山东省枣庄市第三中学2024届高三上学期10月月考数学(1)_2023年10月_01每日更新_23号_2024届山东省枣庄市第三中学高三上学期10月月考

枣庄三中高三年级10月月考 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试用时120分钟。答卷前， 考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方。 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 注意事项：第Ⅰ卷共12 小题，每小题5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，1到8题只有一 项是符合题目要求，9 到 12 题为多项选择题。每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知集合U =R， 数学试题第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 A =  y y = x , x  1    ，B= x y =ln(2−x) ，则 A U B = A. [ 2 , +  ) B. [ 1 , +  ) C. [1 , 2 ) D. [1,2] 2. 设 x  R ，则“ 1  x  2 ”是“ x 2 − 2 x − 3  0 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 3. 已知 3sin+cos= ，则 3 c o s ( 2 3 2 ) (   − = ) A． − 1 1 7 8 B． 1 1 7 8 C． − 8 9 D． 8 9 1 4. 若函数 f(x)= x2 − lnx+1在其定义域内的一个子区间 2 ( k − 1 , k + 1 ) 内不是单调函数，则实数 k 的取 值范围 A． [ 1 , +  ) B． [ 1 , 3 2 ) C． ( − 1 2 , 3 2 ) D． (1 , 3 2 ) 5. 已知数列{a }是首项为 n 3  − ，公差为 2 3  的等差数列，集合S ={cosa |nN*}，则集合 n S 中所有元素的 乘积为 ( ) A．−1 B． − 1 2 1 C．0 D． 2 6. 取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段分割三等分，各去掉中间一段， 留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所 形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分 1 集．若在第n次操作中去掉的线段长度之和不小于60，则n的最大值为 (参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771) A．6 B．7 C．8 D．9 {#{QQABCYIQogCoABBAAAhCQwEACkKQkBEACIoOAFAIoAAAARNABAA=}#}7. 设函数 数学试题第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 f ( x ) 的定义域为R， f ( 2 x + 1 ) 为奇函数， f ( x + 2 ) 为偶函数，当x[1,2]时， f ( x ) = a  2 x + b ．若 f ( 0 ) + f ( 3 ) = 6 ，则 f ( l o g 2 9 6 ) 的值是 A. − 1 2 B. − 2 C. 2 D. 12 8. 已知函数 f ( x ) 3 s in x 3 c o s x ( 0 )    = +  在区间 [ 4 , 3 ]   − 上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数 的取值范围 ( ) 8 A．[ ,7) B． 3 [ 8 3 , 4 ) C． [ 4 , 2 0 3 ) D． ( 2 0 3 , 7 ) 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）   9. 若,[− , ]，且sinsin，则下列结论中不一定成立的是( ) 2 2 A． B． 0   +  C．   D． | | | |    10.如图所示，某摩天轮最高点离地面高度55米，转盘直径为50米，设置若干个座舱，游客从离地面最近 的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转 t 分钟，当 t＝10 时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下 关于摩天轮的说法中，正确的为（ ） A．摩天轮离地面最近的距离为5米 B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则 C．存在t1 ，t2∈[0，15]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为20米 D．若在t1 ，t2 时刻游客距离地面的高度相等，则t1+t2 的最小值为20 11.设等比数列{an}的公比为 q，其前 n 项和为 Sn ，前 n 项积为 Tn ，且满足条件 a1 ＞1，a2020a2021 ＞1， （a2020 ﹣1）（a2021 ﹣1）＜0，则下列选项错误的是（ ） A．q＞1 B．S2020+1＞S2021 C．T2020 是数列{Tn}中的最大项 D．T4041 ＞1 (x+1)ex,x0  12. 已知函数 f (x)=(x+1)2 ，下列选项正确的是 （ ）  ,x0  ex A．函数 f ( x ) 在 ( − 2 ,1 ) 上单调递增 1 B．