文档内容
怀仁一中高三年级 2023~2024 学年上学期第一次月考
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，
笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：高考范围。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知i为虚数单位，则复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．下列向量关系式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．设等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A． B．10 C．11 D．
4．若 ，则函数 有（ ）
A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值
5．二项式 的展开式中的常数项为（ ）
A．1792 B．－1792 C．1120 D．－1120
6．某人家的抽屉里有4双不同花色的袜子，从中随机任取3只，则这3只袜子中恰有2只花色相同的概率为
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
7 ． 已 知 函 数 ， 若 在 内 的 两 个 根 为 ， ， 则
（ ）
A． B． C． D．
8．函数 的定义域为M，若存在正实数m，对任意的 ，都有 ，则称函数
具有性质 ．已知函数 具有性质 ，则k的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列函数中，在 上单调递增，且其图象存在对称轴的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数 ，则下列选项正确的是（ ）
A．函数 在 处取得极小值0
B．
C．若函数 在 上恒成立，则
D．函数 有三个零点
11．在长方体 中，已知 ， ，则下列结论正确的有（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．异面直线 与 所成的角为90°
C．二面角 的余弦值为 D．四面体 的体积为
12．已知 ， 是抛物线 上异于坐标原点O的两个动点，且以AB为直径的圆过
点O，过点O作 于点M，则（ ）
A．直线AB的斜率为 B．直线AB过定点
C．点M的轨迹方程为 D． 的重心G的轨迹为抛物线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知全集 ，集合 ， ，则 ______．
14．为了建设社会主义新农村，近年来某城关镇积极招商引资，加快经济建设，使居民收人得到了较大的提
高．已知该城关镇2016年至2020年（用 ，2，3，4，5表示年份）的居民人均收人y（万元）的数据如
下表：
x 1 2 3 4 5
y 12 15 19 24 30
由此得到y关于x的经验回归方程为 ，则可以预测2021年该城关镇居民人均收人为______万元．
15．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线与双曲线的右支
相交于A，B两点， ，且 的周长为10，则双曲线C的焦距为______．
16．在三棱锥 中，已知侧棱 底面ABC， ，且 ，在此三棱锥
内放一个球，当球的体积最大时，球的半径为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
学科网（北京）股份有限公司（1）求C；
（2）若 ， ，如图，D为线段AB上一点，且 ．求CD的长．
18．（本小題满分12分）
已知正项等比数列 的前n项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，记数列 的前n项和为 ，求 的最大值．
19．（本小题满分12分）
如图，在四校锥 中，底面ABCD为正方形， 底面ABCD， ， ，点
M在棱PC上，且 ， ．
（1）证明： 平面PAB；
（2）求DM与平面BEF所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
为庆祝六一国际儿童节，某单位组织本单位职工的小孩举行游艺活动．其中有个“套圈游戏”，游戏规则为：
每个小孩有三次套圈机会，其中前两次每套中一次得1分，第三次套中得2分，没有套中得0分．
套完三次后，根据总分确定获奖等第：总分为0分获三等奖，总分为1分或2分获二等奖，总分为3分或4分
获一等奖．
假设欢欢和乐乐两个小朋友每次套圈套中的概率分别为 和 ，且每次套圈互不影响，
（1）求欢欢和乐乐两个小朋友都获得一等奖或二等奖的概率；
学科网（北京）股份有限公司（2）试从平均得分的角度，分析欢欢和乐乐两位小朋友各自得哪个奖项的可能性较大？
21．（本小题满分12分）
已知函数 ，其中 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若关于x的不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
22．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动
点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N．证明：直线MN与x轴垂直．
怀仁一中高三年级 2023~2024 学年上学期第一次月考·数学
参考答案、提示及评分细则
1．B 因为 ，所以z的虚部为 ．故选：B．
2．D 由向量的概念及线性运算，可知D正确．故选：D．
3．C 由 ，得 ，所以 ，又 ， ，所以 ．故选：C．
4．B 因为 ，所以 ，当且仅当 时取等．故选：
B．
5．C 因为 ，令 ，得 ，所以二项式展开式
中的常数项为 ．故选：C
6．A 从4双不同花色的袜子中，随机任取 3只，共有 （种）不同的选取方法，其中恰有 2只花色
相同有 （种）不同的选取方法，所以概率为 ．故选：A．
学科网（北京）股份有限公司7．D 由 ，得 ，
