文档内容
2023 年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷数
数学（一）
注意事项：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号
填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合 和 ，即可得出 的取值范围.
【详解】解：由题意
在 ， 中，
，
∴
故选：B.
2. 已知复数z满足 ，则复数z的实部与虚部的和为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的运算法则求出复数 ，则得到答案.
【详解】
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学科网（北京）股份有限公司， ，
故实部与虚部的和为 ，
故选：D.
3. 的展开式中， 的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项式定理可求得 展开式通项，由此可确定 ，结合多项式乘
法运算进行整理即可确定 的系数.
【详解】 展开式的通项公式为： ；
当 时， ；当 时， ；
的系数为 .
故选：C.
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二倍角公式化简为正、余弦的齐次分式，分式上下同除 ，代入
可得答案.
【详解】
,
故选：A.
5. 何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造形浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中
国”为“中国”一词的最早文字记载．何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体，
高约为40cm，上口直径约为28cm，下端圆柱的直径约为18cm．经测量知圆柱的高约为
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学科网（北京）股份有限公司24cm，则估计该何尊可以装酒（不计何尊的厚度， ， ）（
）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆柱和圆台的体积公式计算可得结果.
【详解】下端圆柱的体积为： ，
上端圆台的体积为： ，
所以该何尊的体积估计为 .
因为 最接近 ，
所以估计该何尊可以装酒 .
故选：C
6. 已知 是定义域为R的奇函数，满足 ，则 （ ）
A. 2 B. 1 C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数 是定义域为R的奇函数，且 得出函数 是周期
为 的周期函数，进而求解.
【详解】因为函数 是定义域为R的奇函数，且 ，
所以 ，所以 ，
即函数 是周期为 的周期函数，
因为函数 是定义域为R的奇函数，所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司故选： .
7. 在四棱锥 中，ABCD是边长为2的正方形， ，平面
平面 ，则四棱锥 外接球的表面积为（ ）
A. 4π B. 8π C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将该四棱锥的外接球放在一个长方体内，画出图形，利用已知条件找出球心，建
立相应的关系式，求出外接球的半径，利用球体表面积公式计算即可.
【详解】由题意将该四棱锥放在一个长方体的中，
如图①所示：
取 中的点 ，连接 ，连接 交于 ，
由 ，
则在等腰 中有： ，
又平面 平面 ，且平面 平面ABCD= ，
则 平面 ，
又 ，
所以在 中，
，
由底面为正方形 ，
所以它的外接圆的圆心为对角线的交点 ，
连接 ，则 ，
外接圆 的圆心为 ，且在 上，
过点 ， 分别作平面 与平面 的垂线，
则两垂线必交于点 ，点 即为四棱锥 外接球的球心，
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学科网（北京）股份有限公司且 平面 ，
又 平面 ，即 平面 ，
所以 ，
所以四边形 为矩形.
如图②连接 ，则 ，
在 中， ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
所以 ，
在图①中连接 ，
由 ，
所以在 中，
，
即四棱锥 外接球的半径为 ，
所以四棱锥 外接球的表面积为：
，
故选：C.
8. 已知抛物线C： ，O为坐标原点，A，B是抛物线C上两点，记直线OA，OB的
斜率分别为 ， ，且 ，直线AB与x轴的交点为P，直线OA、OB与抛物线C
的准线分别交于点M，N，则 PMN的面积的最小值为（ ）
△
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】设出A、B的坐标，由 解得 的值，再分别求出点M、点N的坐标
求得 的式子，研究 恒过x轴上的定点可得点P的坐标，进而用方法1基本不等式
或方法2函数思想求得三角形面积的最小值.
【详解】设 ， ，则 ， ，
∴
∴ ，
∴设 ： ，令 得： ，∴ ，
同理：
∴ ，
设 ： ，
， ， ，
又∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ： 恒过点 ，
∴ 与x轴交点P的坐标为 ，即： ，
∴点P到准线 的距离为8+1=9.
方法1： ，当且仅当 时取等号.
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴△PMN的面积的最小值为 .
方法2：
∵ ∴ ，当且仅当m=0时取得最小值.
∴ ，
∴△PMN的面积的最小值为 .
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2
分．
9. 已知函数 的图像关于直线 对称，则ω的取
值可以为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】AD
【解析】
【分析】首先将函数 化成一个三角函数，然后根据对称轴公式求得 的表达式，对
整数 赋值求得结果.
【详解】 ，
因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 ， Z，解得 ，
因为 ，所以当 时， ；所以当 时， .
故选：AD.
10. 在菱形 中， ， ，点 为线段 的中点， 和 交
于点 ，则（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】以 为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验
证各个选项即可.
【详解】 四边形 为菱形， ，
则以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
， ， ， ，
， ， ， ， ，
对于A， ， ，A正确；
对于B， ， ， ，B正确；
对于C， ， ， ，C错误；
对于D， ， ， ，D正确.
故选：ABD.