函数 f(x)的值域为[− ,+) e2 {#{QQABCYIQogCoABBAAAhCQwEACkKQkBEACIoOAFAIoAAAARNABAA=}#}C．若关于x的方程 数学试题第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司  f ( x )  2 − a f ( x ) = 0 有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ( 1 e 2 , 4 e ) D．不等式 f ( x ) − a x − a  0 在 ( − 1 , +  ) 3 2 恰有两个整数解，则实数a的取值范围是( , ) e2 e 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13. 已知数列 { a n } ， { b n } 都是等差数列， S n ， T n 分别是它们的前 n 项和，并且 S T n n = 7 3 n n + + 3 8 ，则 a b 7 7 = ． 14. 已知函数 ,若关于x的方程 至少有三个不相等的实数根,则实数a 的取值范围为 ． 15. 已知实数 a ， b 满足 a b  0 ，则 a a + b − a + a 2 b 的最大值为 ． 16. 已知曲线 y = e x + a 与 y = ( x − 1 ) 2 恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为 ． 四．解答题（共6小题，满分70分） 17. (本题满分10分) 已知向量 a ( s in 2 x  = x ，−sin )， 2 b ( c o s 2 x  = ， s in 2 x ) ( 0 )    ，函数 f ( x ) = 2 a  b ． （1）当 2  = 时，求函数 f ( x ) 的单调递增区间； （2）若 x 1 ， x 2 是函数 f ( x ) 的任意两个相异零点，且|x −x |的最小值为 1 2 2  ，求函数 f ( x ) 在 ( 0 , 2 )  上的值 域． 18. (本题满分12分) 已知数列 { a n } ，首项 a 1 = 2 ，设该数列的前 n 项的和为 S n ，且 a n + 1 = S n + 2 ( n  N * ) ． （1）求数列{a }的通项公式； n （2）若数列{b }满足 n b n = 1 n lo g 2 ( a 1 a 2 a n ) ( n  N * ) ，求数列{b }的通项公式； n 1 （3）在第（2）小题的条件下，令c = ， n bb n n+1 T n 是数列 { c n } 的前n项和，若对nN*， k  T n 恒成立，求 k f(x)=|x2 −4x+3| f(x)−a = x 的取值范围． {#{QQABCYIQogCoABBAAAhCQwEACkKQkBEACIoOAFAIoAAAARNABAA=}#}19. (本题满分12分) 在 数学试题第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司  A B C 中，角A，B， C 所对的边分别为 a ，b， c ，且满足(a2 +c2 −b2)sinB= 3accosB． （1）求 B ； （2）若  A B C 为锐角三角形，且b=1，求 2 a − c 的取值范围． 20. (本题满分12分) 已知函数 f(x)=2sinx−xcosx−x， f(x)为 f(x)的导数． （1）求曲线 y = f ( x ) 在点 A ( 0 ， f ( 0 ) ) 处的切线方程； （2） g ( x ) = x 2 − 2 x + a ( a  R ) ，若对任意 x 1  [ 0 ， ]  ，均存在 x 2  [1 ， 2 ] ，使得 f ( x 1 )  g ( x 2 ) ，求实数 a 的 取值范围． 21. (本题满分12分) 已知等差数列{an}的公差不为零，其前n项和为Sn ，且 a 2 是 a 1 和 a 5 的等比中项，且 a 2 n = 2 a n + 1 ( n  N * ) （1）求数列{ a n }的通项公式； （2）若数列{bn}满足 a b1 1 + a 2 b 2 + + a n b n ＝（2n﹣3）•2n+1+6，求和：Tn ＝ a b1 n + a 2 b n − 1 + + a n − b1 2 + a n b 1 22. (本题满分12分) 已知函数 f ( x ) = a x − a x − 2 l n x ( a  R ) . (1)若 f ( x ) 是定义域上的增函数，求 a 的取值范围； 3 (2)设a  ，m， 5 n 分别为 f ( x ) 的极大值和极小值，若S =m−n，求S 的取值范围. {#{QQABCYIQogCoABBAAAhCQwEACkKQkBEACIoOAFAIoAAAARNABAA=}#}高三年级 10 月月考数学试题参考答案 一、单选题： 1-4. A A C B. 5-8. B C B B 二、多选题： 9. ABC 10.ABD 11. AD 12. ACD 3 三、填空题： 13. 2 14. [−1,− ] 15. 4 数学试题参考答案第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 3 − 2 2 . 16. ( −  , 2 ln 2 − 3 ) ． 四、解答题: 17.