重庆市西南大学附属中学校2026届高三上学期1月月考数学试卷（解析版）(1)_2026年1月_260111重庆市西南大学附属中学校2026届高三上学期1月定时检测（一诊）（全科）

重庆市西南大学附属中学校 2026 届高三上学期
1 月月考数学试卷+精品解析
注意事项:
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3、试卷由圈"整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
2
z =
1. 复数
i2026 -i
的虚部为（ ）
A. 1 B. i C. -1 D. -i
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘方和除法运算即可得到答案.
2 2 2 21-i
【详解】z = = = = - = -1+i，
i2026 -i i4´506+2 -i -1-i 1+i1-i
则其虚部为1.
故选：A.
r r r  r r r
2. 已知向量a =m,2，b=1,1，c=1,3，且 2a-b ^c，则实数m为（ ）
A. -4 B. -3 C. 4 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量垂直列方程，化简求得m的值.
r r
【详解】2a-b=2m,4-1,1=2m-1,3，
 r r r
由于 2a-b ^c，
 r r r
所以 2a-b ×c=2m-1+9=2m+8=0,m=-4.
学科网（北京）股份有限公司故选：A
3. 函数y = 2cos2 x+sin2x 的最大值为（ ）
A. 1- 2 B. 2+1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
æ πö
【分析】利用三角恒等变换可得y = 2sin
ç
2x+
÷
+1，结合正弦函数最值分析求解.
è 4ø
1+cos2x æ πö
【详解】因为y =2cos2 x+sin2x=2´ +sin2x=sin2x+cos2x+1= 2sin
ç
2x+
÷
+1，
2 è 4ø
π π π
当2x+ =2kπ+ ,kÎZ，即x=kπ+ ,kÎZ时，函数取到最大值y = 2+1.
4 2 8 max
故选：B.
4. 如图，已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等，E为棱PC中点，则异面直线BE 与PD所成角的
余弦值为（ ）
3 3
A. B.
3 6
1 1
C D.
.
6 3
【答案】B
【解析】
uuur uuur uuur
【分析】取 AD,AB,AP 为空间向量基底，用空间向量求异面直线的夹角的余弦.
uuur uuur uuur
【详解】以 AD,AB,AP 为空间向量基底，不妨设AB=2，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则AB×AD=0，AB×AP= AD×AP=2´2´cos60°=2.
uuur
又 u D uu P r = u A u P ur - u A u D ur ， DP =2，
学科网（北京）股份有限公司uuur 1uuur uuur 1uuur uuur uuur uuur
BE = BP+BC = AP-AB+ AD ， BE = 3，
2 2
uuur uuur 1uuur uuur uuur uuur uuur
所以DP×BE = AP-AD × AP-AB+ AD
2
1uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur2 
= AP -AP×AB+ AB×AD-AD
2
1
= 4-2+0-4=-1，
2
uuur uuur
uuur uuur DP×BE -1 3
所以 cosDP,BE = uuur uuur = =- ，
DP × BE 2 3 6
3
所以异面直线BE 与PD所成角的余弦为 .
6
故选：B
5. 甲､乙､丙､丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配
1名志愿者，但甲､乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（ ）
A. 30种 B. 36种 C. 42种 D. 56种
【答案】A
【解析】
【分析】先计算出所有可能得选派方法，在计算出甲乙在同一足球场的情况，可求出不在同一足球场的分
配方案数.
【详解】总分配方案种数为C2A3 =36，甲､乙在同一足球场的分配方案种数为C1A2 =6，则甲､乙不在同
4 3 3 2
一个足球场的分配方案种数为36-6=30，
故选:A.
S
6. 记等比数列 a  的前n项和为S ，数列 b  的前n项和为T ，且满足 b =a ， 若 2026 =2026，则
n n n n n 2n-1 T
1013
a 
公比q=（ ）
n
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列前n项和公式列式计算得解.
【详解】等比数列 a  中，a = a qn-1，则b =a =aq2n-2，
n n 1 n 2n-1 1
学科网（北京）股份有限公司b aq2n+1
因 n+1 = 1 =q2，故数列 b  是首项为a ，公比为q2的等比数列，
b aq2n-1 n 1
n 1
S
显然q ¹1，否则 2026 =2；且q ¹ -1，否则S =0，
T 2026
1013
a  1-q2026 a  1-q2026 S
则S = 1 ,T = 1 ，由 2026 =2026，得1+q=2026，
2026 1-q 1013 1-q2 T
1013
所以q =2025.
故选：C
7. 已知a >0，b>0，且a+b=1，则下列不等式不正确的是（ ）
1 1
A. ab£ B. a2 +b2 ³
4 2
1 1
C. + >2 D. a + b £1
a b+1
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C.
