重庆市西南大学附属中学校2026届高三上学期1月月考数学试卷（解析版）(1)_2026年1月_260111重庆市西南大学附属中学校2026届高三上学期1月定时检测（一诊）（全科）

重庆市西南大学附属中学校 2026 届高三上学期 1 月月考数学试卷+精品解析 注意事项: 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上 无效. 3、试卷由圈"整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 2 z = 1. 复数 i2026 -i 的虚部为（ ） A. 1 B. i C. -1 D. -i 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘方和除法运算即可得到答案. 2 2 2 21-i 【详解】z = = = = - = -1+i， i2026 -i i4´506+2 -i -1-i 1+i1-i 则其虚部为1. 故选：A. r r r  r r r 2. 已知向量a =m,2，b=1,1，c=1,3，且 2a-b ^c，则实数m为（ ） A. -4 B. -3 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得m的值. r r 【详解】2a-b=2m,4-1,1=2m-1,3，  r r r 由于 2a-b ^c，  r r r 所以 2a-b ×c=2m-1+9=2m+8=0,m=-4. 学科网（北京）股份有限公司故选：A 3. 函数y = 2cos2 x+sin2x 的最大值为（ ） A. 1- 2 B. 2+1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 æ πö 【分析】利用三角恒等变换可得y = 2sin ç 2x+ ÷ +1，结合正弦函数最值分析求解. è 4ø 1+cos2x æ πö 【详解】因为y =2cos2 x+sin2x=2´ +sin2x=sin2x+cos2x+1= 2sin ç 2x+ ÷ +1， 2 è 4ø π π π 当2x+ =2kπ+ ,kÎZ，即x=kπ+ ,kÎZ时，函数取到最大值y = 2+1. 4 2 8 max 故选：B. 4. 如图，已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等，E为棱PC中点，则异面直线BE 与PD所成角的 余弦值为（ ） 3 3 A. B. 3 6 1 1 C D. . 6 3 【答案】B 【解析】 uuur uuur uuur 【分析】取 AD,AB,AP 为空间向量基底，用空间向量求异面直线的夹角的余弦. uuur uuur uuur 【详解】以 AD,AB,AP 为空间向量基底，不妨设AB=2， uuur uuur uuur uuur uuur uuur 则AB×AD=0，AB×AP= AD×AP=2´2´cos60°=2. uuur 又 u D uu P r = u A u P ur - u A u D ur ， DP =2， 学科网（北京）股份有限公司uuur 1uuur uuur 1uuur uuur uuur uuur BE = BP+BC = AP-AB+ AD ， BE = 3， 2 2 uuur uuur 1uuur uuur uuur uuur uuur 所以DP×BE = AP-AD × AP-AB+ AD 2 1uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur2  = AP -AP×AB+ AB×AD-AD 2 1 = 4-2+0-4=-1， 2 uuur uuur uuur uuur DP×BE -1 3 所以 cosDP,BE = uuur uuur = =- ， DP × BE 2 3 6 3 所以异面直线BE 与PD所成角的余弦为 . 6 故选：B 5. 甲､乙､丙､丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配 1名志愿者，但甲､乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（ ） A. 30种 B. 36种 C. 42种 D. 56种 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出所有可能得选派方法，在计算出甲乙在同一足球场的情况，可求出不在同一足球场的分 配方案数. 【详解】总分配方案种数为C2A3 =36，甲､乙在同一足球场的分配方案种数为C1A2 =6，则甲､乙不在同 4 3 3 2 一个足球场的分配方案种数为36-6=30， 故选:A. S 6. 