2009年高考数学试卷（理）（山东）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_自主命题卷·数学（2008-2025）

2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。考试结束后,将 本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类 填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带 ,不按以上要求作答的答案无效。 4．填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。 参考公式： 柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是锥体的高。 1 锥体的体积公式V= Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。 3 如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)P(B). 事件A在一次试验中发生的概率是 p,那么n次独立重复试验中事件A P (k) = Ck pk(1- p)n-k(k = 0,1,2, ,n) 恰好发生k次的概率: L . n n 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 （1）集合A=0,2,a,B=  1,a2 ,若A B=0,1,2,4,16,则a的值为 U （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 3-i （2）复数 等于 1-i （A）12i B）1-2i C）2i D）2-i  （3）将函数y =sin2x的图象向左平移 个单位, 4 第1页 | 共18页再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 （A）y =cos2x （B）y =2cos2 x  （C）y =1sin(2x ) （D）y =2sin2 x 4 （4） 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （A）22 3 （B） 42 3 2 2 2 3 2 3 （C） 2 （D） 4 3 3 2 2 2 侧(左)视图 正(主)视图 （5） 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“a^b”是“m^b”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ex e-x y = （6） 函数 的图像大致为 ex -e-x y y y y 1 1 1 1 O 1 x O 1 x O 1 x O 1 x A B uu u r u u u r uuur C D B (7）设P是△ABC所在平面内的一点，BCBA=2BP，则 uuur uuur r uuur uuur r (A）PAPB=0 (B）PCPA=0 uuur uuur r uuur uuur uuur r (C）PBPC =0 (D）PAPBPC =0 A P C 第2页 | 共18页 第7题图(８）某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测 频率/组距 后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中 0.150 产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[9 0.125 0.100 8，100), 0.075 [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小 0.050 于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于1 04克的产品的个数是 96 98 100 102 104 106 克 (A）90 (B）75 (C） 60 (D）45 第8题图 x2 y2 (9） 设双曲线 - =1的一条渐近线与抛物线y=x2+1 a2 b2 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 5 5 (A） (B） 5 (C） (D） 5 4 2 (10） 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= log (1-x),x 0  2 ，则f（2009）的值为 f(x-1)- f(x-2),x 0 (A）-1 (B） 0 (C）1 (D） 2 x 1 （11）在区间[-1，1]上随机取一个数x，cos 的值介于0到 之间的概率为( ). 2 2 1 2 1 2 （A） （B） （C） （D） 3  2 3 3x- y-60  （12） 设x，y满足约束条件x- y20  x0,y0  x-y+2=0 y ， 若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值为1 z=ax+by 2 3 2，则  的最小值为( ). 2 a b 25 8 11 （A） （B） （C） （D） 4 6 3 3 -2 O 2 x 3x-y-6=0 第3页 | 共18页第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。 （13）不等式 2x-1- x-2 0的解集为 . （14）若函数f(x)=ax-x- 开始 a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 . S=0,T=0,n=0 （15）执行右边的程序框图，输入的T= . （16）已知定义在R上的奇函数 f(x)，满足 是 T>S f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方 否   程f(x)=m(m>0)在区间 -8,8 上有四个不同的根 S=S+5 输出T x ,x ,x ,x ,则 1 2 3 4 n=n+2 x  x  x  x = _________. 结束 1 2 3 4 T=T+n 三、解答题：本大题共6分，共74分。  （17）(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+ )+sin2x. 3 (1)求函数f(x)的最大值和最小正周期. 1 C 1 (2)设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB= ，f( )=－ ，且C为锐角，求sinA. 3 3 4 第4页 | 共18页（18）（本小题满分12分） 如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, 1 1 1 1 BC=CD=2, AA =2, E、E 、F分别是棱AD、AA 、AB的中点。 1 1 1 D C 1 1 （1） 证明：直线EE //平面FCC ； 1 1 A 1 B （2） 求二面角B-FC -C的余弦值。 1 1 E D C 1 E A F B (19)(本小题满分12分) 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在 B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在 A处的命中率q 为0.25，在B处的命中率为q ，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投 1 2 ，用x表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 x 0 2 3 4 5 p 0 .03 P P P P 1 2 3 4 （1） 求q 的值； 2 （2） 求随机变量x的数学期望Ex; （3） 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概 率的大小。 第5页 | 共18页（20）（本小题满分12分） 等比数列{a }的前n项和为S ，已知对任意的nÎN，点(n,S )，均在函数 n n n y =bx r(b0且b1,b,r均为常数)的图像上. （1）求r的值； b = 2(log a 1)(nÎN) （11）当b=2时，记 n 2 n b 1 b 1 b 1 证明：对任意的nÎN ，不等式 1 · 2 ······ n  n1成立 b b b 1 2 n （21）（本小题满分12分） 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧 上选择一点C建造垃圾处 理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与 城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的 影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到 城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （I）将y表示成x的函数； （Ⅱ）讨论（I）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂 对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。 第6页 | 共18页（22）（本小题满分14分） x2 y2 设椭圆E:  =1（a,b>0）过M（2， 2 ） ，N( 6 ,1)两点，O为坐标原点， a2 b2 （I）求椭圆E的方程； （II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 uuur uuur OA^OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 第7页 | 共18页2009年高考数学山东理科解析 一、选择题 1． 【答案】D 【解题关键点】因为AÈB=0,1,2,4,16 .所以a=4,选D. 2． 【答案】C 3-i (3-i)(1i) 42i 【解题关键点】因为 = = = 2i，故选C. 1-i (1-i)(1i) 2 3． 【答案】B 【解题关键点】由题意知：平移后的函数解析式为   y =12sin2(x ) =12sin(2x )， 4 2 =12cos2x = 2cos2 x，选B. 4． 【答案】C 【解题关键点】由题意可知该几何体为一正四棱锥与一圆柱拼接而成的，所以改几何体的 体积为这个圆柱的体积与这个正四棱锥的体积之和，其中圆柱的底面园直径为2，高为2， 所以圆柱的体积为2，正四棱锥的测棱长为2，底面正方形的对角线为2，所以此正四棱 1 22 2 3 锥的体积   22 -1 = ,为故选C. 3 2 3 5． 【答案】B 【解题关键点】由m为平面a内的一条直线且m ^b得出a^b；但是，反过来，若 a^b且m 为平面a内的一条直线，则不一定有m ^b，还可能有m与平面b相交但不垂直、 m//b、mb.故选B. 6． 