2009年高考数学试卷（理）（浙江）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_自主命题卷·数学（2008-2025）

2009 年高考数学浙江理科试卷含详细解答
一、选择题（本大题共10小题，共0分）
1．（2009浙江理1）设 U = R， A={x|x>0} ， B={x|x>1} ，则 AÇC U B= ( )
{x|0£ x<1} {x|0< x£1} {x|x<0} {x|x>1}
A. B. C. D.
【答案】B
a,b a>0 b>0 a+b>0 ab>0
2．（2009浙江理2）已知 是实数，则“ 且 ”是“ 且 ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
a>0 b>0 a+b>0 ab>0
【解题关键点】对于“ 且 ”可以推出“ 且 ”，反之也是成立的
2
+z2 =
z =1+i i z
3．（2009浙江理3）设 （ 是虚数单位），则 ( )
-1-i -1+i 1-i 1+i
A. B. C. D.
【答案】D
2 2
+z2 = +(1+i)2 =1-i+2i =1+i
z 1+i
【解题关键点】对于
1
(x2 - )5
x x4
4．（2009浙江理4）在二项式 的展开式中，含 的项的系数是( ).
-10 10 -5 5
A. B. C. D.
【答案】B
1
T =Cr(x2)5-r(- )r =-1r Crx10-3r
r+1 5 x 5 10-3r =4,\r =2 x4
【解题关键点】对于 ，对于 ，则 的
C2(-1)2 =10
项的系数是 5
第1页 | 共12页ABC-ABC BBCC
5．（2009浙江理5）在三棱柱 1 1 1中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面 1 1
BBCC
的中心，则AD与平面 1 1 所成角的大小是( )
30o 45o 60o 90o
A. B. C. D.
【答案】C
BBCC BBCC
【解题关键点】取BC的中点E，则AE ^面 1 1 ，\AE ^ DE，因此AD与平面 1 1 所
3 a
AE = a DE =
成 角 即 为 ÐADE， 设 AB =a ， 则 2 ， 2 ， 即 有
tanÐADE = 3,\ÐADE =600
k
6．（2009浙江理6）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 的值是( )
4 5 6 7
A. B. C. D.
【答案】A
k =0,s =1,\k =1 k =1,s=3,\k =2
【 解 题 关 键 点 】 对 于 ， 而 对 于 ， 则
k =2,s =3+8,\k =3 k =3,s =3+8+211,\k =4 k =4
，后面是 ，不符合条件时输出的 .
a b |a|=3 |b|=4 a×b=0 a b a-b
7．（2009浙江理7）设向量 ， 满足： ， ， .以 ， ， 的模为边
长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为(
).
第2页 | 共12页3 4 5 6
A. B. C. D.
【答案】B
【解题关键点】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于
圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个及5个以上的交点不能实现.
a f(x)=1+asinax
8．（2009浙江理8）已知 是实数，则函数 的图象不可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
2p
T = , a >1,\T <2p
Q
a
【解题关键点】对于振幅大于1时，三角函数的周期为 ，而D不符合
2p
要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了 .
x2 y2
- =1(a >0,b>0)
9．（2009浙江理9）过双曲线 a2 b2 的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线
uuur 1uuur
AB= BC
B,C 2
与双曲线的两条渐近线的交点分别为 .若 ，则双曲线的离心率是( )
2 3 5 10
A. B. C. D.
【答案】C
Aa,0
x+ y-a =0
【解题关键点】对于 ，则直线方程为 ，直线与两渐近线的交点为 B，C，
第3页 | 共12页æ a2 ab ö a2 ab
Bç , ÷,C( ,- )
èa+b a+bø a-b a-b
，
uuur 2a2b 2a2b uuur æ ab ab ö
BC =( ,- ),AB= ç - , ÷ uuur uuur
a2 -b2 a2 -b2 è a+b a+bø 2AB= BC,\4a2 =b2,\e= 5
则有 ，因 .