记等比数列 a  的前n项和为S ，数列 b  的前n项和为T ，且满足 b =a ， 若 2026 =2026，则 n n n n n 2n-1 T 1013 a  公比q=（ ） n A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列前n项和公式列式计算得解. 【详解】等比数列 a  中，a = a qn-1，则b =a =aq2n-2， n n 1 n 2n-1 1 学科网（北京）股份有限公司b aq2n+1 因 n+1 = 1 =q2，故数列 b  是首项为a ，公比为q2的等比数列， b aq2n-1 n 1 n 1 S 显然q ¹1，否则 2026 =2；且q ¹ -1，否则S =0， T 2026 1013 a  1-q2026 a  1-q2026 S 则S = 1 ,T = 1 ，由 2026 =2026，得1+q=2026， 2026 1-q 1013 1-q2 T 1013 所以q =2025. 故选：C 7. 已知a >0，b>0，且a+b=1，则下列不等式不正确的是（ ） 1 1 A. ab£ B. a2 +b2 ³ 4 2 1 1 C. + >2 D. a + b £1 a b+1 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C. 【详解】因为a >0，b>0，且a+b=1， 2 æa+bö 1 由基本不等式可得ab£ ç ÷ = （当且仅当a =b时取等号），A正确； è 2 ø 4 a+b a2 +b2 1 a2 +b2 由基本不等式知 £ ，则 £ ， 2 2 2 2 1 即a2 +b2 ³ （当且仅当a =b时取等号），B正确； 2 1 1 1 1 2 由题得 + = + = ， a b+1 1-b b+1 1-b2 2 由已知02， 1-b2 1 1 故 + >2，C正确； a b+1 a + b a+b 1 由基本不等式可得 £ = ， 2 2 2 即 a + b £ 2 （当且仅当a =b时取等号），D错误. 学科网（北京）股份有限公司故选：D. 8. 已知函数 gx=ex +e-x，若 f¢x+1= xg¢x+gx,xÎR，且 f 1=1，若 f  a2 -1  + f  b2 +3  =2，则满足条件的点 a,b 在平面直角坐标系中构成的图象为（ ） A. 圆 B. 双曲线 C. 一个点 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】先确定函数 f x 的解析式，再分析函数 f x 的对称性，根据函数性质确定a,b的关系，可得问 题答案. 【详解】因为 f¢x+1= xg¢x+gx=  xgx¢ ， 所以 f x+1= xgx+c. 又 f 1=1，所以 f 1=0×g0+c=1Þ c=1. 所以 f x+1= xgx+1Þ f x=x-1gx-1+1=x-1 ex-1+e1-x +1. 因为 f 1+x+ f 1-x = x  ex +e-x +1+-x×  e-x +ex +1 =2. 又 f  a2 -1  + f  b2 +3  =2， 所以a2 -1+b2 +3=2 Þ a2 +b2 =0 Þ a =b=0. 所以点 a,b 在平面直角坐标系中构成的图象为1个点. 故选：C 二、多选题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件A与事件B相互独立，PA=0.4,PB=0.3， 则PAÈB=0.7 B. 若样本数据x ,x ,×××,x 的方差为10， 则数据3x -1,3x -1,×××,3x -1的方差为90 1 2 6 1 2 6 C. 一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个 红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D. 1,2,3,×××,2024,2025,2026这2026个数的上四分位数是507 【答案】BC 学科网（北京）股份有限公司【解析】 【分析】根据概率公式PAÈB= PA+PB-PAB ，结合独立事件的概率乘法公式可判断A；根 据方差的性质可判断B；根据互斥事件的概念可判断C；根据百分位数的定义直接计算可判断D. 【详解】对A，因为事件A与事件B相互独立，PA=0.4,PB=0.3， 所以PAB= PAPB=0.4´0.3=0.12， 则PAÈB= PA+PB-PAB=0.4+0.3-0.12=0.58，A错误； 对B，因为样本数据x ,x ,×××,x 的方差为10， 1 2 6 所以数据3x -1,3x -1,×××,3x -1的方差为32´10=90，B正确； 1 2 6 对C，因为不放回地抽取两次最多有一个红球， 所以事件“至少有一个红球”发生时，取到的球必然有两种颜色（红黑或红白）， 此时事件“两个球颜色相同”不可能发生，故两事件互斥，C正确； 对D，因为2026´0.75=1519.5，所以上四分位数是该组数据的第1520个数，即1520，D错误. 