【详解】因为a >0，b>0，且a+b=1，
2
æa+bö 1
由基本不等式可得ab£
ç ÷
= （当且仅当a =b时取等号），A正确；
è 2 ø 4
a+b a2 +b2 1 a2 +b2
由基本不等式知 £ ，则 £ ，
2 2 2 2
1
即a2 +b2 ³ （当且仅当a =b时取等号），B正确；
2
1 1 1 1 2
由题得 + = + = ，
a b+1 1-b b+1 1-b2
2
由已知0<b<1，故1-b2Î0,1 ，所以 >2，
1-b2
1 1
故 + >2，C正确；
a b+1
a + b a+b 1
由基本不等式可得 £ = ，
2 2 2
即 a + b £ 2 （当且仅当a =b时取等号），D错误.
学科网（北京）股份有限公司故选：D.
8. 已知函数 gx=ex +e-x，若 f¢x+1= xg¢x+gx,xÎR，且 f 1=1，若
f  a2 -1  + f  b2 +3  =2，则满足条件的点 a,b 在平面直角坐标系中构成的图象为（ ）
A. 圆 B. 双曲线 C. 一个点 D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】先确定函数 f x 的解析式，再分析函数 f x 的对称性，根据函数性质确定a,b的关系，可得问
题答案.
【详解】因为 f¢x+1= xg¢x+gx=  xgx¢ ，
所以 f x+1= xgx+c.
又 f 1=1，所以 f 1=0×g0+c=1Þ c=1.
所以 f x+1= xgx+1Þ f x=x-1gx-1+1=x-1 ex-1+e1-x +1.
因为 f 1+x+ f 1-x = x  ex +e-x +1+-x×  e-x +ex +1 =2.
又 f  a2 -1  + f  b2 +3  =2，
所以a2 -1+b2 +3=2 Þ a2 +b2 =0 Þ a =b=0.
所以点
a,b
在平面直角坐标系中构成的图象为1个点.
故选：C
二、多选题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A.
若事件A与事件B相互独立，PA=0.4,PB=0.3， 则PAÈB=0.7
B. 若样本数据x ,x ,×××,x 的方差为10， 则数据3x -1,3x -1,×××,3x -1的方差为90
1 2 6 1 2 6
C. 一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个
红球”与事件“两个球颜色相同”互斥
D. 1,2,3,×××,2024,2025,2026这2026个数的上四分位数是507
【答案】BC
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据概率公式PAÈB= PA+PB-PAB
，结合独立事件的概率乘法公式可判断A；根
据方差的性质可判断B；根据互斥事件的概念可判断C；根据百分位数的定义直接计算可判断D.
【详解】对A，因为事件A与事件B相互独立，PA=0.4,PB=0.3，
所以PAB= PAPB=0.4´0.3=0.12，
则PAÈB= PA+PB-PAB=0.4+0.3-0.12=0.58，A错误；
对B，因为样本数据x ,x ,×××,x 的方差为10，
1 2 6
所以数据3x -1,3x -1,×××,3x -1的方差为32´10=90，B正确；
1 2 6
对C，因为不放回地抽取两次最多有一个红球，
所以事件“至少有一个红球”发生时，取到的球必然有两种颜色（红黑或红白），
此时事件“两个球颜色相同”不可能发生，故两事件互斥，C正确；
对D，因为2026´0.75=1519.5，所以上四分位数是该组数据的第1520个数，即1520，D错误.
故选：BC
10. 如图，在正四棱柱ABCD- ABC D 中，AA =2 2,AB=2，点P为线段AD 上一动点，则下列说
1 1 1 1 1 1
法正确的是（ ）
A. 直线PB //平面BCD
1 1
B. 三棱锥P-BCC 的体积为定值4 2
1
C. 若Q为线段BB 中点，则C P与CQ垂直
1 1
D. 三棱锥C -ABD外接球的体积为16π
1
【答案】AC
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】对于A，连接AB,BD ，先证明平面ABD //平面BCD，进而判断即可；对于B，先证明AD //
1 1 1 1 1 1 1
平面BCC ，而PÎAD ，可得P到平面BCC 的距离等于A到平面BCC 的距离，进而根据棱锥的体积公
1 1 1 1
式求解判断即可；对于C，先证明CQ^ BC ，AB^CQ，即可得到CQ ^平面ABC D ，进而得到
1 1 1
C P^CQ即可判断；对于D，三棱锥C -ABD的外接球半径等于正四棱柱ABCD- ABC D 的外接球
1 1 1 1 1 1
半径，进而求出外接球半径，再根据球的体积公式求解判断即可.