第8页 | 共18页【答案】A ex e-x 【解题关键点】排除法：因为当x =0时，函数y = 无意义，故排除B,C,D,故选 ex -e-x A. 7． 【答案】B 【解题关键点】因为BC BA= 2BP，所以点P为AC的中点，.即有PC PA=0，故 选B. 8． 【答案】A 【解题关键点】因为样品中产品净重小于100克的个数为36，所以样本容量为 36 =120，所以样本中产品净重大于或等于98克并且小于104克的个数为 2（0.050.1） 120（0..120.1520.1252）=90，故选A. 9． 【答案】D x2 y2 b 【解题关键点】由题意知：双曲线 - =1的一条渐近线为y = x，由方程组 ax b2 a  b  y = x b b  a 消去y，得x2 - x1=0有唯一解，所以 =( )2 -4 =0，所以 a a  y = x2 1 b c a2 b2 b = 2,e = = = 1( )2 = 5，故选D. a a a a 10． 【答案】C 【解题关键点】由已知得 f(-1)=log 2=1, f(0)=0, f(1)= f(0)- f(-1)=-1 2 f(2) = f(1)- f(0) = -1, f(3) = f(2)- f(1) = -1-(-1) =0, f(4) = f(3)- f(2) =0-(-1) =1, f(5) = f(4)- f(3) =1, f(6) = f(5)- f(4) =0, 所以函数 f(x)的值以6为周期重复性出现，所以 f(2009) = f(5) =1，故选C 11． 第9页 | 共18页【答案】A x 1  x    【解题关键点】当0cos  时，在区间 -1,1 上，只有-   - 或 2 2 2 2 3  x  2 2 1   ，即x (-1,- ) U ( ,1)，根据几何概型的计算方法，这个概率值是 . 3 2 2 3 3 3 12． 【答案】A 【解题关键点】不等式表示的平面区域如图所示的阴影部分，由题意知： 当直线z = axby(a 0,b 0)过直线x- y2=0与直线 3x- y-6=0的交点  4,6  时，目标函数z = axby(a 0,b 0) 取最大值12，即4a6b =12，即2a3b =6， 2 3 2 3 2a3b 13 b a 13 25 而  =(  ) = (  ) 2 = ，当且仅 a b a b 6 6 a b 6 6 当a =b时取等号，故选A . 二、填空题 13． 【答案】（-1，1） 【解题关键点】原不等式等价于 2x-1  x-2 ，两边平方并整理得：3x2 3，解得 -1 x 1. 14． 【答案】（1，） 【解题关键点】  函数 f(x)=ax -x-a (a0且a 1)有两个零点，  方程 ax -x-a =0有两个不相等的实数根，即两个函数y = ax与y = xa的图像有两个不同 的交点，当0 a 1时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当a 1时，两 个函数的图像有两个交点，满足题意. 15． 第10页 | 共18页【答案】30 【解题关键点】由框图知，S=5,n=2,T=2; S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12; S=20.n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30. 16． 【答案】-8 【解题关键点】因为定义在R上的奇函数，满足 f(x-4) = -f(x)，所以 f(x-4) = f(-x)，所以，由 f(x)为奇函数，所以函数图像关于直线x = 2对称且 f(0) =0，由 f(x-4) = -f(x)知 f(x-8) = f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数， 又因为 f(x)在区间  0，2  上是增函数，所以 f(x)在区间  -2，0  上也是增函数，如下图所 示，那么方程 f(x) = m(m 0)在区间  -8，8  上有四个不同的根x ,x ,x ,x ，不妨设 1 2 3 4 x  x  x  x ，由对称性知， 1 2 3 4 x  x = -4(-4)(-4) = -12 ，x  x = 4，所以x  x  x  x = -8. 1 2 3 4 1 2 3 4 三、解答题 17． 【答案】（I）  1 3 1 f(x)=cos2(x )sin2x= cos2x- sin2x (1-cos2x)  3 2 2 2 3 1 = - sin2x ， 2 2 1 3 当sin2x = -1时，函数 f(x)的最大值为 ，最小正周期为. 2 C 1 3 1 3  （II） f( )= - sinC=－ ，得到sinC = ，又C为锐角，故C = ， 2 2 2 4 2 3 1 2 2 cosB = sinB = 3 3 2 3 1 1 2 2 2 2  3 故sin A=sin( -B) =    = . 3 2 3 2 3 6 第11页 | 共18页18． 【答案】解法一：（I）在在直四棱柱ABCD- A BC D 1 1 1 1 中，取A B 的中点F ，连结FF ，C F 由于 1 1 1 1 1 1 FF //BB //CC ，所以F Î平面FCC ，因此平面FCC 即为平面C CFF ，连结A D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 // // ，CF ，由于CDA F =D C =CD， 1 1 1 1 1 所以四边形A FCD为平行四边形，因此CF // A D，又因为E、E 分别是棱AD、 1 1 1 1 1 AA 的中点，所以EE // A D，所以CF //EE ，又因为EE 平面FCC ，CF 平面 1 1 1 1 1 1 1 1 FCC ，所以直线EE //平面FCC . 