=2时取等号，故 的
a a a
1 1
最大值为−4，C正确；对于D，当a= 且x>0时， f(x)=2x + ， f'(x)=(2x −2−x)ln2，
2 2x
易得在(0,+∞)上，f'(x)>0，故 f(x)在(0,+∞)上单调递增，由奇函数图象的对称性可知，f(x)
在(−∞,0)上单调递增，D正确.
12．【答案】AD
x x y 1 y 1
【解析】不妨设点A在渐近线y= 上，则点B在渐近线 y=− 上，则 1 = ， 2 =− ，
2 2 x 2 x 2
1 2
(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)
yy 1
故k ⋅k = 1 2 =− ，A正确；设M(x,y )，由OM =λOA+µOB，得(x ,y )=λ(x,y)+µ(x ,y )，
OA OB xx 4 0 0 0 0 1 1 2 2
1 2
x =λx +µx y λy +µy (λ−µ)y
故 0 1 2 ，当AB与x轴垂直时，x =x ，y =−y ，则k = 0 = 1 2 = 1 ，
y =λy +µy 2 1 2 1 OM x λx +µx (λ+µ)x
0 1 2 0 1 2 1
高三数学参考答案 第 2 页 （共 9 页）
{#{QQABJQIEggCgABBAAQgCQwWYCkGQkBAAAKoOhAAMoAAAyRFABAA=}#}x =λx +µx x2
不 是 定 值 ， B 错 误 ； 把 0 1 2 代 入 双 曲 线 的 方 程 − y2 =1 ， 得
y =λy +µy 4
0 1 2
(λx +µx )2
1 2 −(λy +µy )2 =1，整理得λ2(x2 −4y2)+µ2(x 2 −4y 2)+ 2λµxx −8λµy y =4，
4 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
1 1
再由y = x ，y =− x ，得4λµx x =4，即λµx x =1，故λµ不是定值，λµx x 是定值，
1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
C错误，D正确.
13.±10 14.3 15.(0,2lge) 16.3
13．【答案】±10
b 3 4 3 4
【解析】根据投影向量的定义可知，u 与b共线，则 =(− , ) 或( ,− ) ，由
|b| 5 5 5 5
a⋅b b a⋅b
u= ⋅ =(−3,4)，故 =±5，故a⋅b=±10.
|b| |b| |b|
14．【答案】3
【解析】设线段AB的中点为M，过A，B，M分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A,B,N ，
1 1
1 1 p 7 3
则|MN |= (|AA |+|BB |)= |AB|，即|MN|=2+ = ，解得 p=3，则F( ,0).由抛物线
2 1 1 2 2 2 2
y2 =6x
的定义，得d 1 =|PF|，联立 ，消去x，整理得y2 +6 3y+27=0，∆=0，故
2x+2 3y+9=0
|3+9|
d +d 的最小值即点F到直线l的距离，即 =3.
1 2
4
15．【答案】(0,2lge)
【解析】令 f(x)=0 ，得lgx=mx−lg(2e) ，函数 f(x) 有两个不同的零点，即函数
g(x)=lgx 与 y=mx−lg(2e) 的图象有两个不同的交点.当直线 y=mx−lg(2e) 与曲线
1
g(x)=lgx相切时，设切点为(x ,lgx ) ，由 g(x)=lgx，得 g'(x)= ，则切线方程为
0 0 xln10
1
m=
1 x 1 x ln10
y−lgx = (x−x ) ， 即 y= +lgx − ， 则 0 ， 故
0 x 0 ln10 0 x 0 ln10 0 ln10 lgx − 1 =−lg(2e)
0 ln10
1
x =
0 2 ，结合函数图象可得m的取值范围为(0,2lge).
m=2lge
16．【答案】3
【解析】设正三棱锥的高为h，三棱锥P﹣ABC的表面积为
1
S =3S +S = 3×( × h2 +1×2 3)+3 3= 3 3( h2 +1+1)，则三棱锥P﹣ABC的体
表 △PAB △ABC
2
1 1 1 1 1
积为 S ⋅h= S ⋅r = ×3 3( h2 +1+1)⋅r，即 ×3 3⋅h= ×3 3( h2 +1+1)⋅r，故
3
△ABC
3
表
3 3 3
h
r = .