解: （1） 2  = 时， a = ( s in x , − s in x ) ， b = ( c o s x , s in x ) ，  故 f(x)=2ab =2sinxcosx−2sin2x=sin2x+cos2x−1= 2sin(2x+ )−1 ····························· 2分 4    要求该函数的单调递增区间，只需− +2k 2x+ +2k， 2 4 2 k  Z ， 解得 3 8 k x 8 k     − + + ，kZ 即 f ( x ) 的单调递增区间为 [ 3 8 k   − + ， 8 k ]   + ， k  Z ． ·················································· 5分 （2）易知 f ( x ) 2 s in 2 x c o s 2 x 2 s in 2 2 x s in x c o s x 1 2 s in ( x 4 ) 1        = − = + − = + − ， 令 f ( x ) = 0 得 s in ( x 4 ) 2 2   + = ，因为 x 1 ， x 2 是函数 f ( x ) 的任意两个相异零点，且 | x 1 − x 2 |  的最小值为 ， 2 因为 0   3   ，故|x −x | = − = ，故 1 2 min 4 4 2 1  = ， ························································ 7分 所以 f ( x ) 2 s in ( x 4 ) 1  = + − ，当 0 x 2    时， 4 x 4 3 4     +  ，    此时 2sin  2sin(x+ ) 2sin ，故 4 4 2 f ( x )  ( 0 , 2 − 1 ] ． ··········································· 10分 18. 解：（1）由 a n + 1 = S n + 2 ，得 a n = S n − 1 + 2 ( n 2 ) ，两式相减并整理得 a n + 1 = 2 a n , 又当 n = 1 时，有 a 2 = a 1 + 2 ，且 a 1 = 2 ，解得 a 2 = 4 ，满足 a 2 = 2 a 1 ， 所以 { a n } 是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以a =22n−1 =2n； …………………….3分 n （2）由（1）可知 a 1 a 2  a n = 2  2 2    2 n = 2 n (n +2 1) 1 n(n+1) 1 n(n+1) n+1 ，所以b = log 2 2 =  = ， n n 2 n 2 2 所以 { b n } n+1 的通项公式为b = ； …………………….6分 n 2 1 4 1 1 （3）由（2）可知c = = =4( − )， …………………….8分 n bb (n+1)(n+2) n+1 n+2 n n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 所以T =4( − + − ++ − )=4( − )=2− ， …………………….10分 n 2 3 3 4 n+1 n+2 2 n+2 n+2 2 2 由于nN ，{T }在(0,+)单调递增，且T = ，所以 T 2， n 1 3 3 n {#{QQABCYIQogCoABBAAAhCQwEACkKQkBEACIoOAFAIoAAAARNABAA=}#}所以k 2，故 数学试题参考答案第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 k 的取值范围是 [ 2 ， +  ) ． …………………….12分 19. 解：解：（1）由(a2 +c2 −b2)sinB= 3accosB， 由余弦定理可得 c o s B s in B = 2 3 c o s B ，  c o s B = 0 或 s in B = 2 3 ， ……………………. 2分 0 B    ， B 2   = 或 B 3  = 2 或B= ． ……………………. 4分 3 （2）  A B C  为锐角三角形，由（1）可得B= ； 3 根据正弦定理 s a in A = s c in C = s b in B = 1 2 3 = 2 3 ，得： a = 2 3 s in A ， c = 2 3 s in C ，……………. 6分 2 a c 2 3 ( 2 s in A s in C ) 2 3 [ 2 s in A s in ( 2 3 A ) ]  2 3 − ( 3 2 = s in A 2 3 c o − s A ) 2 s = in ( A 6 ) − −  = − = − ． ..…….………. 8分 又  A B C 为锐角三角形，     A ， ……………………. 10分 6 2 0 A 6 3    −   2 a − c  ( 0 , 3 ) ． ……………………. 12分 20. 解：（1） f ( x ) = c o s x + x s in x − 1 ，所以 f ( 0 ) = 0 ， f ( 0 ) = 0 ， 从而曲线 y = f ( x ) 在点 A ( 0 ， f ( 0 ) ) 处的切线方程为 y = 0 ． …………………….2分 （2）由已知，转化为 f ( x ) m in  g ( x ) m in ，且 g ( x ) m in = g （1） = a − 1 ． …………………….4分 设h(x)= f(x)，则h(x)=cosx+xsinx−1， h ( x ) = x c o s x ．  当x(0, )时， 2 h ( x )  0 ；当 x ( 2 , )    时，h(x)0， 所以h(x)在 ( 0 , 2 )  单调递增，在 ( 2 , )   单调递减． …………………….6分 又 h ( 0 ) = 0 ， h ( 2 ) 0   ， h ( ) 2  = − ， 故 h ( x ) 在 ( 0 , )  存在唯一零点．所以 f ( x ) 在 ( 0 , )  存在唯一零点． …………………….8分 设为 x 0 ，且当 x  ( 0 , x 0 ) 时， f(x)0；当 x  ( x 0 ，)时， f(x)0， 所以 f(x)在(0,x )单调递增，在 0 ( x 0 ，)单调递减． 