【详解】A，连接AB,BD ，
1 1 1
在正四棱柱ABCD- ABC D 中，BD //BD，AD //BC ，
1 1 1 1 1 1 1 1
因为BD Ë平面BCD，BDÌ平面BCD，所以BD //平面BCD，
1 1 1 1 1 1 1
因为AD Ë平面BCD，BC Ì平面BCD，所以AD //平面BCD，
1 1 1 1 1 1
因为AD ÇBD = D ，AD 、BD Ì平面ABD ，所以平面ABD //平面BCD，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又因为PB Ì平面ABD ，所以PB //平面BCD，故A正确；
1 1 1 1 1
B，由于AD //BC ，AD Ë平面BCC ，BC Ì平面BCC ，
1 1 1 1 1 1
所以AD //平面BCC ，而PÎAD ，
1 1 1
则P到平面BCC 的距离等于A到平面BCC 的距离，
1 1
而AB ^平面BCC ，所以A到平面BCC 的距离为AB=2，
1 1
1 1 1 4 2
则三棱锥P-BCC 的体积为 S ×AB= ´ ´2´2 2´2= ，故B错误；
1 3 VBCC 1 3 2 3
C，因为Q为线段BB 中点，所以BQ = 2，而CC =2 2,BC =2，
1 1
CC BC
则 BC 1 = QB = 2，即V C 1 CB :V CBQ，则ÐC 1 BC =ÐCQB，
学科网（北京）股份有限公司而ÐCQB+ÐQCB=90°，所以ÐC BC+ÐQCB=90°，可得CQ^ BC ，
1 1
而AB ^平面BBCC，CQÌ平面BBCC，所以AB^CQ，
1 1 1 1
因为AB I BC = B，AB,BC Ì平面ABC D ，所以CQ ^平面ABC D ，
1 1 1 1 1 1
又C PÌ平面ABC D ，所以C P^CQ，故C正确；
1 1 1 1
D，三棱锥C -ABD的外接球半径等于正四棱柱ABCD- ABC D 的外接球半径，
1 1 1 1 1
AB2 + AD2 + AA2 4+4+8
设三棱锥C -ABD的外接球半径为r ，则r = 1 = =2，
1
2 2
4πr3 4π´23 32π
因此三棱锥C -ABD外接球的体积为 = = ，故D错误.
1
3 3 3
故选：AC
11. 已知抛物线C：y2 =4x的焦点为F，经过点F的直线交抛物线C于A，B两点，则下列说法中正确的
有（ ）
A. 点F 的坐标为(1,0)
B. 若点A在第一象限， 且 AF =2 BF ， 则直线AB 的斜率为 2 2
uuur uuur
C. OA×OB=0
D. 过点H(-2,1)作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，若点T为C的曲线段MON 上任意一点，则
27
△TMN 面积的最大值为
4
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出焦点坐标判断A；设出直线AB方程，与抛物线方程联立，利用，结合抛物线定义及数量积的
坐标表示求解判断BC；求出直线MN 的方程，并求出点T 到直线MN 的最大距离即可判断D.
学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，抛物线C：y2 =4x的焦点F(1,0)，A正确；
ìx=ty+1
直线AB不垂直于y轴，设其方程为x=ty+1，由í 消去x得y2 -4ty-4=0，
îy2 =4x
y2 y2
设A(x ,y ),B(x ,y )，则y + y =4t,y y =-4，x +x =t(y + y )+2=4t2 +2，x x = 1 × 2 =1，
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4
8 5 4 1
对于B，由 AF =2 BF ，得x +1=2(x +1)，即x =2x +1，则x = t2 + ,x = t2 + ，
1 2 1 2 1 3 3 2 3 3
8 5 4 1 1 x -1 2x
因此( t2 + )( t2 + )=1，解得t2 = ，由y >0，得 1 = 2 >0，而x >0，
3 3 3 3 8 1 t t 2
1 1
则t >0，t = ，因此直线AB的斜率 =2 2 ，B正确；
2 2 t
uuur uuur
对于C，OA×OB = x x + y y =1-4= -3¹0，C错误；
1 2 1 2
对于D，设点M(x ,y ),N(x ,y )，抛物线C在点M 处的切线方程为 y y =2x+2x ，
3 3 4 4 3 3
ìy y =2x+2x
由í 3 3 消去x得2y y= y2 +4x ，即y2 -2y y+ y2 =0，则Δ=4y2 -4y2 =0，
îy2 =4x 3 3 3 3 3 3
因此抛物线C在点M 处的切线方程为 y y =2x+2x ，同理抛物线C在点N 处的切线方程为
3 3
y y =2x+2x ，
4 4
ì2x -4- y =0
而这两条切线的交点为H(-2,1)，则í 3 3 ，即点M,N 的坐标均满足方程2x- y-4=0，
2x -4- y =0
î
4 4
ìy =2x-4 1
由í 消去x得y2 -2y-8=0，解得y =-2,y =4， MN = 1+( )2 × y - y =3 5 ，
îy2 =4x 3 4 2 3 4
依题意，抛物线C在点T 处的切线与直线2x- y-4=0平行，
ìy =2x+m
设抛物线C在点T 处的切线方程为y =2x+m，由í 消去x得y2 -2y+2m=0，
îy2 =4x
1 1 1
则D¢=4-8m=0，解得m= ，此时y =1，x= ，即点T( ,1)，
2 4 4
学科网（北京）股份有限公司1
|2´ -1-4|
9
点T 到直线MN 距离的最大值为 4 ，
=
22 +(-1)2 2 5
1 9 27
因此△TMN 面积的最大值为 ×3 5× = ，D正确.
2 2 5 4
故选：ABD
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
4
æ 1 ö
12. ç 2x- ÷ 的展开式中x的系数为_________(用数字作答).
