文档内容
重庆市高 2024 届高三第九次质量检测
数学试题
2024.5
命审单位：重庆南开中学
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求
1.已知 （ 为虚数单位），则复数 的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知向量 ，若 ，则 （ ）
A.2 B.3 C. D.
4.无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，
加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果.如图，在某一次无人机灯光
表演秀中，有8架无人机排布成如图形式.已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的
无人机颜色必须相同，编号7､8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，
则这8架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合.
A.9 B.12 C.15 D.185.已知实数 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知从点 发出的光线经 轴反射，反射光线与圆 相切，其反射光
线的斜率为（ ）
A. B.2 C. 或2 D. 或
7.已知函数 的部分图像如图所示，若 ，则
（ ）
A. B. C. D.
8.已知数列 的前 项和为 （ ）
A.276 B.272 C.268 D.266
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图，已知正方体 中， 分别为棱 的中点，则下列说法正
确的是（ ）A. 四点共面 B. 与 异面
C. D. 与 所成角为
10.已知 ，则（ ）
A. B. 在 上单调递增
C. ，使 D. ，使
11.已知双曲线 的左､右焦点分别为 为双曲线 上一点且 的内切圆圆
心为 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.直线 的斜率为
C. 的周长为
D. 的外接圆半径为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.对具有线性相关关系的变量 有一组观测数据 ，其经验回归方程
，则在样本点 处的残差为__________.
13.已知一个表面积为 的球与正三棱柱的各个面都相切，则此正三棱柱的体积为__________.14.已知函数 满足 ，若 是方程 的两根，则
__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知 分别为 的内角 的对边， 为 的面积，且满足 .
（1）求 ；
（2）若 ，且 ，求 的余弦值.
16.（15分）
如图，在圆锥 中， 为圆锥底面的直径， 为底面圆周上一点，点 在线段 上，
， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若圆锥 的侧面积为 ，求二面角 的余弦值.
17.（15分）
已知 为圆 上一个动点， 垂直 轴，垂足为 为坐标原点， 的重心为 .
（1）求点 的轨迹方程；
（2）记（1）中的轨迹为曲线 ，直线 与曲线 相交于 两点，点 ，若点 恰好是
的垂心，求直线 的方程.
18.（17分）
已知 是二维离散型随机变量，其中 是两个相互独立的离散型随机变量， 的分布列用表
格表示如下：0 3 6
0
5
（1）求 和 ；
（2）“ ”表示在 条件下的 的取值，求“ ”的分布列；
（3） 为 的数学期望， 为“ ”的分布的期望，证明：
.
19.（17分）
已知函数 .
（1）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）已知直线 是曲线 的两条切线，且直线 的斜率之积为1.
（i）记 为直线 交点的横坐标，求证： ；
（ii）若 也与曲线 相切，求 的关系式并求出 的取值范围.重庆市高 2024 届高三第九次质量检测
数学试题参考答案与评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选项 A D C B C C D A AC AC ACD
一､单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.
1.A
2.D
3.C 【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以.
4.B 【解析】先考虑6号，有3种颜色可选.则剩下的1至5号有2种颜色可选， 号也有2种颜色可选，
所以一共有 种灯光组合.
5.C 【解析】由题可得
对A.由 在 上单调递减及 可知 ，故A不成立
对B.当 时， 不满足 ，故B不成立
对C.由 ，故C成立
对D.易知 在 上单调递增，故
，故D不成立
6.C 【解析】点 关于 轴的对称点 ，反射光线即为过点 作圆 ：
的切线，设切线的斜率为 ，则切线 ，由
或2，故选C.
7.D 【解析】由图可知 ，由 可知 .
根据 图象类比可知， .
.
故8.A 【解析】 ，又 ，当 时， ；
当 时， ，作差得 ，
.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.AC 【解析】因为 ，所以 四点共面，A选项正确；
取 的中点 ，依次连结 ，则 为正六边形， B错误；
易知 面 ，所以 C选项正确；
易知 ，又 是等边三角形，所以 与 所成角为 D选项错误.
10.AC 【解析】 ，
A正确； 定义域 B错误；
，
又 ，令 单调递增，
又 存在唯一 ，使得 .
此时 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减，在
上单调递增， ，
.所以C正确，D错误.11.ACD 【解析】如图1，由条件，点 应在双曲线 的右支上，设圆 分别与 的三边切于点
，则 ， ，
又
，A选项正确；
连接 ，则
，B选项错误；
同理， ，
，
，由 ，
得 ，
的周长为 ， 选项正确；由 ，由正弦定理 得 ，D选项正确.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.0.5 【解析】 残差 .
13. 【解析】设正三棱柱的底面棱长为 ，内切球的半径为 ，则 且棱柱的高 ，
依题意 ，解得 ，故 ，所以正三棱柱的体积 .
14.0 【解析】法一：令 ，则 ，于是
，又 ，故
.
法二：因 ，设 ，则可取 ，于是：
.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
解：（1）由面积公式和余弦定理可得： ，，
，
.
（2）由题可得： ，
将 代入上式整理得： ，
.
，
三点共线，且 ，
所以 .
16.（15分）
解：（1）法一： 平面 ，故以 为坐标原点，
为 轴正方向， 为 轴正方向，与 同向的方向为 轴正方向建立空间直角坐标系.
设 ，故 ， ，
.
.
故 平面 .法二：也可证明 ，从而可证 平面 .
（2） 侧面 .
由（1）可知， 为平面 的法向量，设平面 的法向量为 ，而 ，故
取 ，则 ，即二面角 的余弦值为 .
17.（15分）
解：（1）设 ，则 ，因 为 的重心，故有： ，解得
，代入 ，化简得 ，又 ，故 ，所以 的轨迹方程
为 .
（2）因 为 的垂心，故有
又 ，故设直线 的方程为 ，
与 联立消去 得：
设 ，则由 ，得
，解得 （舍去）或 （满足 ）
故直线 的方程为 .
18.（17分）
解：（1）由已知 .
（2）法一：“ ”可取的值为
因为
所以 ，
，
所以“ ”分布列为
0 3 6
法二：“ ”可取的值为
由已知，随机变量 相互独立，故 ，其中 ，
由已知， ，
所以得“ ”分布列为
0 3 6
（3）法一：
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 .
法二：.
19.（17分）
（1）由于 ，则 ，
设 ，且 在 上单减，
所以 在 为正， 为负， 在 单增， 单减， ，则
.
（2）设两条切线在 上的两个切点横坐标分别为 ，有 此
时，切线为： ，
相减得 ，
所以 ，
设 ，
在 上单调递减.
故当 时， ；
当 时， ，则 .
（3）由题意得：存在实数 ，使 在 处的切线和 在 处的切线重合，
，即 ，则
，
又因为 ，所以 ，
题目转化为 有两个不等实根，且互为倒数，不妨设两根为 ，则
由 得 ，
化简得 ，
所以 ，
所以 .（也可写为 ）
代入 中得： 有两个不等实根，
即 ，设 ，
由于 在 上单减且 ，所以 在 单增， 单减，
而 时， 时， ，
所以 即 .