又 f(0)=0， f()=0，所以当 x  [ 0 ， ]  时， f(x) =0． …………………….10分 min 所以0a−1，即a1，因此，a的取值范围是(−,1)． …………………….12分 21. 解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d（d≠0），则a2 ＝a1+d，a5 ＝a1+4d， ∵a2 是a1 和a5 的等比中项，∴（a1+d）2＝a1 （a1+4d）， {#{QQABCYIQogCoABBAAAhCQwEACkKQkBEACIoOAFAIoAAAARNABAA=}#}（2a1 ﹣d）d＝0，∵d≠0，∴2a1 ﹣d＝0，即d＝2a1 ， ……………………………………….2分 ∴a2n ＝a1+（2n﹣1）d＝a1+2（2n﹣1）a1 ＝（4n﹣1）a1 ， an ＝a1+（n﹣1）d＝a1+2（n﹣1）a1 ＝（2n﹣1）a1 ， 又∵a2n ＝2an+1，∴（4n﹣1）a1 ＝2（2n﹣1）a1+1， 化简整理，得a1 ＝1， ……………………………………….4分 ∴公差d＝2a1 ＝2×1＝2， ∴an ＝1+2（• n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*． ……………………………………….6分 （2）由题意及（1），可得当n＝1时，a1b1 ＝（2×1﹣3）•21+1+6＝2， ∵a1 ＝1，∴b1 ＝2， 当n≥2时，由a1b1+a2b2+…+anbn ＝（2n﹣3）•2n+1+6， 可得a1b1+a2b2+…+an﹣1bn﹣1 ＝（2n﹣5）•2n+6， 两式相减，可得anbn ＝（2n﹣3）•2n+1+6﹣（2n﹣5）•2n﹣6＝（2n﹣1）•2n，……………….8分 ∵an ＝2n﹣1，n∈N*，∴bn ＝2n， ∵当n＝1时，b1 ＝2也满足上式， ∴bn ＝2n，n∈N*， …………………….10分 ∴Tn ＝a1bn+a2bn﹣1+…+an﹣1b2+anb1 ＝1•2n+3•2n﹣1+•••+（2n﹣3）•22+（2n﹣1）•21 ＝（2n﹣1）•21+（2n﹣3）•22+•••+3•2n﹣1+1•2n， 2Tn ＝（2n﹣1）•22+（2n﹣3）•23+•••+5•2n﹣1+3•2n+1•2n+1， 两式相减得﹣Tn ＝（2n﹣1）•21+（﹣2）•22+（﹣2）•23+•••+（﹣2）•2n﹣1+（﹣2）•2n﹣1•2n+1 ＝4n﹣2﹣2（• 22+23+•••+2n﹣1+2n）﹣2n+1＝4n﹣2﹣2• ﹣2n+1 ＝4n+6﹣3•2n+1，∴Tn ＝3•2n+1﹣4n﹣6． …………………….12分 22. 解： f (x) 的定义域为 (0,+) ， 数学试题参考答案第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 f  ( x ) = a + a x 2 − 2 x = a x 2 − x 2 2 x + a ………………….1分 ∵ f (x) 在定义域内单调递增∴ f  ( x )  0 ，即 a x 2 − 2 x + a  0 对x 0恒成立， 2x  2x  则a 恒成立∴a   ······························ 3分 x2 +1  x2 +1 max 2x ∵ 1，∴a 1.所以a的取值范围是 1,+) . ····························· 5分 x2 +1 3 3 (2)由 =4−4a2 0且a  ，得 a1 5 5 {#{QQABCYIQogCoABBAAAhCQwEACkKQkBEACIoOAFAIoAAAARNABAA=}#}设方程 数学试题参考答案第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 f  ( x ) = 0 ，即 a x 2 − 2 x + a = 0 得两根为 x 1 ， x 2 ，且 0  x 1  x 2 .则 m = f ( x 1 ) ， n = f ( x 2 ) ∵ x 1 x 2 = 1 ， x 1 + x 2 = 2 a ∴ 2  x 1 + 1 x 1 = 2 a  1 0 3 ，∴ 1 3  x 1  1 ， ····························· 7分 将 S 表示为关于 x 1 的函数， S = m − n = a x 1 − a x 1 − 2 l n x 1 −  a x 2 − a x 2 − 2 l n x 2  = a x 1 − a x 1  a   a  −2lnx − −ax +2lnx =2ax − −2lnx  1 x 1 1 1 x 1     1 1 2x ∵ax2 −2x +a =0∴a = 1 ， 1 1 x2 +1 1 代入得 S = 4  x x 2121 − + 1 1 − l n x 1  = 4  x x 2121 − + 1 1 − 1 2 l n x 21  ······························ 9分 令 x 21 = t ，则 1 9  t  1 ，得 g ( t ) = t t − + 1 1 − 1 2 l n t 1 ， t 1， 9 则 S = 4 g ( t ) ， g  ( t ) = − 2 t ( ( t t − + 1 1 2 ) 2 )  0 ，∴ g ( t ) 在  1 9 , 1  上递减，从而 g ( 1 )  g ( t )  g  1 9  4 即0 g(t)ln3− ∴ 5 0  S  4 l n 3 − 1 6 5 . ····························· 12分 {#{QQABCYIQogCoABBAAAhCQwEACkKQkBEACIoOAFAIoAAAARNABAA=}#}