è 5x2 ø
32
【答案】-
5
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式，令展开式中x的指数为1，即可求出x的系数.
4
æ 1 ö
【详解】在 2x- 的展开式中，
ç ÷
è 5x2 ø
æ 1 ö r Cr ×24-r ×-1r
通项公式为T =Cr ×2x4-r × - = 4 ×x4-3r ，
ç ÷
r+1 4 è 5x2 ø 5r
令4-3r=1，解得r=1，
23´-1´C1
32
所以展开式中x的系数为： 4 =- .
5 5
32
故答案为：- .
5
13. 已知圆C:x2 + y2 =2，点P 为直线x- y+3=0上一动点，过点 P 向圆C引两条切线 PA、PB，点
A、B为切点，则直线AB经过定点_________.
æ 2 2ö
【答案】ç - , ÷
è 3 3ø
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】设出P点坐标，得到以OP为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立，可得直线AB的方程，再由
直线系方程求解．
【详解】圆C:x2 + y2 =2的圆心为O0,0 ，
设Pa,a+3
，
2 2
æ aö æ a+3ö 1
则以OP为直径的圆的方程为 x- + y- = éa2 +a+32ù，
ç ÷ ç ÷
è 2ø è 2 ø 4ë û
即x2 + y2 -ax-a+3y =0，
又圆C:x2 + y2 =2，相减可得2-ax-a+3y =0，
即ax+ y+3y-2=0，
ì 2
x=-
ìx+ y =0 ï ï 3
令í ，解得í ，
î3y-2=0
ï
2
y =
ïî 3
æ 2 2ö
所以直线AB经过定点ç - , ÷．
è 3 3ø
æ 2 2ö
故答案为：ç - , ÷.
è 3 3ø
1
14. 在正项数列{a }中， a =1,a2 -a2 =1，记 b = .整数m满足
n 1 n+1 n n a +1a +1a +a 
n n+1 n n+1
lg  102023 +1  <m<lg  102024 +1 ，则数列 b  的前m项和为_________.
n
11
【答案】
23
【解析】
【分析】先根据已知条件判断出
 a2
是以首项为1公差为1的等差数列，然后求出
a 
的通项公式，进而
n n
将b 的表达式列出来并化简，根据对数函数的性质求出整数m=2024，最后根据裂项相消法求出结果即可.
n
【详解】因为a2 -a2 =1,a =1，所以  a2 是以首项为1公差为1的等差数列.
n+1 n 1 n
得到a2 =a2 +n-1´1=n，因为 a  为正项数列，所以a = n .
n 1 n n
学科网（北京）股份有限公司1 1 n+1- n 1 1
所以 b n = a +1a +1a +a  =  n+1  n+1+1  n+ n+1  =  n+1  n+1+1  = n+1 - n+1+1 .
n n+1 n n+1
因为整数m满足lg  102023 +1  <m<lg  102024 +1  ，
而lg  102023 +1  >lg102023 =2023,2024=lg102024 <lg  102024 +1  <lg102025 =2025.
所以m=2024.所以数列
b 
的前m项和为
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 23 1 11
S 2024 = 1+1 - 2+1 + 2+1 - 3+1 + 3+1 - 4+1 + L + 2024+1 - 2025+1 = 2 - 2025+1 = 46 - 46 = 23 .
11
故答案为： .
23
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图是函数 f x= Asinwx+j ，(A>0，w>0,0<j<p)一个周期内的图象，把 f x 的图象上
5p
所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变；再将所得的图像向右平移
个单位长度，得到函数gx
12
的图象.
（1）求函数gx
的解析式;
（2）在△ABC中， 若gB= 3， AB=2， BC=3， 求AC.
æ pö
【答案】（1）gx=2sin
ç
x+
÷
è 3 ø
（2） 7
【解析】
2p æ pö 3p
【分析】（1）由图像得到函数 f x 的A=2，T = ，所以w=3，再由 f ç - ÷ =2得到j= ，
3 è 12ø 4
æ 3pö æ pö
所以 f x=2sin ç 3x+ ÷，由图像变换得到gx=2sin ç x+ ÷.
è 4 ø è 3 ø
学科网（北京）股份有限公司p
（2）由gB= 3，得到B = ，再利用余弦定理得到AC = 7 .
3
【小问1详解】
2p 2p
æp pö 2p w= = =3
由图象可知A=2，周期T =2´ ç + ÷ = ，因此 T 2p ;
è 4 12ø 3
3
æ pö é æ pö ù æ p ö
f
ç
-
÷
=2sin
ê
3´
ç
-
÷
+j
ú
=2 ，即sin
ç
- +j
÷
=1，
è 12ø ë è 12ø û è 4 ø
p p 3p
所以- +j= +2kp,kÎZ ,所以j= +2kp,kÎZ
4 2 4
3p
因为0<j<p，所以j= ，
4
æ 3pö
所以 f x=2sin ç 3x+ ÷，
è 4 ø
æ 3pö
将 f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变得到y =2sin ç x+ ÷ ，
è 4 ø
5p æ 5p 3pö æ pö
将图像向右平移 个单位长度得到y =2sin ç x- + ÷ =2sin ç x+ ÷.