h2 +1+1
高三数学参考答案 第 3 页 （共 9 页）
{#{QQABJQIEggCgABBAAQgCQwWYCkGQkBAAAKoOhAAMoAAAyRFABAA=}#}h2 +4
又(h−R)2 +22 =R2，解得R= h2 +4 ，故 R = 2h = (h2 +4)( h2 +1+1) ，令
2h r h 2h2
h2 +1+1
h2 +1+1=t(t >2)，则h2 =t2 −2t，则
R (t2 −2t+4)t t2 −2t+4 (t−2)2 +2(t−2)+4 1 4 1
= = = = [(t−2)+ +2] ≥ ×(2 4+2)=3，
r 2(t2 −2t) 2(t−2) 2(t−2) 2 t−2 2
4 R
当且仅当t−2= ，即t=4，h=2 2时取等号，故 的最小值为3.
t−2 r
17．【参考答案】
（1）按照分层随机抽样的方法，了解国际宽容日者抽取30人，
不了解国际宽容日者抽取20人.（2分）
再从这50人中随机抽取2人，恰好有1人了解国际宽容日的概率为
C1 C1 24 24
P= 30 20 = ≈0.490.（答案写 或0.490均得分）（5分）
C2 49 49
50
4
（2）当地政府宣传后，了解国际宽容日的有600× =480（人），（6分）
5
填写2×2列联表如下：
了解国际宽容日 不了解国际宽容日 合计
宣传前 300 200 500
宣传后 480 120 600
合计 780 320 1100
（7分）
零假设为H ：当地政府宣传前后了解国际宽容日的人数比例无变化.由表中的数据，
0
1100×(300×120−480×200)2 1375
可得χ2 = = ≈52.885>10.828，（9分）
780×320×600×500 26
∴依据小概率值α=0.001的χ2独立性检验，我们推断H 不成立，即认为当地政府宣传
0
后，了解国际宽容日的人数比例有所增加.（10分）
18．【参考答案】
（1）由b+2 3acosAsinB=bcos2A，
得b+2 3acosAsinB=b(1−2sin2 A)，即bsin2 A+ 3acosAsinB=0，（2分）
结合正弦定理，得sinBsin2 A+ 3sinAcosAsinB=0.（4分）
又sinAsinB>0，得sinA+ 3cosA=0，故tanA=− 3，
2π
又A∈(0,π)，故A= .（6分）
3
（2）由sinB=2sinC及正弦定理，得b=2c，（7分）
1 3
由△ABC的面积为8 3，得 bcsinA= c2 =8 3，（9分）
2 2
故c=4，则b=8，（10分）
由余弦定理，得a2 =b2 +c2 −2bccosA=112，（11分）
高三数学参考答案 第 4 页 （共 9 页）
{#{QQABJQIEggCgABBAAQgCQwWYCkGQkBAAAKoOhAAMoAAAyRFABAA=}#}∴a=4 7 .（12分）
19．【参考答案】
（1）由题意，得平面PAB⊥平面ABC，
平面PAB∩平面ABC=AB，OC⊥AB，且OC⊂平面ABC，
∴OC⊥平面PAB，（3分）
又OP⊂平面PAB，∴OP⊥OC，
又OP⊥OD，OC∩OD=O，且OC，OD⊂平面COD，
∴OP⊥平面COD，（5分）
又CD⊂平面COD，故OP⊥CD.（6分）
（2）如图，以O为原点，OC，OB所在直线分别为x轴，y轴，过O作平面ABC的垂线为
z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设∠POB=θ.（7分）
则C(2,0,0)，D(0,− 3,1)，P(0,2cosθ,2sinθ)，
(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)
则OC=(2,0,0)，OP=(0,2cosθ,2sinθ)，CD=(−2,− 3,1)，（8分）
设平面POC的法向量为n=(x,y,z)，
(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)
n⋅OC =0 2x=0
由 (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) ，得 ，
n⋅OP=0 2ycosθ+2zsinθ=0
令z=1，得平面POC的一个法向量为n=(0,−tanθ,1)，（9分）
(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)
(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)
n⋅CD | 3tanθ+1| 2
则sin45°= cos = (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) = = ，
|n|⋅|CD| tan2θ+1×2 2 2
解得tanθ= 3.（10分）
(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)
π
又θ∈(0,π)，∴θ= ，∴P(0,1, 3)，∴CP=(−2,1, 3).