1 1 1 （II）因为AB = 4,BC =CD = 2,F 是棱AB的中点，所以BF = BC =CF,BDF 为正 三角形，取CF 的中点O，则OB^CF，又因为直四棱柱ABCD- A BC D 中，CC 1 1 1 1 1 平面ABCD，所以CC ^ BO，所以OB^平面CC F ，过O在平面FCC 内作 1 1 1 OP^C F ，垂足为P，连接BP，则为OPB二面角B- FC -C 的一个平面角，在 1 1 OP OF BCF 为正三角形中，OB= 3，在RtCC F中，OPF ～CC F，∵ = 1 1 CC C F 1 1 1 2 1 14 ∴OP= 2= ，在RtOPF 中，BP= OP2 OB2 = 3 = ， 22 22 2 2 2 2 OP 2 7 7 cosOPB= = = ，所以二面角B-FC -C的余弦值为 . BP 14 7 1 7 2 解法二:（I）因为AB = 4,BC =CD = 2,F 是棱AB的中点 第12页 | 共18页所以BF = BC =CF,BDF ，为正三角形，因为ABCD为 等腰梯形,所以BAC = ABC =60,取AF 的中点M , 连接DM ,则DM ^ AB,所以DM ^CD， 以DM 为x轴, DC 为 y轴, DD 为z轴建立空间直 1 角坐标系如图所示, 则D（0,0,0），A（ 3，-1，0），F（ 3，1，0），C（0，2，0）， 3 1 C（0，2，2），E（ ，- ，0），E（ 3，-1，1），所以 1 1 2 2 uuur 3 1 uuur uuuur uuuur EE =( ,- ,1),CF =( 3,-1,0),CC =(0,0,2) FC =(- 3,1,2)设平面CC F 的法 1 2 2 1 1 1 r  n r ×C uu F ur =0  3x- y = 0 r 向量为n=(x,y,z)则r uuuur 所以 取n=(1, 3,0),则  n×CC =0  z = 0 1 r uuur 3 1 r uuur n×EE = 1-  310=0,所以n^ EE ,所以直线EE //平面FCC . 1 2 2 1 1 1 ur uuur  n ×FB = 0 uuur ur 1 （II）FB=(0,2,0),设平面BFC 1 的法向量为n 1 =(x 1 ,y 1 ,z 1 ),则 ur uuuur 所以  n ×FC = 0 1 1  y 1 =0 ur  ，取n =(2,0, 3)，则  - 3x  y 2z =0 1 1 1 1 r ur n×n =21- 300 3 =2， 1 r ur |n|= 1( 3)2 =2,|n |= 22 0( 3)2 = 7 ， 1 第13页 | 共18页r ur r ur n×n 2 7 所以cosán,n ñ = r u 1 ur = = ,由图可知二面角B-FC -C为锐角,所以二 1 |n||n | 2 7 7 1 1 7 面角B-FC -C的余弦值为 . 1 7 19． 【答案】（I）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立, 且P(A) =0.25,P(A)=0.75, P(B) = q ,P(B)=1-q . 2 2 根据分布列知: x=0时P(ABB)= P(A)P(B)P(B)=0.75(1-q )2=0.03,所以1-q =0.2, 2 2 q =0.8. 2 （II）当x=2时, P =P(ABB ABB) = P(ABB)P(ABB) 1 = P(A)P(B)P(B)P(A)P(B)P(B) =0.75，q ( 1-q )2=1.5， 2 2 q ( 1-q )=0.24 2 2 当x=3时, P =P(ABB)= P(A)P(B)P(B)=0.25(1-q )2 =0.01； 2 2 当x=4时, P =P(ABB) = P(A)P(B)P(B) = 0.75q 2 =0.48； 3 2 当x=5时, P =P(ABB AB)= P(ABB)P(AB) 4 = P(A)P(B)P(B)P(A)P(B)=0.25q (1-q )0.25q =0.24 2 2 2 所以随机变量x的分布列为 随机变量x的数学期望 Ex=00.0320.2430.0140.4850.24=3.63. （III）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为P(BBBBBBBB) = P(BBB)P(BBB)P(BB) =2(1-q )q 2 q 2 =0.896； 2 2 2 第14页 | 共18页该同学选择（I）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72. 因此该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都 在B处投得分超过3分的概率. 20． 【答案】（I）由题意知：S =bn r.当n2时， n a =S -S =bn r-(bn-1r)=bn -bn-1 =(b-1)bn-1，由于b 0且b 1，所以当 n n n-1 a n2时，{a }是以b为公比的等比数列，又a =S =br a =b(b-1) 2 =b，，即 n 1 1 2 a 1 b(b-1) =b，解得r =-1. br （II）  S = 2n -1当n2时，a = S - S = (2n -1)-(2n-1 -1) = 2n-1 ， n n n n-1 又当n=1时，a = S = 21 -1=1，适合上式，a = 2n-1， 1 1 n b = 2(log a 1) = 2(log 2n-1 1) = 2n n 2 n 2 b 1 b 1 b 1 3 5 7 2n1  1 · 2 ······ n = × × L ， b b b 2 4 6 2n 1 2 n 下面有数学归纳法来证明不等式： b 1 b 1 b 1 3 5 7 2n1 1 · 2 ······ n = × ×  n1 L b b b 2 4 6 2n 1 2 n 3 9 证明：（1）当n=1时，左边= =  2 =右边，不等式成立. 