12 è 12 4 ø è 3 ø
æ pö
所以gx=2sin ç x+ ÷.
è 3 ø
【小问2详解】
æ pö æ pö 3
因为gB= 3，所以2sin ç B+ ÷ = 3,所以sin ç B+ ÷ = ，
è 3 ø è 3 ø 2
p p 4p p 2p p
因为0< B<p,所以 < B+ < ,所以B+ = ，所以B = .
3 3 3 3 3 3
由余弦定理，AC2 = AB2 +BC2 -2×AB×BC×cosB，
1
即AC2 =22 +32 -2´2´3´ =4+9-6=7，
2
所以AC = 7 .
16. 近期甲型H3N2流感来袭，医学研究表明，如果每天温差太大，人们受风寒刺激极易受凉感冒，自身抵
抗力就会变弱，易受流感病毒侵袭，特别是对于学生及老年人群体更需保暖和多加防范.我校数学建模社团
成员共同研究了一天昼夜温差的大小与我校患流感就诊人数多少之间的关系，他们记录了某周周一至周六
学科网（北京）股份有限公司的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增流感就诊的人数，得到数据如下：
日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六
昼夜温差t(℃) 4 7 8 9 14 12
新增流感就诊人数y(位) y₁ y₂ y₃ y₄ y₅ y₆
参考数据： å 6 t =54,å 6  t -t 2 =64， å 6 y2 =3463,å 6  y - y 2 =289
i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
（1）已知第一天新增流感就诊的学生中有3位男生，从第一天新增的流感就诊学生中随机抽取2位，其中
11
男生人数记为X，若抽取的2人中至少一位女生的概率为 ，求X的分布列和数学期望；
12
16
（2）已知两个变量t与y之间的样本相关系数 r = ，请用最小二乘法求出y关于t的经验回归方程
17
yˆ =b ˆ t+aˆ，据此估计昼夜温差为13℃时，我校新增流感就诊的学生人数.
å n  t -t  y - y  å n  t -t  y - y 
i i i i
参考公式：r = i=1 ， $b= i=1
å n  t -t 2 å n  y - y 2 å n  t -t 2
i i i
i=1 i=1 i=1
2
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为 .
3
（2）经验回归方程为yˆ =2t+5；当昼夜温差13℃时，我校新增流感就诊的学生人数为31人.
【解析】
【分析】（1）先根据已知条件求出第一天新增流感就诊的学生总数，然后求出X 的可能取值为0，1，2以
及对应的概率值，列出分布列，根据期望公式求出数学期望即可.
6
（2）根据条件中给的公式和相关系数先求出
å
t -t

y - y

，然后得到b ˆ，然后根据公式求出t,y，进
i i
i=1
而得到aˆ，从而求得经验回归方程和昼夜温差为13℃时的函数值.
【小问1详解】
11 1
因为抽取的2人中至少一位女生的概率为 ，所以抽取的2人中全是男生的概率为 .
12 12
C2 1 mm-1
设第一天新增流感就诊的学生共m人，则 3 = ，化简得C2 = =36.
C2 12 m 2
m
解得m=-8（舍去）或m=9.
学科网（北京）股份有限公司所以由题意可知X 的可能取值为0，1，2，
C2 5 C1·C1 1 C2 1
PX =0= 6 = ,PX =1= 6 3 = ,PX =2= 3 = .
C2 12 C2 2 C2 12
9 9 9
所以X 的分布列为
X 0 1 2
5 1
1
P
12 2 12
5 1 1 2
所以数学期望为EX=0´ +1´ +2´ = .
12 2 12 3
【小问2详解】
6
å
t -t

y - y

由题意可知 r = i=1 i i = 16 ， å 6  t -t 2 =64,å 6  y - y 2 =289，
å 6  t -t 2 å 6  y - y 2 17 i=1 i i=1 i
i i
i=1 i=1
所以 å 6  t -t  y - y  = 16 ´ 64´289 =128.
i i 17
i=1
6
å
t -t

y - y

i i 128
所以b ˆ = i=1 = =2.
å 6  t -t 2 64
i
i=1
因为 å 6  y - y 2 =å 6 y2 -6y2 =289,å 6 y2 =3463，所以3463-6y2 =289，
i i i
i=1 i=1 i=1
6
åt
解得y =23.而 i 54 ，所以aˆ = y -b ˆ t = 23-2´9 =5
t = i=1 = =9
6 6
所以y关于t的经验回归方程为yˆ =2t+5.
当昼夜温差t =13时，我校新增流感就诊的学生人数为2´13+5=31人.
17. 在平面直角坐标系
Oxy中，已知动点Ex,y 到点F1,0
的距离和E到直线x-4=0 的距离之比是
1
常数 .
