文档内容
南京市 2023 届高三年级学情调研
数 学
2022.09
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1. 设集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
2. 已知复数 ，其中 为叙述单位，则 的值为（）
A. B. C. 3 D. 5
【答案】D
3. 已知随机变量 ，则 的值约为（）
附：若 ，则 ， ，
A. B. C. D.
【答案】A
4. 若直线 与曲线 相切，则实数 的值为（）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
5. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，
被称为“镇楼神器”，如图1由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置
的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为 ，如图2，若该阻尼器在摆动过程中
第1页/共11页
学科网（北京）股份有限公司连续三次到达同一位置的时间分别为 ，且 ， ，则在一个周期内
阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（）
A. B. C. D.
【答案】D
6. 已知椭圆 的左右焦点分别 ，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且
，若 ，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
7. 已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一
点，则三棱锥P-ABE外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
8. 已知函数 ，任意 ，满足 ，且 ，则
的值为（）
第2页/共11页
学科网（北京）股份有限公司A. B. 0 C. 2 D. 4
【答案】C
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选
的得0分．
9. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列选项中， 的充分条件有（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
10. 已知 ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
11. 已知直线 ，点 ，圆心为 的动圆经过点 ，且与直线 相切，则（）
A. 点 的轨迹为抛物线
B. 圆 面积最小值为
C. 当圆 被 轴截得的弦长为 时，圆 的半径为
D. 存在点 ，使得 ，其中 为坐标原点
【答案】ACD
12. 已知函数 ，则（）
A. 在 上单调递增 B. 存在 ，使得函数 为奇函数
第3页/共11页
学科网（北京）股份有限公司C. 函数 有且仅有2个零点 D. 任意 ，
【答案】ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13. 展开式中 的系数为__________．
【答案】14.
14. 双曲线 右焦点为F，点P，Q在双曲线上，且关于原点 对称．若 ，则 的面
积为______________．
【答案】4
15. 如图是构造无理数的一种方法：线段 ；第一步，以线段 为直角边作直角三角形 ，其中
；第二步，以 为直角边作直角三角形 ，其中 ；第三步，以 为直角边作直角三
角形 ，其中 ；．．．，如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段，如 ， ，．．．，
则 ____________．
【答案】
16. 若函数 在 上存在唯一的零点 ，函数 在
上存在唯一的零点 ，且 ，则实数 的取值范围为_____________．
第4页/共11页
学科网（北京）股份有限公司【答案】
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题-卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字
说明，证明过程或演算步骤．
17. 在平面四边形ABCD中，∠ABD=45°，AB=6，AD= ，对角线AC与BD交于点E，且AE=EC，DE=2BE．
（1）求 的长；
（2）求cos∠ADC的值．
【答案】（1）
（2）
18. 已知数列 中， ，且数列 为等差数列， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前n项和为 ，证明：
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 的首项与公差，进而求得通项公式，再利用累加法求解即可；
（2）根据裂项相消求和证明即可.
【小问1详解】
，所以 时， ，
所以
第5页/共11页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
，所以
19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，M为PC中点．
（1）求证：PA∥平面MBD；
（2）若AB=AD=PA=2，∠BAD=120°，求二面角B-AM-D的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线的性质，可得答案；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，求的两平面的法向量，由向量夹角的计算公式，可
得答案.
【小问1详解】
连接AC交BD于点O，连接OM，可知O为AC中点，M为PC中点，所以OM∥PA，
且 平面 ， 平面 ，所以PA∥平面MBD.
第6页/共11页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
由题意可得平行四边形ABCD为菱形，建立如图坐标系，如下图：
在菱形ABCD， AB=AD= 2，∠BAD=120°， ，
所以： ，
所以 ， ， ， ，
设平面MBA的法向量 ，则 ，得 ，
令 ，则 则面MBA的法向量 ，
同理可得：平面MDA的法向量 ，
第7页/共11页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以
故二面角 的正弦值为 .
20. 某高校男、女学生人数基本相当，为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试
的男、女各50名学生的成绩，情况如下表：
合格 不合格
男生 35 15
女生 45 5
（1）是否有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关？
（2）从这50名男生中任意选2人，求这2人中合格人数 的概率分布及数学期望；
（3）将抽取的这100 名学生合格的频率视为该校首次参加英语四级考试的每位学生合格的概率．若学生首次
考试不合格，则经过一段时间的努力，第二次参加考试合格的概率会增加0.1．现从该校学生中任意抽取2名
学生，求至多两次英语四级考试后，这两人全部合格的概率．
参考公式和数据： ， ．
附表：
【答案】（1）没有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关；
（2）分布列见解析；期望为
（3）0.9604
【解析】
第8页/共11页
学科网（北京）股份有限公司【分析】(1)由条件计算 ，再比较其与临界值的大小，并作出判断；(2)由条件确定 的可能取值，再求其取各
值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求其期望；(3)根据概率乘法公式和概率加法公式求对应事件的
概率.
【小问1详解】
因为 ，
又 ， ， ， ，
所以 ，
又 ， ，
所以没有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关；
【小问2详解】
由已知 的取值有0，1，2，
， ， ，
的
所以 概率分布为：
0 1 2
所以 ；
【小问3详解】
由已知该校学生首次参加英语四级考试成绩合格的概率为 ，首次不合格第二次合格的概率为 ，
所以两位同学都首次参加英语四级考试成绩合格的概率为 ，即 ，
第9页/共11页
学科网（北京）股份有限公司两位同学其中一位首次合格，另一位同学首次不合格，第二次合格的概率为 ，即 ，
两位同学都首次不合格，第二次都合格的概率为 ，即 ，
所以至多两次英语四级考试后，这两人全部合格的概率为 .
21. 已知抛物线C： 的焦点为F，过点P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A，B两点．当l经过
点F时，点A恰好为线段PF中点．
（1）求p的值；
（2）是否存在定点T，使得 为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在； ，
22. 已知函数
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若任意 ， ，求a的取值范围．
【答案】（1）单调递减区间 ，单调递增区间
（2）
第10页/共11页
学科网（北京）股份有限公司
