2012 年浙江省高考数学（理科）试卷（解析版）
数 学
（理科）
选择题部分（共 50 分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只
有一个项是符合题目要求的。
1．设集合A=x|1< x<4，集合B= x|x2 -2x-3£0 ，则AÇ(C B)=
R
A．(1，4) B．(3，4) C．(1，3) D．(1，2)È(3，4)
【答案】B
3+i
2．已知i是虚数单位，则 =
1-i
A．1-2i B．2-i C．2+i D．1+2i
【答案】D
3．设aÎR，则“a=1”是“直线l ：ax+2y-1=0与直线l ：x+(a+1)y+4=0平
1 2
行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
4．把函数y =cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后
向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是
【答案】A
第1页 | 共12页5．设a，b是两个非零向量
A．若|a+b|=|a|-|b|，则a ^b
B．若a ^b，则|a+b|=|a|-|b|
C．若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数l，使得b=la
D．若存在实数l，使得b=la，则|a+b|=|a|-|b|
【答案】C
6．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法
共有
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
【答案】D
7．设S 是公差为d （d ¹0）的无穷等差数列a 的前n项和，则下列命题错误的是
n n
A．若d <0，则数列{S }有最大项
n
B．若数列{S }有最大项，则d <0
n
C．若数列{S }是递增数列，则对任意nÎN*，均有S >0
n n
D．若对任意nÎN*，均有S >0，则数列{S }是递增数列
n n
【答案】C
x2 y2
8．如图，F ，F 分别是双曲线C： - =1(a，b>0)的
1 2 a2 b2
左、右两焦点，B是虚轴的端点，直线FB与C的两条渐近
1
线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点
M ．若|MF |=|FF |，则C的离心率是
1 1 2
2 3 6
A． B． C． 2 D． 3
3 2
【答案】B
9．设a>0，b>0
第2页 | 共12页A．若2a +2a=2b +3b，则a>b B．2a +2a=2b +3b若，则a<b
C．若2a -2a=2b -3b，则a>b D．若2a -2a=2b -3b，则a<b
【答案】A
10．已知矩形ABCD，AB=1，BC = 2．将DABD沿矩形的对角线BD所在的直线进
行翻折，在翻折过程中，
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
【答案】B
非选择题部分（共 100 分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥
的体积等于 cm3．
【答案】1
12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ．
1
120
【答案】
13．设公比为q(q>0)的等比数列a 的前n项和为S ．
n n
若S =3a +2，S =3a +2，则q= ．
2 2 4 4
3
2
【答案】
14．若将函数 f(x)= x5表示为
f(x)=a +a (1+x)+a (1+x)2 +a (1+x)3 ++a (1+x)4 ++a (1+x)5，
0 1 2 3 4 5
其中a ，a ，a ，…，a 为实数，则a = ．
0 1 2 5 3
第3页 | 共12页【答案】10
15．在DABC中，M 是BC的中点，AM =3，BC =10，
uuur uuur
则AB×BC = ．
【答案】-16
16．定义：曲线C上的点到直线的距离的最小值称为曲线C到直线l
的距离．已知曲线C ：y = x2 +a到直线l：y = x的距离等于曲线
1
C ：x2 +(y+4)2 =2到直线l：y = x的距离，则实数a= ．
2
9
【答案】
4
17．设aÎR，若x>0时均有é
ë
a-1x-1ù
û
x2 -ax-1 ³0，
则a= ．
3
【答案】
2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分 14 分）在DABC中，内角 A， B，C的对边分别为a，b，c．已知
2
cosA= ，sinB= 5cosC．
3
（Ⅰ）求tanC的值；
（Ⅱ）若a= 2，求DABC的面积．
【答案】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识，同时考查运算求解能力。满分14
分。
2
（Ⅰ）因为0< A<p，cosA= ，得
3
5
sinA= 1-cos2 A =
3
又 5cosC =sinB=sin(A+C)
=sinAcosC+cosAsinC
5 2
= cosC+ sinC
3 3
所以tanC = 5
（Ⅱ）由tanC = 5 ，得