2
（1）求动点E的轨迹C的方程；
（2）过点Nn,0 的动直线(斜率k存在)与曲线C交于P，Q两点，在x轴上存在点 M t,0 ，使得
学科网（北京）股份有限公司S |PM |
VPNM = ,试问 nt是否为定值，若是，求出nt的值；若不是，请说明理由.
S |QM |
VQNM
x2 y2
【答案】（1） + =1
4 3
（2）是，nt =4.
【解析】
x2 y2
【分析】（1）利用距离公式化简即可得到动点E的轨迹C的方程是 + =1.
4 3
S |PM |
（2）法一：因为 VPNM = 结合角平分线逆定理得到 x轴为 ÐPMQ的角平分线，所以
S |QM |
VQNM
k +k =0，设直线PQ方程为y =kx-n ,Px ,y ,Qx ,y  ,联立方程，利用韦达定理求解即可得
PM QM 1 1 2 2
到nt =4；法二：设直线PQ方程为x =my+n(m¹0)，联立椭圆方程得到韦达定理式，代入k +k =0
PM QM
化简即可.
【小问1详解】
因为动点Ex,y 到点F1,0
的距离和E到直线x-4=0的距离之比是常数
1
，
2
x-12 + y2 1
所以 = ，
|x-4| 2
两边平方得到4éx-12 + y2ù =x-42 ；
ë û
x2 y2
化简得到动点E的轨迹C的方程是 + =1.
4 3
【小问2详解】
法一：设过点Nn,0 的直线方程为y =kx-n ，
ìy =kx-n
联立方程 ï íx2 y2 ，整理得到  3+4k2 x2 -8nk2x+4k2n2 -12=0，
ï + =1
î 4 3
8nk2 4k2n2 -12
设Px ,y ,Qx ,y  ，则x +x = ,x x = ；
1 1 2 2 1 2 3+4k2 1 2 3+4k2
S |PM | | y | |PM |
因为 VPNM = ，所以 1 = ；
S |QM | | y | |QM |
VQNM 2
学科网（北京）股份有限公司| y | |x -t| |x -t| |PM |
又因为 1 = 1 ，所以 1 = ；
| y | |x -t| |x -t| |QM |
2 2 2
由角平分线逆定理得到，x轴为ÐPMQ的角平分线，
y y
所以k +k =0，即 1 + 2 =0，
PM QM x -t x -t
1 2
y x -t+ y x -t
化简得到 1 2 2 1 =0，即y x -t+ y x -t=0；
x -tx -t 1 2 2 1
1 2
将y =kx -n,y =kx -n 代入上式得kx -nx -t+kx -nx -t=0；
1 1 2 2 1 2 2 1
化简得到ké2x x -n+tx +x +2ntù =0
ë 1 2 1 2 û
é 4k2n2 -12 8k2n ù
即k
ê
2´ -n+t´ +2mt
ú
=0
ë
3+4k2 3+4k2
û
4k2n2 -12 8k2n
因为k ¹0，所以2´ -n+t´ +2nt =0.
3+4k2 3+4k2
即2  4k2n2 -12  -8k2nn+t+2nt  3+4k2 =0；
整理得到8k2n2 -24-8k2n2 -8k2nt+6nt+8k2nt =0；
即-24+6nt =0，解得nt =4.
因此nt是定值4.
1
|PM |×|NM |×sinÐPMN
S |PM |
2
法二：因为 VPNM = = ，
S 1 |QM |
VQNM |QM |×|NM |×sinÐQMN
2
所以sinÐPMN =sinÐQMN ，即ÐPMN =ÐQMN，所以k +k =0．
PM QM
显然过点P的动直线不与x轴重合，故设直线方程为x =my+n(m¹0)，
学科网（北京）股份有限公司设Px ,y ,Qx ,y ,M(t,0)，
1 1 2 2
ìx=my+n
联立 ï íx2 y2 ，可得  3m2 +4  y2 +6mny+  3n2 -12  =0，
+ =1
ï
î 4 3
D >0，即3m2 -n2 +4>0时，
6mn 3n2 -12
由韦达定理得y + y =- ,y y = ，
1 2 3m2 +4 1 2 3m2 +4
y y
因为k +k =0，所以 1 + 2 =0，
PM QM x -t x -t
1 2
y y
即 1 + 2 =0，
my +n-t my +n-t
1 2
整理得2my y +(n-t)y + y =0，
1 2 1 2
3n2 -12 -6mn
所以2m× +(n-t)× =0，
3m2 +4 3m2 +4
化简得n2 -4-n(n-t)=0，
即nt =4。
18. 如图， 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB = 2,BC = 4，侧面PBC 为正三角形，且平面
uuur uuur
PBC ^平面ABCD，E为棱PA上一点，PE =lPA(0<l<1)，平面BCE交棱PD于点F.
（1）求证：BC//EF ；
1
（2）当l= 时，点P关于平面BCE的对称点为Q，求Q点到平面PCD的距离.