故选：BC 10. 如图，在正四棱柱ABCD- ABC D 中，AA =2 2,AB=2，点P为线段AD 上一动点，则下列说 1 1 1 1 1 1 法正确的是（ ） A. 直线PB //平面BCD 1 1 B. 三棱锥P-BCC 的体积为定值4 2 1 C. 若Q为线段BB 中点，则C P与CQ垂直 1 1 D. 三棱锥C -ABD外接球的体积为16π 1 【答案】AC 【解析】 学科网（北京）股份有限公司【分析】对于A，连接AB,BD ，先证明平面ABD //平面BCD，进而判断即可；对于B，先证明AD // 1 1 1 1 1 1 1 平面BCC ，而PÎAD ，可得P到平面BCC 的距离等于A到平面BCC 的距离，进而根据棱锥的体积公 1 1 1 1 式求解判断即可；对于C，先证明CQ^ BC ，AB^CQ，即可得到CQ ^平面ABC D ，进而得到 1 1 1 C P^CQ即可判断；对于D，三棱锥C -ABD的外接球半径等于正四棱柱ABCD- ABC D 的外接球 1 1 1 1 1 1 半径，进而求出外接球半径，再根据球的体积公式求解判断即可. 【详解】A，连接AB,BD ， 1 1 1 在正四棱柱ABCD- ABC D 中，BD //BD，AD //BC ， 1 1 1 1 1 1 1 1 因为BD Ë平面BCD，BDÌ平面BCD，所以BD //平面BCD， 1 1 1 1 1 1 1 因为AD Ë平面BCD，BC Ì平面BCD，所以AD //平面BCD， 1 1 1 1 1 1 因为AD ÇBD = D ，AD 、BD Ì平面ABD ，所以平面ABD //平面BCD， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 又因为PB Ì平面ABD ，所以PB //平面BCD，故A正确； 1 1 1 1 1 B，由于AD //BC ，AD Ë平面BCC ，BC Ì平面BCC ， 1 1 1 1 1 1 所以AD //平面BCC ，而PÎAD ， 1 1 1 则P到平面BCC 的距离等于A到平面BCC 的距离， 1 1 而AB ^平面BCC ，所以A到平面BCC 的距离为AB=2， 1 1 1 1 1 4 2 则三棱锥P-BCC 的体积为 S ×AB= ´ ´2´2 2´2= ，故B错误； 1 3 VBCC 1 3 2 3 C，因为Q为线段BB 中点，所以BQ = 2，而CC =2 2,BC =2， 1 1 CC BC 则 BC 1 = QB = 2，即V C 1 CB :V CBQ，则ÐC 1 BC =ÐCQB， 学科网（北京）股份有限公司而ÐCQB+ÐQCB=90°，所以ÐC BC+ÐQCB=90°，可得CQ^ BC ， 1 1 而AB ^平面BBCC，CQÌ平面BBCC，所以AB^CQ， 1 1 1 1 因为AB I BC = B，AB,BC Ì平面ABC D ，所以CQ ^平面ABC D ， 1 1 1 1 1 1 又C PÌ平面ABC D ，所以C P^CQ，故C正确； 1 1 1 1 D，三棱锥C -ABD的外接球半径等于正四棱柱ABCD- ABC D 的外接球半径， 1 1 1 1 1 AB2 + AD2 + AA2 4+4+8 设三棱锥C -ABD的外接球半径为r ，则r = 1 = =2， 1 2 2 4πr3 4π´23 32π 因此三棱锥C -ABD外接球的体积为 = = ，故D错误. 1 3 3 3 故选：AC 11. 已知抛物线C：y2 =4x的焦点为F，经过点F的直线交抛物线C于A，B两点，则下列说法中正确的 有（ ） A. 点F 的坐标为(1,0) B. 若点A在第一象限， 且 AF =2 BF ， 则直线AB 的斜率为 2 2 uuur uuur C. OA×OB=0 D. 过点H(-2,1)作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，若点T为C的曲线段MON 上任意一点，则 27 △TMN 面积的最大值为 4 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出焦点坐标判断A；设出直线AB方程，与抛物线方程联立，利用，结合抛物线定义及数量积的 坐标表示求解判断BC；求出直线MN 的方程，并求出点T 到直线MN 的最大距离即可判断D. 