第4页 | 共12页5 1
sinC = ，cosC = ，
6 6
于是
5
sinB= 5cosC = ．
6
a c
由a= 2及正弦定理 = ，得
sinA sinC
c= 3．
设DABC的面积为S ，则
1 5
S = acsinB= ．
2 2
19．（本题满分14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，
取出一个黑球得1分．现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）3个球，记随机变
量X 为取出此3球所得分数之和．
（Ⅰ）求X 的分布列；
（Ⅱ）求X 的数学期望E(X)．
【答案】本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查
抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。
（Ⅰ）由题意得X 取3，4，5，6，且
C3 5 C1×C2 10
P(X =3)= 5 = ， P(X =4)= 4 5 = ，
C3 42 C3 21
9 9
C2×C2 5 C4 1
P(X =5)= 4 5 = ， P(X =6)= 4 = ．
C3 14 C3 21
9 9
所以X 的分布列为
X 3 4 5 6
P 5 10 5 1
42 21 14 21
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
13
E(X)=3×P(X =3)+4×P(X =4)+5×P(X =5)+6×P(X =6)= ．
3
20．（本题满分15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是
第5页 | 共12页边长为2 3的菱形，ÐBAD=120°，且PA^平面ABCD，
PA=2 6 ，M ，N 分别为PB，PD的中点．
（Ⅰ）证明：MN ^平面ABCD；
（Ⅱ）过点A作AQ^ PC，垂足为点Q，求二面角
A-MN -Q的平面角的余弦值．
【答案】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，
同时考查空间想像能力和运算求解能力。满分15分。
（Ⅰ）因为M ，N 分别是PB，PD的中点，所以MN 是DPBD的中位线，所以
MM //BD
又因为MN Ë平面ABCD，所以
MM //平面ABCD．
（Ⅱ）方法一：
连结AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x， y轴，建立空
间直角坐标系Oxyz，如图所示
在菱形ABCD中，ÐBAD=120°，得
AC = AB=2 3，BD= 3AB=6．
又因为PA^平面ABCD，所以
PA^ AC．
在直角DPAC中，AC =2 3，PA=2 6 ，AQ^ PC，得
QC =2，PQ=4．
由此知各点坐标如下，
A(- 3,0,0)，B(0,-3,0)，
C( 3,0,0)，D(0,3,0)，
3 3
P(- 3,0,2 6)，M(- ,- , 6)，
2 2
3 3 3 2 6
N(- , , 6)，Q( ,0, )．
2 2 3 3
设m =(x, y, z)为平面AMN 的法向量．
第6页 | 共12页uuuur 3 3 uuur 3 3
由AM =( ,- , 6)，AN =( , , 6)知
2 2 2 2
ì 3 3
ï x- y+ 6z =0
ï 2 2
í
ï 3 3
x+ y+ 6z =0
ï
î 2 2
取x=-1，得
m =(2 2 ,0,-1)
设n=(x, y, z)为平面QMN的法向量．
uuuur 5 3 3 6 uuur 5 3 3 6
由QM =(- ,- , )，QN =(- , , )知
6 2 3 6 2 3
ì 5 3 3 6
ï- x- y+ z =0
ï 6 2 3
í
ï 5 3 3 6
- x+ y+ z =0
ï
î 6 2 3
取z =5，得
n=(2 2 ,0,5)
于是
m×n 33
cos<m,n>= = ．
|m|×|n| 33
33
所以二面角A-MN -Q的平面角的余弦值为 ．
33
方法二：
在菱形ABCD中，ÐBAD=120°，得
AC = AB= BC = DA，BD= 3AB，
有因为PA^平面ABCD，所以
PA^ AB，PA^ AC，PA^ AD，
所以PB= PC = PD．
所以DPBC @DPDC．
而M ，N 分别是PB，PD的中点，所以
1 1
MQ= NQ，且AM = PB= PD= AN．
2 2
取线段MN 的中点E，连结AE，EQ，则
第7页 | 共12页AE ^MN ，QE ^MN ，
所以ÐAEQ为二面角A-MN -Q的平面角．
由AB=2 3，PA=2 6 ，故
1
在DAMN 中，AM = AN =3，MN = BD=3，得
2
3 3
AE = ．
2
在直角DPAC中，AQ^ PC，得
AQ=2 2，QG =2，PQ=4，
PB2 +PC2 -BC2 5
在DPBC中，cosÐBPC = = ，得
2PB×PC 6
MQ= PM2 +PQ2 -2PM ×PQcosÐBPC = 5．
在等腰DMQN 中，MQ= NQ= 5，MN =3，得
11
QE = MQ2 -ME2 = ．
2
3 3 11
在DAEQ中，AE = ，QE = ，AQ=2 2，得
2 2