2
（3）求直线CD与平面BED所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明见解析
3
（2）
2
学科网（北京）股份有限公司2 5
（3）
5
【解析】
【分析】（1）先证明BC//平面PAD，再根据线面平行的性质求解即可；
 
（2）建立空间直角坐标系，设Qa,b,c ，利用空间向量列方程可求得Q 0,3, 3 ，进而利用点到平面的
距离公式求解即可；
（3）利用空间向量表示出直线CD与平面BED所成角的正弦值，进而求解即可.
【小问1详解】
在矩形ABCD中，BC//AD，
因为 BC Ë平面PAD，ADÌ平面PAD，所以BC//平面PAD，
又平面PADÇ平面BCE = EF ，BC Ì平面BCE ，
所以BC//EF .
【小问2详解】
设BC的中点为O，连接PO，
因为△PBC为正三角形，所以PO^BC，
又平面PBC ^平面ABCD，平面PBC 平面ABCD= BC，POÌ平面PBC ，
I
所以PO ^平面ABCD，
以O为原点，以OB,OP所在直线为x,z轴，以过点O垂直于BC的直线为y轴建立如图所示的空间直角坐
标系，
  1  
则P 0,0,2 3 ,A2,2,0,B2,0,0,C-2,0,0,D-2,2,0 ，当l= 时，E 1,1, 3 ，设
2
Qa,b,c
，
uuur uuur   uuur   uuur
则BC =-4,0,0,BE = -1,1, 3 ,PB= 2,0,-2 3 ,QB=2-a,-b,-c ，
uuur   uuur   uuur  
PQ= a,b,c-2 3 ,PC = -2,0,-2 3 ,PD= -2,2,-2 3 ，
设平面BCE的一个法向量为m r =x,y,z ，
uuur
ì ïm r ×BC =-4x=0
r  
则í ，取z =-1，得m= 0, 3,-1 ，
uuur
r
ïîm×BE =-x+ y+ 3z =0
因为点P关于平面BCE的对称点为Q，
uuur ur
所以PQ//m，且点P到平面BCE的距离与点Q到平面BCE的距离相等，
学科网（北京）股份有限公司uuur uuur
r r
b c-2 3 PB×m QB×m
则a =0, = ，且 = ，
3 -1 m r m r
即a =0,b=6- 3c，且2 3 = - 3b+c ，
  uuur  
解得c= 3 或c=2 3（舍去），b =3，即Q 0,3, 3 ，则PQ= 0,3,- 3 ，
设平面PCD的一个法向量为n r =x ,y ,z  ，
1 1 1
uuur
则 ì ï í n r ×PC =-2x 1 -2 3z 1 =0 ，取x = 3，得n r =  3,0,-1  ，
r uuur 1
ïî n×PD=-2x +2y -2 3z =0
1 1 1
uuur
r
PQ×n
3 3
则Q点到平面PCD的距离为 = = .
r
n 3+1 2
【小问3详解】
uuur   uuur uuur uuur  
由（2）知，PA= 2,2,-2 3 ,CD=0,2,0,BD=-4,2,0,PB= 2,0,-2 3 ，
uuur uuur  
则PE =lPA= 2l,2l,-2 3l (0<l<1)，
uuur uuur uuur  
即BE = PE-PB= 2l-2,2l,-2 3l+2 3 ，
设平面BED的一个法向量为u r =x ,y ,z  ，
2 2 2
uuur
ìu r ×BD=-4x +2y =0
ï 2 2
则í u r × u B u E ur =2l-2x +2ly +  -2 3l+2 3  z =0 ，
ï
î 2 2 2
取y =2 31-l，得u r =  31-l,2 31-l,1-3l  ，
2
设直线CD与平面BED所成角为q，
uuur
r
uuur u×CD 4 31-l
则sinq= cosu r ,CD = uuur = ，令t =1-l0<t <1 ，
u r × CD 151-l2 +1-3l2 ´2
4 3t 3t 1 1
sinq= = = =
则 15t2 +3t-22 ´2 6t2 -3t+1 1 1 1 1 ，
2- + 2- +
t 3t2 t 3t2
1 1 1 1
令v= v>1，则2- + = v2 -v+2，
t t 3t2 3
1 3
由于函数y = v2 -v+2开口向上，对称轴为v= ，
3 2
学科网（北京）股份有限公司3 1 5
则v= 时，y = v2 -v+2取得最小值 ，
2 3 4
1 2 5
= 2 5
则sinq的最大值为 5 5 ，即直线CD与平面BED所成角的正弦值的最大值为 .
5
4
19. 已知函数 f(x)=tanx-kx.