a M f(x) "x ,x ÎR
10．（2009浙江理10）对于正实数 ，记 a为满足下述条件的函数 构成的集合： 1 2
x > x -a(x -x )< f(x )- f(x )<a(x -x )
且 2 1，有 2 1 2 1 2 1 .下列结论中正确的是( )
f(x)ÎM g(x)ÎM f(x)×g(x)ÎM
A.若 a1， a2，则 a1×a2
f(x)
ÎM
f(x)ÎM g(x)ÎM g(x)¹0 g(x) a1
B.若 a1， a2，且 ，则 a2
f(x)ÎM g(x)ÎM f(x)+g(x)ÎM
C.若 a1， a2，则 a1+a2
f(x)ÎM g(x)ÎM a >a f(x)-g(x)ÎM
D.若 a1， a2，且 1 2，则 a1-a2
【答案】C
f(x )- f(x )
-a< 2 1 <a
-a(x -x )< f(x )- f(x )<a(x -x ) x -x
【解题关键点】对于 2 1 2 1 2 1 ，即有 2 1 ，
f(x )- f(x )
2 1 =k
x -x -a<k <a f(x)ÎM g(x)ÎM
令 2 1 ， 有 ， 不 妨 设 a1， a2， 即 有
-a <k <a, -a <k <a -a-a <k +k <a+a
1 f 1 2 g 2， 因 此 有 1 2 f g 1 2， 因 此 有
f(x)+g(x)ÎM
a1+a2.
二、填空题（本大题共7小题，共0分）
S
1
q= 4 =
{a } 2 n S a
11．（2009浙江理11）设等比数列 n 的公比 ，前 项和为 n，则 4 .
【答案】15
a (1-q4) s 1-q4
s = 1 ,a =aq3,\ 4 = =15
4 1-q 4 1 a q3(1-q)
【解题关键点】对于 4
第4页 | 共12页cm
12．（2009 浙江理 12）若某几何体的三视图（单位： ）如图所示，则此几何体的体积是
cm3
.
【答案】18
1´3´3=9
【解题关键点】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为 ，上面的长方体体积为
3´3´1=9
，因此其几何体的体积为18
ì x+ y³2,
ï
í2x- y£4,
ï
x,y î x- y³0, 2x+3y
13．（2009浙江理13）若实数 满足不等式组 则 的最小值是
【答案】4
2
y =- x+Z 2,0 2x+3y =4
3
【解题关键点】通过画出其线性规划，可知直线 过点 时， min
14．（2009浙江理14）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电
网销售电价表如下：
第5页 | 共12页200 100
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为 千瓦时，低谷时间段用电量为 千瓦时，则
按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）.
148.4
【答案】
50´0.568+150´0.598
【解题关键点】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为 ；对于低峰
50´0.288+50´0.318 148.4
部分为 ，二部分之和为
15．（2009浙江理15）观察下列等式：
C1+C5 =23-2
5 5 ，
C1+C5 +C9 =27 +23
9 9 9 ，
C1 +C5 +C9 +C13 =211-25
13 13 13 13 ，
C1 +C5 +C9 +C13+C17 =215 +27
17 17 17 17 17 ，
………
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于 nÎN* ， C 4 1 n+1 +C 4 5 n+1 +C 4 9 n+1 + L +C 4 4 n n + + 1 1 = .
24n-1+-1n 22n-1
【答案】
-1n
【解题关键点】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有 ，二项
指数分别为 24n-1,22n-1 ，因此对于 nÎN* ， C 4 1 n+1 +C 4 5 n+1 +C 4 9 n+1 + L +C 4 4 n n + + 1 1 = 24n-1+-1n 22n-1
第6页 | 共12页16．（2009浙江理16）甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台
阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）.
【答案】336
A3
【解题关键点】对于7个台阶上每一个只站一人，则有 7种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，
C1A2
则共有 3 7种，因此共有不同的站法种数是336种.
17．（2009浙江理17）如图，在长方形 ABCD 中，AB =2， BC =1 ，E为 DC 的中点，F 为
线段 EC （端点除外）上一动点.现将DAFD沿AF 折起，使平面ABD^平面 ABC .在平面ABD
内过点D作DK ^ AB，K为垂足.设 AK =t ，则 t 的取值范围是 .