3
(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)
(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)
CD 2 6 2
由CD=(−2,− 3,1)，得 (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) =(− ,− , )，（11分）
|CD| 2 4 4
(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)
(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)
则点P到直线CD的距离为 CP 2 −(CP⋅ C (cid:2)(cid:2) D (cid:2)(cid:3) )2 = 6，
|CD|
即点P到直线CD的距离为 6.（12分）
20．【参考答案】
（1）当n=1时，a =S =1；
1 1
n(n+1) n(n−1) n2[(n+1)2 −(n−1)2]
当n≥2时，a =S −S =[ ]2 −[ ]2 = =n3，
n n n−1 2 2 4
a =1也满足上式，
1
故{a }的通项公式为a =n3，（4分）
n n
高三数学参考答案 第 5 页 （共 9 页）
{#{QQABJQIEggCgABBAAQgCQwWYCkGQkBAAAKoOhAAMoAAAyRFABAA=}#}S (n+1)2 1 1 1
∴ n = = (n+ +2)≥ ×(2+2)=1，
a 4n 4 n 4
n
S
当且仅当n=1时等号成立，故 n 的最小值为1.（6分）
a
n
（2）解法一：
a +a n3 +(n+1)3 1 1
由（1）得b =(−1)n⋅ n n+1 =(−1)n⋅ =(−1)n[ + ]，（7分）
n a a n3(n+1)3 n3 (n+1)3
n n+1
①当n为偶数时，
1 1 1 1 1 1 1 1
T =−(1+ )+( + )−( + )+⋯+[ + ] = −1；
n 23 23 33 33 43 n3 (n+1)3 (n+1)3
511 1 511
由T >− ，得 −1>− ，
n 512 (n+1)3 512
即(n+1)3 <512，故n<7，
又n为偶数，故n的最大值为6；（9分）
②当n为奇数时，n−1为偶数，
1 1 1 1 1 1
T =T −[ + ] = −1−[ + ] =− −1.
n n−1 n3 (n+1)3 n3 n3 (n+1)3 (n+1)3
511 1 511
由T >− ，得− −1>− ，
n 512 (n+1)3 512
1 1
即− > ，不成立.（11分）
(n+1)3 512
511
综上，满足T >− 的最大正整数n的值为6.（12分）
n 512
解法二：
a +a n3 +(n+1)3 1 1
由（1）得b =(−1)n⋅ n n+1 =(−1)n⋅ =(−1)n[ + ]，（7分）
n a a n3(n+1)3 n3 (n+1)3
n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
T =−(1+ )+( + )−( + )+⋯+(−1)n−1[ + ]+(−1)n[ + ]
n 23 23 33 33 43 (n−1)3 n3 n3 (n+1)3
(−1)n
= −1.（9分）
(n+1)3
511
当n为奇数时，T <−1，不等式T >− 无解；（10分）
n n 512
511 1 511
当n为偶数时，由T >− ，得 −1>− ，即(n+1)3 <512，故n<7，
n 512 (n+1)3 512
又n为偶数，故n的最大值为6.
511
综上，满足T >− 的最大正整数n的值为6.（12分）
n 512
21．【参考答案】
（1）如图，以椭圆的中心为原点O，分别以椭圆的长轴、短轴所在直线为x轴，y轴建立平
面直角坐标系xOy，（1分）
则2b=2，即b=1，（2分）
高三数学参考答案 第 6 页 （共 9 页）
{#{QQABJQIEggCgABBAAQgCQwWYCkGQkBAAAKoOhAAMoAAAyRFABAA=}#}2b
2a= =2 2，即a= 2，（3分）
cos45°
x2
故椭圆C的标准方程为 + y2 =1.（4分）
2
（2）设椭圆C的焦距为2c，由（1）得c=1，（5分）
则F(−1,0)，F (1,0)，
1 2
则直线l的方程为y=k(x−1)，
y=k(x−1)
联立 x2 ，消去y，整理得(2k2 +1)x2 −4k2x+2k2 −2=0，（7分）