所以 的图象关于 对称，故 ，即 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，故 ．故选：D．
8．C 因为 ，
而 ，所以 ，
故 ，即 ，所以k的最小值为 ，故选：C．
9．AC 的图象关于 对称，且在 上单调递增，所以A满足条件；
只有对称中心，没有对称轴，所以B不满足条件；
的图象关于 对称，且在 上单调递增，所以C满足条件；
的图象关于 对称，但在 上单调涕减，所以D不满足条件．故选：AC．
10．ABD
A． ， ， 单调递减； ， ， 单调递增，A正确；
B． 在 上单调递减， ，B正确；
C． 在 上的最大值为 ，则 ，C错误；
学科网（北京）股份有限公司D．由 的简图可知 的图象与 有三个交点，D正确．
11．ACD 由已知，可以证明 平面 ，所以A正确；
因为 ，所以 与 不垂直，故 与 不垂直，所以B不正确；
设 AC 与 BD 交于 O，则 为二面角 的平面角，在 中， ，
，所以 ，所以 ，故C正确；
四面体 的体积为 ，所以D正确．
故选：ACD．
12．ABD 因为 ， ，两式相减，得 ，
所以 ，所以A正确；
因为以AB为直径的圆过原点O，所以 ，即 ，
所以 ，又 ，所以 ，
故 ， ，
因为直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为 ，
由 ，消去y，得 ，
所以 ，故 ，即 ，所以直线AB的方程为 ，
所以直线AB过定点 ，所以B正确；
因为 于 ，直线 过定点 ，所以点 的轨迹是以 为直径圆（除去原点 ），其
学科网（北京）股份有限公司方程为 ，所以C不正确;
设 的重心为 ，则 ， ，
由方程（*）可知， ， ，
所以 ，消去k得 ，
因为 ，所以 的重心G的轨迹为抛物线，所以D正确．故选：ABD．
13． 因为 ， ，所以 ．故答
案为： ．
14．35.6 因为 ， ，所以 ，解得 ，
所以当 时， ，故可以预测2021年该城关镇居民人均收入为35.6万元．
故答案为：35.6．
15． 设 ， ， ，可得 ，有 ，解得
，在 和 中，由余弦定理有 ，解得 ，可得双曲
线的焦距为 ．
16． 当球的体积最大时，球为三棱锥的内切球，设内切球的半径为 r，三棱锥的表面积为S，则
，由已知，可以证明 平面PAB．
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，解得 ．
故答案为： ．
17．解：（1）根据正弦定理得 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，又 ，可得 ．
（2）在 中，由余弦定理得： ，
将（1）中所求代入整理得： ，解得 或 （舍），即 ，
在 中，可知 ，有 ，所以 ．
18．解：（1）设数列 的公比为 ，由 ，有 ①
又由 ，有 ，得 ②
①÷②有 ，解得 或 （舍去）
由 ，可求得 ，有
故数列 的通项公式为
（2）
若 ，可得 ，可得当 且 时 ；当 且 时 ，故 最大，
又由 ，可得 ，故 的最大值为64．
19．（1）证明：如图所示：取PA靠近P的三等分点G，连接FG，BG，因为F，G分别是PD，PA三等分点，
则 且 ，又易知E为BC的三等分点，
学科网（北京）股份有限公司故 且 ，故BEFG是平行四边形，故 ，
∵ 平面PAB， 平面PAB，∴ 平面PAB；
（2）解：如图，分别以 ， ， 为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
设 ， ，∴ ，得 ，
又∵ ，即 ，解得 ，
，又 ， ，
设平面BEF一个法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，设DM与平面PEF所成角为 ，∴ ．
20．解：（1）因为“欢欢和乐乐两个小朋友都获得一等奖或二等奖”的对立事件为“欢欢和乐乐两个小朋友
都获得三等奖”，
设欢欢和乐乐两个小朋友最后得分分别为X和Y，则 ，
所以欢欢小朋友获得三等奖的概率为 ；
，所以乐乐小朋友获得三等奖的概率为 ；
故欢欢和乐乐两个小朋友都获得一等奖或二等奖的概率为 ；
（2）因为 ，1，2，3，4，且 ， ，
学科网（北京）股份有限公司， ，
，
所以欢欢小朋友最后得分X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以 ，
所以欢欢小朋友最后得分X的平均值为 ；
因 为 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 且 ， ，
， ， ，
所以乐乐小朋友最后得分Y的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以 ，
所以欢欢小朋友最后得分Y的平均值为 ，
所以欢欢小朋友得一等奖的可能性较大，乐乐小朋友得二等奖的可能性较大．
21．解：（1）由 ，
①当 时， ，可得此时函数 单调递增，
②当 时，令 可得 或 ，则此时函数 的减区间为 ，增区间为 ，
，
③当 时，令 可得 或 ，则此时函数 的减区间为 ，增区间为 ，
学科网（北京）股份有限公司；
（2）①当 时，由 ，满足題意；
②当 时，由 ， ；若 时， ，可得
，再由（1）中函数 的单调性可知 ，满足题意；
③当 时，令 ，二次函数 的对称轴为 ，由 ，
，根据二次函数 的单调性可知，若 ，有 ，可得当 时， ．
若关于x的不等式 恒成立，由（1）中函数 的单调性可知只需 ，可得
，
由上知，若关于x的不等式 恒成立，则实数a的取值范围为 ．
22．解：（1）设椭圆C的焦距为 ，由题意有：
解得 ， ， ，故椭圆C的标准方程为 ．
（2）证明：由（1）知，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点D的坐标为 ，设点P的坐
标为 （其中， ），有 ，可得 ，
直线BD的方程为 ，整理为 ，
直线AD的方程为 ，整理为 ，
学科网（北京）股份有限公司直线AP的方程为
联立方程 ，解得： ，故点M的横坐标为
直线BP的方程为
联立方程 ，解得： ，故点N的横坐标为
又由
故点M和点N的横坐标相等，可得直线MN与x轴垂直．
学科网（北京）股份有限公司