æ1 ö
,1
ç ÷
è2 ø
【答案】
t =1
【解题关键点】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时， ，随着F点
到 C 点 时 ， 因 CB^ AB,CB^ DK,\CB^ 平 面 ADB， 即 有 CB^ BD ， 对 于
1
t =
CD=2,BC =1,\BD= 3 ，又 AD=1,AB=2 ，因此有AD^ BD，则有 2 ，因此 t 的取
æ1 ö
,1
ç ÷
è2 ø
值范围是
三、解答题（本大题共5小题，共0分）
A 2 5
cos =
DABC A,B,C a,b,c 2 5
18．（2009浙江理18）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ，
第7页 | 共12页uuur uuur
AB×AC =3 DABC b+c=6 a
.（I）求 的面积；（II）若 ，求 的值。
A 2 5 A 3 4
cos = \cosA=2cos2 -1= ,sinA=
2 5 2 5 5
【答案】解析：（I）因为 ， ，又由
1
uuur uuur \S = bcsinA=2
AB×AC =3 bccosA=3,\bc=5 DABC 2
，得 ，
bc=5 b+c=6 \b=5,c=1 b=1,c=5
（ II ） 对 于 ， 又 ， 或 ， 由 余 弦 定 理 得
a2 =b2 +c2 -2bccosA=20 \a=2 5
，
19．（2009浙江理19）在 1,2,3, L ,9 这 9 个自然数中，任取 3 个数.
（I）求这 3 个数中恰有1个是偶数的概率；
x 3 1,2,3 1,2
（II）设 为这 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 ，则有两组相邻的数 和
2,3 ，此时 x 的值是2）.求随机变量 x 的分布列及其数学期望 Ex .
C1C 2 10
P(A)= 4 5 =
C3 21
【答案】（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则 9 ；
x 0,1,2,x
（II）随机变量 的取值为 的分布列为
x 0 1 2
P 5 1 1
12 2 12
5 1 1 2
Ex=0´ +1´ +2´ =
x 12 2 12 3
所以 的数学期望为
PAC ^ ABC DABC AC
20．（2009浙江理20）如图，平面 平面 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形，
第8页 | 共12页E,F,O 分别为PA，PB， AC 的中点， AC =16 ， PA=PC=10 .
G OC FG// BOE
（I）设 是 的中点，证明： 平面 ；
（II）证明：在 DABO 内存在一点M ，使FM ^平面 BOE ，并求点M 到 OA ， OB 的距离.
x y
【答案】证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为 轴，
轴 ， z轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O
-xyz
， 则
O0,0,0,A(0,-8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),
P(0,0,6),E(0,-4,3),
F4,0,3
， 由 题 意 得 ，
G0,4,0,
O
uu
B
ur
=(8,0,0),O
uu
E
ur
=(0,-4,3) n
r
=(0,3,4)
因 ， 因 此 平 面 BOE 的 法 向 量 为 ，
uuur r uuur
FG =(-4,4,-3 n×FG =0 FG BOE FG// BOE
得 ，又直线 不在平面 内，因此有 平面
z
y
x
（II）
设点M的坐标为
x
0
,y
0
,0
，则
u F u M uur =(x
0
-4,y
0
,-3)
，因为FM ^平面BOE，所以有
u
F
u
M
uur
//n
r
，
9 æ 9 ö
x =4,y =- ç 4,- ,0 ÷
0 0 4 è 4 ø xoy DAOB
因此有 ，即点M的坐标为 ，在平面直角坐标系 中， 的内部
ìx>0
ï
íy<0
ï
x- y<8
î DABO
区域满足不等式组 ，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在 内存在一
9
4,
点M ，使FM ^平面 BOE ，由点M的坐标得点M 到 OA ， OB 的距离为 4 。
第9页 | 共12页y2 x2
+ =1(a >b>0)
C a2 b2 A(1,0) C
21．（2009浙江理21）已知椭圆 1： 的右顶点为 ，过 1的焦点