学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，抛物线C：y2 =4x的焦点F(1,0)，A正确； ìx=ty+1 直线AB不垂直于y轴，设其方程为x=ty+1，由í 消去x得y2 -4ty-4=0， îy2 =4x y2 y2 设A(x ,y ),B(x ,y )，则y + y =4t,y y =-4，x +x =t(y + y )+2=4t2 +2，x x = 1 × 2 =1， 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 8 5 4 1 对于B，由 AF =2 BF ，得x +1=2(x +1)，即x =2x +1，则x = t2 + ,x = t2 + ， 1 2 1 2 1 3 3 2 3 3 8 5 4 1 1 x -1 2x 因此( t2 + )( t2 + )=1，解得t2 = ，由y >0，得 1 = 2 >0，而x >0， 3 3 3 3 8 1 t t 2 1 1 则t >0，t = ，因此直线AB的斜率 =2 2 ，B正确； 2 2 t uuur uuur 对于C，OA×OB = x x + y y =1-4= -3¹0，C错误； 1 2 1 2 对于D，设点M(x ,y ),N(x ,y )，抛物线C在点M 处的切线方程为 y y =2x+2x ， 3 3 4 4 3 3 ìy y =2x+2x 由í 3 3 消去x得2y y= y2 +4x ，即y2 -2y y+ y2 =0，则Δ=4y2 -4y2 =0， îy2 =4x 3 3 3 3 3 3 因此抛物线C在点M 处的切线方程为 y y =2x+2x ，同理抛物线C在点N 处的切线方程为 3 3 y y =2x+2x ， 4 4 ì2x -4- y =0 而这两条切线的交点为H(-2,1)，则í 3 3 ，即点M,N 的坐标均满足方程2x- y-4=0， 2x -4- y =0 î 4 4 ìy =2x-4 1 由í 消去x得y2 -2y-8=0，解得y =-2,y =4， MN = 1+( )2 × y - y =3 5 ， îy2 =4x 3 4 2 3 4 依题意，抛物线C在点T 处的切线与直线2x- y-4=0平行， ìy =2x+m 设抛物线C在点T 处的切线方程为y =2x+m，由í 消去x得y2 -2y+2m=0， îy2 =4x 1 1 1 则D¢=4-8m=0，解得m= ，此时y =1，x= ，即点T( ,1)， 2 4 4 学科网（北京）股份有限公司1 |2´ -1-4| 9 点T 到直线MN 距离的最大值为 4 ， = 22 +(-1)2 2 5 1 9 27 因此△TMN 面积的最大值为 ×3 5× = ，D正确. 2 2 5 4 故选：ABD 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 4 æ 1 ö 12. ç 2x- ÷ 的展开式中x的系数为_________(用数字作答). è 5x2 ø 32 【答案】- 5 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，令展开式中x的指数为1，即可求出x的系数. 4 æ 1 ö 【详解】在 2x- 的展开式中， ç ÷ è 5x2 ø æ 1 ö r Cr ×24-r ×-1r 通项公式为T =Cr ×2x4-r × - = 4 ×x4-3r ， ç ÷ r+1 4 è 5x2 ø 5r 令4-3r=1，解得r=1， 23´-1´C1 32 所以展开式中x的系数为： 4 =- . 5 5 32 故答案为：- . 5 13. 已知圆C:x2 + y2 =2，点P 为直线x- y+3=0上一动点，过点 P 向圆C引两条切线 PA、PB，点 A、B为切点，则直线AB经过定点_________. æ 2 2ö 【答案】ç - , ÷ è 3 3ø 学科网（北京）股份有限公司【解析】 【分析】设出P点坐标，得到以OP为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立，可得直线AB的方程，再由 直线系方程求解． 【详解】圆C:x2 + y2 =2的圆心为O0,0 ， 设Pa,a+3 ， 2 2 æ aö æ a+3ö 1 则以OP为直径的圆的方程为 x- + y- = éa2 +a+32ù， ç ÷ ç ÷ è 2ø è 2 ø 4ë û 即x2 + y2 -ax-a+3y =0， 又圆C:x2 + y2 =2，相减可得2-ax-a+3y =0， 即ax+ y+3y-2=0， ì 2 x=- ìx+ y =0 ï ï 3 令í ，解得í ， î3y-2=0 ï 2 y = ïî 3 æ 2 2ö 所以直线AB经过定点ç - , ÷． è 3 3ø æ 2 2ö 故答案为：ç - , ÷. è 3 3ø 1 14. 在正项数列{a }中， a =1,a2 -a2 =1，记 b = .