2 4 （2）假设当n = k(kÎN*)时，不等式成立，即 b 1 b 1 b 1 3 5 7 2k1 1 · 2 ······ k = × × L  k1，当n=k1时，左边 b b b 2 4 6 2k 1 2 k b 1 b 1 b 1b 1 3 5 7 2k1 2k3 1 · 2 ······ k k1 = × × × L × × ， b b b b 2 4 6 2k 2k2 1 2 k k1 2k3 (2k3)2 4(k1)24(k1)1 1  k1× = = = (k1)1  (k1)1 2k2 4(k1) 4(k1) 4(k1) 所以当n=k1时,不等式也成立. 357 （2n1） L 由（1）、（2）可得当nÎN时，不等式  n1恒成立，所以 2n ×123 n L 第15页 | 共18页b 1 b 1 b 1 对任意的nÎN，不等式 1 · 2 ······ n  n1成立. b b b 1 2 n 21． 【答案】（I）如右图,由题意知 4 k AC ^ BC,BC2 = 400- x2 , y =  (0 x20) x2 400-x2 当垃圾处理厂建在弧 的中点时，垃圾处理厂到A、B的距离都相等，且为10 2km， 4 k 所以有0.065=  ， (10 2)2 (10 2)2 解得k =9， 4 9  y =  (0 x20) x2 400-x2 8 9(-2x) 18x4 -8(400- x2)2 4 9 （II）  y =  , y'= - - = x2 400-x2 x3 (400- x2)2 x3(400- x2)2 令y'0，得x4 640x2 -128000 0，解得x2 160，即x  4 10， 4 9 又因为0 x  20，所以函数y =  在xÎ（0，4 10）上是减函数，在 x2 400-x2 xÎ（4 10，20）上是增函数，  当x=4 10 时，y取得最小值， 所以在弧 上存在一点，且此点到城市A的距离为4 10km，使建在此处的垃圾 处理厂对城市A、B的总影响度最小. 【解题关键点】 【结束】 22． x2 y2 【答案】（I）  椭圆E:  =1(a,b 0)过M （2， 2 ），N ( 6 ,1)两点， a2 b2 第16页 | 共18页 4 2  =1  a2 b2 x2 y2  ，解得a2 =8,b2 =4，所以椭圆E的方程为  =1.  6 1 8 4  =1 a2 b2 （II）假设存在该圆，满足条件，则要使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点， 只该圆在椭圆内部，设该圆的方程为x2  y2 = r2(r  4)，则当直线AB的斜率存在时，  y =kxm  设该圆的切线方程为y =kxm，解方程组x2 y2 得  =1   8 4 x2 2(kxm)2 =8,即(12k2)x2 4kmx2m2 -8=0, 则 =16k2m2 -4(12k2)(2m2 -8)=8(8k2 -m2 4)0,即8k2 -m2 40  4km x x =-   1 2 12k2  , 2m2 -8  x x =  1 2 12k2 k2(2m2 -8) 4k2m2 m2 -8k2 y y =(kx m)(kx m)=k2x x km(x x )m2 = - m2 = 1 2 1 2 1 2 1 2 12k2 12k2 12k2 uuur uuur 2m2 -8 m2 -8k2 要使OA^OB,需使x x  y y =0,即  =0,所以3m2 -8k2 -8=0, 1 2 1 2 12k2 12k2 3m2 -8 m2 2 8 2 6 所以k2 = 0又8k2 -m2 40,所以 ,所以m2  ,即m 或 8 3m2 8 3 3 2 6 m- ，因为直线y =kxm为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为 3 m2 m2 8 m r2 = = = 2 6 8 r = , 1k2 3m2 -8 3,r = ,所求的圆为x2  y2 = ,此时圆的切 1k2 1 3 3 8 2 6 2 6 2 6 线y =kxm都满足m 或m- ,而当切线的斜率不存在时切线为x=± 3 3 3 x2 y2 2 6 2 6 2 6 2 6 uuur uuur 与椭圆  =1的两个交点为( ,± )或(- ,± )满足OA^OB, 8 4 3 3 3 3 第17页 | 共18页8(8k2 -m2 4) | AB|= (x -x )2 y - y 2 = (1k2)(x -x )2 = (1k2) 1 2 1 2 1 2 (12k2)2 32 4k4 5k2 1 32 k2 = × = [1 ]， 3 4k4 4k2 1 3 4k4 4k2 1 4 6 当k =0时,| AB|= ， 3 32 1 | AB|= [1 ] 当k 0时 3 1 ， 4k2  4 k2 1 1 1 0  4 6 9 因为4k2  48所以 1 8 ,故 AB  = 12 = 2 3 k2 4k2  4 3 8 k2 m2 1 4 6 当AB的斜率不存在时, AB  4 1- = 4 1- = . 8 3 3 8 综上，存在圆心在原点的圆x2  y2 = ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交 3 4 6  点A,B且 AB 的取值范围是 ,2 3. 3   第18页 | 共18页