且垂直长轴的弦长为1。
C
（I）求椭圆 1的方程；
（II）设点P在抛物线 C 2： y = x2 +h(hÎR) 上， C 2在点P处的切线与 C 1交于点 M,N 当线
段AP的中点与 MN 的中点的横坐标相等时，求 h 的最小值。
ìb=1
ï ìa=2
í b2 ,\í , y2
ï 2× =1 îb=1 +x2 =1
î a 4
【答案】解析：（I）由题意得 所求的椭圆方程为 ，
M(x ,y ),N(x ,y ),P(t,t2 +h), C y¢ =2t
（II）不妨设 1 1 2 2 则抛物线 2在点P处的切线斜率为 x=t ，直线
y =2tx-t2 +h C 4x2 +(2tx-t2 +h)2 -4=0
MN的方程为 ，将上式代入椭圆 1的方程中，得 ，
4  1+t2 x2 -4t(t2 -h)x+(t2 -h)2 -4=0 C
即 ，因为直线MN与椭圆 1有两个不同的交点，所以
D =16é-t4 +2(h+2)t2 -h2 +4ù >0
有 1 ë û ，
x +x t(t2 -h)
x = 1 2 =
x 3 2 2(1+t2)
设线段MN的中点的横坐标是 3，则 ，
t+1
x =
x 4 2 x = x t2 +(1+h)t+1=0
设线段PA的中点的横坐标是 4，则 ，由题意得 3 4，即有 ，其中
D =(1+h)2 -4³0,\h³1 h£-3
的 2 或 ；
当 h£-3 时有 h+2<0,4-h2 <0 ，因此不等式 D 1 =16é ë -t4 +2(h+2)t2 -h2 +4ù û >0 不成立；
第10页 | 共12页h³1 h=1 t2 +(1+h)t+1=0 t =-1 h=1,t =-1
因此 ，当 时代入方程 得 ，将 代入不等式
D =16é-t4 +2(h+2)t2 -h2 +4ù >0
1 ë û 成立，因此 h 的最小值为1.
f(x)= x3-(k2 -k+1)x2 +5x-2 g(x)=k2x2 +kx+1
22．（2009浙江理22）已知函数 ， ，其
kÎR
中 .
p(x)= f(x)+g(x) p(x) (0,3) k
（I）设函数 .若 在区间 上不单调，求 的取值范围；
ìg(x), x³0,
q(x)=í
îf(x), x<0. k x
（II）设函数 是否存在 ，对任意给定的非零实数 1，存在惟一
x x ¹ x q¢(x )=q¢(x ) k
的非零实数 2（ 2 1），使得 2 1 成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理
由.
P(x)= f(x)+g(x)= x3+(k-1)x2 +(k+5)-1
【 答 案 】 解 析 ： （ I ） 因 ，
p¢x=3x2 +2(k-1)x+(k+5) p(x) (0,3) p¢x=0 0,3
，因 在区间 上不单调，所以 在 上有
p¢x=0 k(2x+1)=-(3x2 -2x+5),
实数解，且无重根，由 得
(3x2 -2x+5) 3é 9 10ù
\k =- =- 2x+1+ -
2x+1 4
ê
ë 2x+1 3
ú
û t =2x+1,
tÎ1,7
， 令 有 ， 记
9
h(t)=t+ , ht 1,3 3,7 htÎ6,10
t
则 在 上单调递减，在 上单调递增，所以有 ，于是
9
2x+1+ Î6,10
kÎ-5,-2 p¢x=0 0,3
2x+1 k =-2
，得 ，而当 时有 在 上有两个相等
kÎ-5,-2
x=1
的实根 ，故舍去，所以 ；
q¢x= f¢x=3x2 -2(k2 -k+1)x+5
x<0
（II）当 时有 ；
q¢x= g¢x=2k2x+k
x>0 k =0 k ¹0
当 时有 ，因为当 时不合题意，因此 ，
第11页 | 共12页k ¹0 =(k,+¥)
5,+¥
x >0
q¢x 0,+¥
下面讨论 的情形，记A ，B= （ⅰ）当 1 时， 在 上单调
q¢x =q¢x 
x <0 AÍ B k ³5 x <0
递增，所以要使 2 1 成立，只能 2 且 ，因此有 ，（ⅱ）当 1 时，
q¢x 0,+¥ q¢x =q¢x 
x >0 AÍ B
在 上单调递减，所以要使 2 1 成立，只能 2 且 ，因此
k £5 k =5
，综合（ⅰ）（ⅱ） ；
k =5 "x <0,q¢x ÎB= A $x >0, q¢x =q¢x  q¢x
当 时A=B，则 1 1 ，即 2 使得 2 1 成立，因为
0,+¥
x
在 上单调递增，所以 2的值是唯一的；
"x <0 x (x ¹ x )
q¢x =q¢x 
k =5
同理， 1 ，即存在唯一的非零实数 2 2 1 ，要使 2 1 成立，所以 满足
题意.
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