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2009 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
一、选择题（每小题5分）
5i
（1） i是虚数单位， =
2-i
（A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i
ìx+ y³3
ï
（2）设变量x，y满足约束条件：íx- y³-1.则目标函数z=2x+3y的最小值为
ï
2x- y£3
î
（A）6 （B）7 （C）8 （D）23
（3）命题“存在x ÎR，2x 0 £0”的否定是
0
（A）不存在x ÎR, 2x 0 >0 （B）存在x ÎR, 2x 0 ³0
0 0
（C）对任意的xÎR, 2x £0 （D）对任意的x ÎR, 2x>0
1
（4）设函数 f(x)= x-lnx(x>0),则y = f(x)
3
1
A在区间( ,1),(1,e)内均有零点。
e
1
B在区间( ,1),(1,e)内均无零点。
e
1
C在区间( ,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点。
e
1
D在区间( ,1)内无零点，在区间(1,e)内有零点。
e
第1页 | 共4页（5）阅读右图的程序框图，则输出的S=
A 26 B 35 C 40 D 57
1 1
(6）设a>0,b>0.若 3是3a与3b的等比中项，则 + 的最小值为
a b
1
A 8 B 4 C 1 D
4
p
（7）已知函数 f(x)=sin(vx+ )(xÎR,v>0)的最小正周期为p，为了得到函数
4
g(x)=cosvx的图象，只要将y = f(x)的图象
p p
A 向左平移 个单位长度 B 向右平移 个单位长度
8 8
p p
C 向左平移 个单位长度 D 向右平移 个单位长度
4 4
f (x) =
x2+4x,x³0,
（8）已知函数 4x-x2,x<0, 若 f(2-a2)> f(a),则实数a的取值范围
是
A (-¥,-1)È(2,+¥) B (-1,2) C (-2,1) D (-¥,-2)È(1,+¥)
（9）．设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（ 3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，
S
与抛物线的准线相交于C， BF =2，则DBCF与DACF的成面积之比 DBCF =
S
DACF
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（A） （B） （C） （D）
5 3 7 2
（10）.0＜b＜1+a,若关于x 的不等式(x-b)2＞(ax)2 的解集中的整数恰有3个，则
（A）-1＜a＜0 （B）0＜a＜1 （C）1＜a＜3 （D）3＜a＜6
二．填空题：（6小题，每题4分，共24分）
（11）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调
查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取
一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，
B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。
（12）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3 3 ，则
a=_______
ìx=1+t
(13) 设直线l 的参数方程为í （t为参数），直线l 的方程
1 îy =1+3t 2
为y=3x+4则l 与l 的距离为_______
1 2
(14)若圆x2 + y2 =4与圆x2 + y2 +2ay-6=0（a>0）的公共弦的长为2 3，
则a=___________
1 uuur 1 uuur 3 uuur
uuur uuur BA+ BC = BD
(15)在四边形ABCD中，AB =DC =（1，1）， uuur uuur uuur ，则
BA BC BD
四边形ABCD的面积是
（16）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上
的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（满分12分）在⊿ABC中，BC= 5，AC=3，sinC=2sinA
(I) 求AB的值：
æ pö
(II) 求sinç 2A- ÷ 的值
è 4ø
（18）（满分12分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件
产品中任取3件，求：
（I） 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；
（II） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。
（19）（满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA ^平面
ABCD, AD//BC//FE，AB^AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=
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AD
2
(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(II) 证明平面AMD^平面CDE；
（III）求二面角A-CD-E的余弦值
（20）（满分12分）
已知函数 f(x)=(x2 +ax-2a2 +3a)ex(xÎR), 其中aÎR
（1） 当a=0时，求曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率；
2
（2） 当a¹ 时，求函数 f(x)的单调区间与极值。
3
（21）（满分14分）
x2 y2
以知椭圆 + =1(a>b>0)的两个焦点分别为 F(-c,0)和F (c,0)(c>0)，过点
a2 b2 1 2
a2
E( ,0)的直线与椭圆相交与A,B两点，且FA//F B, FA =2 F B 。
1 2 1 2
c
（1） 求椭圆的离心率
（2） 求直线AB的斜率；
（3） 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线F B 上有一点H(m,n)(m¹0)在D
2
n
AFC 的外接圆上，求 的值
1 m
（22）（满分14分）已知等差数列{a }的公差为d（d¹ 0），等比数列{b }的公比为q
n n
（q>1）。设s =ab +a b …..+ a b ,T =ab -a b +…..+(-1)n-1 a b ,nÎ N+
n 1 1 2 2 n n n 1 1 2 2 n n
(I) 若a =b = 1，d=2，q=3，求 S 的值；
1 1 3
2dq(1-q2n)
(II) 若b =1，证明（1-q）S -（1+q）T = ，nÎ N+；
1 2n 2n 1-q2
(Ⅲ) 若正数n满足2£n£q，设k ,k ,...,k 和l ,l ,...,l 是1，2，...，n的两个不同的排列，
1 2 n 1 2 n
c ¹c
c =a b +a b +...+a b ， c =a b +a b +...+a b 证明 1 2。
1 k 1 k 2 k n 2 l 1 l 2 l n
1 2 n 1 2 n
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