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数 学
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
2. 已知复数 为纯虚数，则实数 （）
A. B. 1
C. D. 2
【答案】C
3. 某农科院学生为研究某花卉种子的发芽率 和温度 （单位: ）的关系，在 个不同的温度条件下进
行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图.由此散点图，在 至 之
间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
4. 设抛物线 上一点 到 轴的距离是1，则点 到该抛物线焦点的距离是（）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 13
【答案】B
5. 某小区因疫情需求，物业把招募的5名志原者中分配到3处核酸采样点，每处采样点至少分配一名，则
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学科网（北京）股份有限公司不同的分配方法共有（）
A. 150 种 B. 180 种 C. 200 种 D. 280 种
【答案】A
6. 设直线 经过点 ，则 的最小值为（）
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学科网（北京）股份有限公司A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
【答案】B
7. 如图，某港口一天从6时到18时的水深曲线近似满足函数
.据此可知当天12时的水深为（）
A. 3.5 B. 4 C. D.
【答案】A
8. 已知直线 ： （ ）被圆 ： 所截的弦长是圆心 到直线
的距离的2倍，则
A. 6 B. 8 C. 9 D. 11
【答案】C
9. 在棱长均等的正三棱柱 中，直线 与 所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
10. 已知奇函数 满足 ，当 时， ，则 （）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
的
11. 已知球 半径为3，其内接圆柱的体积最大值为（）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司12. 设 ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知等边三角形 的边长为 ，则 ______.
【答案】
14. 从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为_________
【答案】
15. 已知点 为曲线 上的动点，则 到直线 的最小距离为______.
【答案】
16. 若双曲线的焦点关于渐近线的对称点恰好在该双曲线上，则该双曲线的离心率为___________.
【答案】
三.解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列 是公差不为0的等差数列， ，且 为 与 的等比中项.
（1）求数列 的通项公式;
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ;
（2） .
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学科网（北京）股份有限公司18. 记 的内角 的对边分别为 ，且 .
（1）求 ;
（2）若 ，求 .
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
19. 为了监控某一条生产线的生产过程，从其产品中随机抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量
结果得到如图所示的频率分布直方图，其中质量指标值落在区间 内的频率是公比
为 的等比数列.
（1）求这些产品质量指标值落在区间 内的频率;
（2）若将频率视为概率，从该条生产线的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标位于区间
内的产品件数为 ，求 的分布列与数学期望.
【答案】（1）0.05
（2）分布列见解析，1.8
【小问1详解】
设这些产品质量指标值落在区间 内 的频率为 ，则在区间 ， 内的频率分别为
和 ．
依题意得 ，解得 ．
所以这些产品质量指标值落在区间 内的频率为 ．
【小问2详解】
由（1）得，这此产品质量指标值落在区间 内的频率为 ，将频率视为概率得
.
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学科网（北京）股份有限公司从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，
所以 其中 .
因为 的所有可能取值为0，1，2，3，
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学科网（北京）股份有限公司且 ，
，
，
.
所以 的分布列为
0 1 2 3
.
0.064 0.288 0.432 0216
根据二项分布期望公式可知， 的数学期望为 .
20. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ，
.
（1）求证: ;
（2）求 与平面 所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司因为底面 为正方形，且 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司则可得 两两垂直.
以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
设 ，
则 ，
因为 ，所以
所以 .
故 ，
所以 .
【小问2详解】
由（1）可知:
设平面 的法向量为 ，
则 ，
即 取 ，则 .
所以 .且
设 与平面 所成角为 ，
则 .
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
即 与平面 所成角的余弦值 .
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学科网（北京）股份有限公司21. 已知线段 的长度为3，其端点 分别在 轴与 轴上滑动，动点 满足 .
（1）求动点 的轨迹 的方程;
（2）当点 坐标为 ，且点 在第一象限时，设动直线 与 相交于 两点，且两直线
的斜率互为相反数，求直线 的斜率.
【答案】（1）
（2） .
22. 已知函数 .
（1）求 的单调性；
（2）证明： .
【答案】（1） 在 上单调递减，在 上单调递增
（2）证明见解析
【小问1详解】
解：定义域为 ，
，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司证明：令 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的最小值为 ，
故当 时， ，即 ，
当 时， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司