æ π πö
（1）若k =2，求函数 f (x)在区间ç - , ÷上的单调区间；
è 2 2ø
（2）若k =1，函数 f (x)在区间 0,+¥ 的零点从小到大依次构成数列 a  ；
n
（i）证明: 函数 f (x)在区间
æ
ç nπ,nπ+
πö
÷
 nÎN*
有唯一零点，且a +π<a ；
è 2ø n n+1
（ii）令b =a -a ，判断并证明数列 b  的单调性.
n n+1 n n
æ π πö æ π πö æπ πö
【答案】（1）单调递减区间为ç - , ÷，单调递增区间为ç - ,- ÷，ç , ÷
è 4 4ø è 2 4ø è4 2ø
（2）（i）证明见解析；（ii）数列
b 
是递减数列，证明见解析
n
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数的正负求解即可；
（2）（i）首先利用导数说明函数 f x 每一个零点所在区间，再结合诱导公式，以及函数的单调性，比较
大小后，即可证明；
c +c
（ii）首先设c =a -nπ，利用分析法转化证明c > n+1 n-1,n³2，根据条件得到
n n n 2
f c + f c  æc +c ö
f c = n+1 n-1 ，并通过作差 f c - f ç n+1 n-1 ÷构造函数
n 2 n è 2 ø
学科网（北京）股份有限公司æ x+c ö æ πö
h(x)= f(x)+ f c -2f ç n-1 ÷ ,xÎ ç 0, ÷，n³2，利用导数分析单调性后即可证明.
n-1 è 2 ø è 2ø
【小问1详解】
sinx æ π πö
当k =2时， f(x)=tanx-2x= -2x，xÎ ç - , ÷，
cosx è 2 2ø
cos2 x+sin2 x 1 1-2cos2 x
则 f¢(x)= -2= -2= ，
cos2 x cos2 x cos2 x
π π π π
令 f¢(x)>0，得- < x<- 或 <x< ，
2 4 4 2
π π
令 f¢(x)<0，得- <x< ，
4 4
æ π πö æ π πö
所以函数 f (x)在ç - , ÷上的单调递减区间为ç - , ÷，
è 2 2ø è 4 4ø
æ π πö æ π πö
单调递增区间为ç - ,- ÷，ç , ÷.
è 2 4ø è 4 2ø
【小问2详解】
sinx
（i）当k =1时， f(x)=tanx-x= -x，xÎ0,+¥ ，
cosx
cos2 x+sin2 x 1
则 f¢(x)= -1= -1³0，
cos2 x cos2 x
æ πö
所以对于任意nÎN*, f(x)在区间ç nπ,nπ+ ÷上单调递增，
è 2ø
π
又 f(nπ)=-nπ<0，当x®nπ+ 时， f(x)®+¥，
2
æ πö æ πö
所以 f (x)在区间ç nπ,nπ+ ÷内有唯一零点，则a Î ç nπ,nπ+ ÷，
è 2ø n è 2ø
æ πö
所以a +π和a 都在区间ç (n+1)π,(n+1)π+ ÷内，
n n+1 è 2ø
又tana +π=tana =a <a =tana ，所以a +π<a ．
n n n n+1 n+1 n n+1
（ⅱ）数列
b 
是递减数列，证明如下：
n
要证明数列 b  是递减数列，即证当n³2时，b <b ，
n n n-1
学科网（北京）股份有限公司a +a
即证当n³2时，a -a <a -a ，即证a > n+1 n-1 ，
n+1 n n n-1 n 2
c +c
记c =a -nπ，则a =c +nπ，所以只需证明当n³2时，c > n+1 n-1 ．
n n n n n 2
æ πö æ πö
由（ⅰ）知a Î ç nπ,nπ+ ÷，所以c Î ç 0, ÷，且tanc =tana -nπ=tana =a ．
n è 2ø n è 2ø n n n n
f c + f c 
所以 f c =tanc -c =a -c =nπ，则 f c = n+1 n-1 ，n³2，
n n n n n n 2
æc +c ö f c + f c  æc +c ö 1é æc +c öù
所以 f c n - f ç è n+1 2 n-1 ÷ ø = n+1 2 n-1 - f ç è n+1 2 n-1 ÷ ø = 2 ê ë f c n+1 + f c n-1 -2f ç è n+1 2 n-1 ÷ ø ú û ，
æ x+c ö æ πö
设函数h(x)= f(x)+ f c -2f ç n-1 ÷ ,xÎ ç 0, ÷，n³2，
n-1 è 2 ø è 2ø
æ x+c ö
则h¢(x)= f¢(x)- f¢ ç n-1 ÷，
è 2 ø
1 æ πö
因为 f¢(x)= -1在区间ç 0, ÷上单调递增，
cos2 x è 2ø
x+c æ x+c ö
所以当x> n-1 ，即x>c 时， f¢(x)> f¢ ç n-1 ÷，即h¢(x)>0，
2 n-1 è 2 ø
所以h(x)在x>c 时单调递增，则hc >hc =0，
n-1 n+1 n-1
æc +c ö æc +c ö
即 f c + f c >2f ç n+1 n-1 ÷，所以 f c > f ç n+1 n-1 ÷．
n+1 n-1 è 2 ø n è 2 ø
æ πö c +c æ πö c +c
又因为 f (x)在ç 0, ÷上单调递增，且c , n+1 n-1 Î ç 0, ÷，所以c > n+1 n-1 ，
è 2ø n 2 è 2ø n 2
综上所述，数列
b 
是递减数列．
n
学科网（北京）股份有限公司