整数m满足 n 1 n+1 n n a +1a +1a +a  n n+1 n n+1 lg  102023 +1  lg102023 =2023,2024=lg102024 0，w>0,00，即3m2 -n2 +4>0时， 6mn 3n2 -12 由韦达定理得y + y =- ,y y = ， 1 2 3m2 +4 1 2 3m2 +4 y y 因为k +k =0，所以 1 + 2 =0， PM QM x -t x -t 1 2 y y 即 1 + 2 =0， my +n-t my +n-t 1 2 整理得2my y +(n-t)y + y =0， 1 2 1 2 3n2 -12 -6mn 所以2m× +(n-t)× =0， 3m2 +4 3m2 +4 化简得n2 -4-n(n-t)=0， 即nt =4。 18. 如图， 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB = 2,BC = 4，侧面PBC 为正三角形，且平面 uuur uuur PBC ^平面ABCD，E为棱PA上一点，PE =lPA(01，则2- + = v2 -v+2， t t 3t2 3 1 3 由于函数y = v2 -v+2开口向上，对称轴为v= ， 3 2 学科网（北京）股份有限公司3 1 5 则v= 时，y = v2 -v+2取得最小值 ， 2 3 4 1 2 5 = 2 5 则sinq的最大值为 5 5 ，即直线CD与平面BED所成角的正弦值的最大值为 . 5 4 19. 已知函数 f(x)=tanx-kx. æ π πö （1）若k =2，求函数 f (x)在区间ç - , ÷上的单调区间； è 2 2ø （2）若k =1，函数 f (x)在区间 0,+¥ 的零点从小到大依次构成数列 a  ； n （i）证明: 函数 f (x)在区间 æ ç nπ,nπ+ πö ÷  nÎN* 有唯一零点，且a +π n+1 n-1,n³2，根据条件得到 n n n 2 f c + f c  æc +c ö f c = n+1 n-1 ，并通过作差 f c - f ç n+1 n-1 ÷构造函数 n 2 n è 2 ø 学科网（北京）股份有限公司æ x+c ö æ πö h(x)= f(x)+ f c -2f ç n-1 ÷ ,xÎ ç 0, ÷，n³2，利用导数分析单调性后即可证明. n-1 è 2 ø è 2ø 【小问1详解】 sinx æ π πö 当k =2时， f(x)=tanx-2x= -2x，xÎ ç - , ÷， cosx è 2 2ø cos2 x+sin2 x 1 1-2cos2 x 则 f¢(x)= -2= -2= ， cos2 x cos2 x cos2 x π π π π 令 f¢(x)>0，得- < x<- 或 n+1 n-1 ， n+1 n n n-1 n 2 c +c 记c =a -nπ，则a =c +nπ，所以只需证明当n³2时，c > n+1 n-1 ． n n n n n 2 æ πö æ πö 由（ⅰ）知a Î ç nπ,nπ+ ÷，所以c Î ç 0, ÷，且tanc =tana -nπ=tana =a ． n è 2ø n è 2ø n n n n f c + f c  所以 f c =tanc -c =a -c =nπ，则 f c = n+1 n-1 ，n³2， n n n n n n 2 æc +c ö f c + f c  æc +c ö 1é æc +c öù 所以 f c n - f ç è n+1 2 n-1 ÷ ø = n+1 2 n-1 - f ç è n+1 2 n-1 ÷ ø = 2 ê ë f c n+1 + f c n-1 -2f ç è n+1 2 n-1 ÷ ø ú û ， æ x+c ö æ πö 设函数h(x)= f(x)+ f c -2f ç n-1 ÷ ,xÎ ç 0, ÷，n³2， n-1 è 2 ø è 2ø æ x+c ö 则h¢(x)= f¢(x)- f¢ ç n-1 ÷， è 2 ø 1 æ πö 因为 f¢(x)= -1在区间ç 0, ÷上单调递增， cos2 x è 2ø x+c æ x+c ö 所以当x> n-1 ，即x>c 时， f¢(x)> f¢ ç n-1 ÷，即h¢(x)>0， 2 n-1 è 2 ø 所以h(x)在x>c 时单调递增，则hc >hc =0， n-1 n+1 n-1 æc +c ö æc +c ö 即 f c + f c >2f ç n+1 n-1 ÷，所以 f c > f ç n+1 n-1 ÷． n+1 n-1 è 2 ø n è 2 ø æ πö c +c æ πö c +c 又因为 f (x)在ç 0, ÷上单调递增，且c , n+1 n-1 Î ç 0, ÷，所以c > n+1 n-1 ， è 2ø n 2 è 2ø n 2 综上所述，数列 b  是递减数列． n 学科网（北京）股份有限公司