AE2 +QE2 -AQ2 33
cosÐAEQ= = ．
2AE×QE 33
33
所以二面角A-MN -Q的平面角的余弦值为 ．
33
x2 y2
21．（本题满分15分）如图，椭圆C： + =1(a>b>0)的
a2 b2
1
离心率为 ，其左焦点到点P(2,1)的距离为 10，不过原点O的
2
直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求DABP面积取最大值时直线l的方程．
第8页 | 共12页【答案】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解
析几何的基本思想方法和综合解体能力。满分15分。
（Ⅰ）设椭圆左焦点为F(-c，0)，则由题意得
ì (2+c)+1= 10
ï
íc 1 ，
ï =
îa 2
ìc=1
得í
îa=2
所以椭圆方程为
x2 y2
+ =1．
4 3
（Ⅱ）设A(x ，y )，B(x ，y )，线段AB的中点为M ．
1 1 2 2
当直线 AB与 x轴垂直时，直线 AB的方程为 x=0，与不过原点的条件不符，舍
去．故可设直线AB的方程为
y =kx+m(m¹0)，
ìy =kx+m
由í 消去y，整理得
î3x2 +4y2 =12
(3+4k2)x2 +8kmx+4m2 -12=0， （1）
则
ì 8km
x +x =-
ï ï 1 2 3+4k2
D=64k2m2 -4(3+4k2)(4m2 -12)>0，í
4m2 -12
ï
x x =
ïî 1 2 3+4k2
8km 4m2 -12
所以AB线段的中点M(- , )，
3+4k2 3+4k2
因为M 在直线OP上，所以
3m -2km
= ，
3+4k2 3+4k2
得
3
m=0（舍去）或k =- ，
2
此时方程（1）为3x2 -3mx+m2 =0，则
第9页 | 共12页ìx +x =m
ï 1 2
D=3(12-m2)>0，í m2 -3
x x =
ï
î 1 2 3
所以
39
| AB|= 1+k2×|x -x |= × 12-m2 ，
1 2 6
设点P到直线AB距离为d ，则
|8-2m| 2|m-4|
d = = ，
32 +22 13
设DABP的面积为S，则
1 3
S = | AB|×d = × (m-4)2(12-m2) ，
2 6
其中mÎ(-2 3,0)È(0,2 3)，
令u(m)=(12-m2)(m-4)2，mÎ[-2 3,2 3]
u'(m)=-4(m-4)(m2 -2m-6)=-4(m-4)(m-1- 7)(m-1+ 7)，
所以当且仅当m=1- 7 ，u(m)取到最大值，
故当且仅当m=1- 7 ，S取到最大值．
综上，所求直线l方程为3x+2y+2 7 -2=0．
22．（本题满分14分）已知a>0，bÎR，函数 f(x)=4ax3 -2bx-a+b．
（Ⅰ）证明：当0£ x£1时，
（i）函数 f(x)的最大值为|2a-b|+a；
（ii） f(x)+|2a-b|+a³0；
（Ⅱ）若-1£ f(x)£1对xÎ[0，1]恒成立，求a+b的取值范围．
【答案】本题主要考查利用导函数研究函数的性质、线性规划等基础知识，同时考查推理
论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分14分。
b
（Ⅰ）（i） f '(x)=12ax2 -2b=12a(x2 - )
6a
第10页 | 共12页当b£0时，有 f '(x)³0，此时 f(x)在[0,+¥)上单调递增
所以当0£ x£1时，
ì3a-b,b£2a
f(x) =max{f(0), f(1)}=max{-a+b,3a-b}=í =|2a-b|+a
max î-a+b,b>2a
（ii）由于0£ x£1，故
当b£2a时，
f(x)+|2a-b|+a = f(x)+3a-b=4ax3-2bx+2a³4ax3-4ax+2a=2a(2x3 -2x+1)
当b>2a时，
f(x)+|2a-b|+a= f(x)-a+b=4ax3+2b(1-x)-2a>4ax3+4a(1-x)-2a=2a(2x3-2x+1)
设g(x)=2x3 -2x+1,0£ x£1，则
3 3
g'(x)=6x2 -2=6(x- )(x+ )，
3 3
于是
3 3 3
x 0 (0, ) ( ,1) 1
3 3 3
g'(x) - 0 +
极小
g(x) 1 减 增 1
值
3 4 3
所以，g(x) = g( )=1- >0，
min 3 9
所以
当0£ x£1时，2x3-2x+1>0
故 f(x)+|2a-b|+a= f(x)-a+b³2a(2x3-2x+1)³0
（Ⅱ）由（i）知，当0£ x£1， f(x) =|2a-b|+a，所以
max
|2a-b|+a£1
若|2a-b|+a£1，则由（ii）知
f(x)³-(|2a-b|+a)³-1
第11页 | 共12页所以-1£ f(x)£1对任意0£ x£1恒成立的充要条件是
ì|2a-b|+a£1
í ，
îa>0
ì2a-b³0 ì2a-b<0
ï ï
即í3a-b£1 ，或íb-a£1 （1）
ï ï
a>0 a>0
î î
在直角坐标系aOb中，（1）所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，
其中不包括线段BC，
作一组平行直线a+b=t(tÎR)，得
-1<a+b£3．
所以的取值范围是(-1,3]．
第12页 | 共12页