+ y2 =1
2
4k2 2 2k2 −2 3
则x +x = =2− ，xx = =1− ，（8分）
1 2 2k2 +1 2k2 +1 1 2 2k2 +1 2k2 +1
3
故x x = (x +x )−2，
1 2 2 1 2
y y
直线F A的方程为y= 1 (x+1)，直线BD的方程为y= 2 (x−2)，
1
x +1 x −2
1 2
由直线F A与BD的交点M在直线x=3上，
1
y y y (x −2) 1
得 1 ×(3+1)= 2 ×(3−2)，即 1 2 = ，（10分）
x +1 x −2 y (x +1) 4
1 2 2 1
3
k[ (x +x )−2]−2kx −kx +2k
即 1 = (kx 1 −k)(x 2 −2) = kx 1 x 2 −2kx 1 −kx 2 +2k = 2 1 2 1 2 ，
4 (kx −k)(x +1) kxx −kx +kx −k 3
2 1 1 2 1 2 k[ (x +x )−2]−kx +kx −k
2 1 2 1 2
−x +x 1
又k ≠0，∴ 1 2 = ，∴5x +x −6=0，
x +5x −6 4 1 2
1 2
∴5x +x =6.（12分）
1 2
22．【参考答案】
（1）由 f(x)=cosx−mx2，得 f'(x)=−sinx−2mx，
π π
由 f(x)在( ,π)上单调递减，得 f'(x)≤0在x∈( ,π)上恒成立，
4 4
π
即当x∈( ,π)时，−sinx−2mx≤0，
4
高三数学参考答案 第 7 页 （共 9 页）
{#{QQABJQIEggCgABBAAQgCQwWYCkGQkBAAAKoOhAAMoAAAyRFABAA=}#}sinx
则m≥− .（2分）
2x
sinx π xcosx−sinx
设g(x)=− ，x∈( ,π)，则g'(x)=− ，
2x 4 2x2
π
设h(x)=xcosx−sinx，x∈( ,π)，则h'(x)=−xsinx<0，
4
π
故h(x)在( ,π)上单调递减，
4
π π π 2 π
∴h(x)< cos −sin = ×( −1)<0，
4 4 4 2 4
π
∴g'(x)>0，故g(x)在( ,π)上单调递增，
4
sinπ
∴g(x)<− =0，∴m≥0，
2π
∴m的取值范围是[0,+∞).（4分）
1 1 2x
（2）当m=− 时， f(x)=cosx+ x2， f'(x)= −sinx，（5分）
π π π
2x 2
设ϕ(x)= −sinx，则ϕ'(x)= −cosx，
π π
π 2 π 2
易得ϕ'(x)在(0, )上单调递增，且ϕ'(0)= −1<0，ϕ'( )= >0，
2 π 2 π
π
∴ϕ'(x)在(0, )上存在唯一零点x .
2 0
π
当x∈(0,x )时，ϕ'(x)<0，当x∈(x , )时，ϕ'(x)>0，
0 0 2
π
∴ϕ(x)在(0,x )上单调递减，在(x , )上单调递增，（6分）
0 0 2
π π
而ϕ(0)=ϕ( )=0，故x∈(0, )时，ϕ(x)<0，即 f'(x)<0，
2 2
π
∴ f(x)在(0, )上单调递减.
2
π 2x π
当x∈( ,+∞)时， >1≥sinx，故 f'(x)>0，即 f(x)在( ,+∞)上单调递增.
2 π 2
π π
∴当x≥0时， f(x)≥ f( )= ，（7分）
2 4
又显然 f(x)是偶函数，
π
故当x<0时， f(x)≥ 也成立.
4
π
故 f(x)≥ 恒成立.（8分）
4
（3）由题意，得 f(0)=1，
π
由（2）可知，若 f(x)=t (x>0)有两个不同的实数根，则 f(π−x )，
2 1 2
而 f(x )= f(x )，故只需证明 f(x )> f(π−x )．（9分）
1 2 2 2
1 (π−x)2 π
设F(x)= f(x)− f(π−x) =cosx+ x2 −cos(π−x)− =2cosx+2x−π ( < x<π)．
π π 2
则F'(x)=−2sinx+2≥0，
π
∴F(x)在(0,+∞)上单调递增，故F(x)>F( )=0，
2
∴ f(x )> f(π−x )，故x +x <π．（10分）
1 2 1 2
π π
又0< x < 0，故 f'(x)在( ,π)上单调递增，
2 2
π
又 f'( )=0， f'(π)=2，
2
故0< f'(x +x )<2．（12分）
1 2
高三数学参考答案 第 9 页 （共 9 页）
{#{QQABJQIEggCgABBAAQgCQwWYCkGQkBAAAKoOhAAMoAAAyRFABAA=}#}