11. 一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，
事件A“这3个球都是红球”，事件B“这3个球中至少有1个红球”，事件C“这3个球中至多
有1个红球”，则下列判断错误的是（ ）
A. 事件A发生的概率为 B. 事件B发生的概率为
C. 事件C发生的概率为 D.
【答案】ABC
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据题意求出基本事件总数、满足条件的基本事件数，利用古典概型概率公式及
条件概率公式求解即可.
【详解】由题意7个球中任取3个球的基本事件总数为：
这3个球都是红球的基本事件数为： ，
所以事件A发生的概率为： ，故A错误，
这3个球中至少有1个红球的基本事件数为：
，
所以事件B发生的概率为： ，故B错误，
这3个球中至多有1个红球的基本事件数为：
，
事件C发生的概率为 ,故C错误，
因为 ，
所以由条件概率公式得： ，
故D正确，
故选：ABC.
12. 对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则函数 为奇函数
B. 函数 有极值的充要条件是
.
C 若函数f（x）有两个极值点 ， ，则
D. 若 ，则过点 作曲线 的切线有且仅有3条
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：利用奇偶性的定义直接判断；对于B：利用极值的计算方法直接求解；
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学科网（北京）股份有限公司对于C：先求出 ，表示出 ，即可求出；对于D：设切点
，由导数的几何意义得到 .设 ，
利用导数判断出函数 有三个零点，即可求解.
【详解】对于A：当 时， 定义域为 .
因为 ，
所以函数 不是奇函数.故A错误；
对于B：函数 有极值 在 上不单调.
由 求导得： .
在 上不单调 在 上有正有负 .
故B正确.
对于C：若函数f（x）有两个极值点 ， ，必满足 ，即 .
此时 ， 为 的两根，所以 .
所以 .
所以
对称轴 ，所以当 时，
.
即 .故C正确；
对于D：若 时， .
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司设切点 ，则有： ，
消去 ，整理得：
不妨设 ，则 .
令 ，解得： 或 ；令 ，解得： .
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
所以 ，
.
所以作出的图像如图所示：
因为函数 有三个零点，所以方程 有三个根，所以过点
作曲线 的切线有且仅有3条.故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知样本数据 ， ，2，2，3，若该样本的方差为 ，极差为t，则 ______．
【答案】 ##0.7
【解析】
【分析】根据极差的定义可得 ，先求出平均数，再从方差，从而可求 .
【详解】极差 ，平均数为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故方差 .
所以 .
故答案为: .
14. 已知圆 ： 与直线 ： ，写出一个半径为 ，且与圆 及直线都相切
的圆的方程：______．
【答案】 (答案不唯一)
【解析】
【分析】根据圆的圆心和半径,结合直线和圆的位置关系及两个圆的位置关系计算即可.
【详解】设圆心 为 ,由已知圆 与直线 ： 相切, 圆 与圆 ：
相切,
可得 ,即得 或 或 ,
且已知半径为 ,
所以圆的方程可以为: 或 或
故答案为: (答案不唯一)
15. 已知椭圆 的左顶点为A，左焦点为F，过F作x轴的垂线在x
轴上方交椭圆于点B，若直线AB的斜率为 ，则该椭圆的离心率为______．
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】由题意设 ， ，再由 结合 ，即
可得出答案.
【详解】由题意可得， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司令椭圆 中 ，解得： ，
所以 ，而 ，则 ，
解得： .
故答案为： .
16. 已知f（x）是偶函数，当 时， ，则满足 的实
数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用奇偶性和函数的单调性解不等式.
【详解】当 时， ，函数在 上单调递增，∴
，又 是偶函数，所以 的值域为 .
当 时， ，不等式 为 ，即
，
设 ，由函数 ， ， 在
上都是增函数， 得 在 上是增函数，由 ，则 解得 ；
当 时，由函数值域可知 ，此时 ，所以 恒成立；
综上可知，满足 的实数x的取值范围是 .
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17. 已知数列 是等差数列， 成等比数列， ．
（1）求数列 的通项公式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等比数列定义和等差数列通项公式可构造方程组求得 ，进而确定
；
（2）利用裂项相消法可求得 ，整理即可证得结论.
【小问1详解】
设等差数列 的公差为 ，
成等比数列， ，即 ，
又 ，则由 得： 或 ，
当 ， 时， ，不满足 成等比数列，舍去；
， ， .
【小问2详解】
由（1）得： ，
，
.
18. 在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ．
（1）判断 的形状；
（2）若 ，D在BC边上， ，求 的值．
【答案】（1）直角三角形
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理的边角互化，即可得到结果；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）中结论即可得到 ，从而得到 的值，然后在 中结合余弦定
理即可得到结果.
【小问1详解】
因为 ，由正弦定理可得，
即
所以
且 ，所以
即 是直角三角形.
【小问2详解】
在直角 中，有 ，即 ，所以 ，
又因为 ，所以
且 ，
在 中，由余弦定理可得，
解得 ，
在 中由余弦定理可得，
19. 如图，在直三棱柱 中， 、 分别是 、 的中点，
， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求四棱锥 的体积；
（3）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，则 为 的中点，利用中位线的性
质可得出 ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，证明出 平面 ，计
算出 的长以及四边形 的面积，利用锥体的体积公式可求得四棱锥
的体积；
（3）设 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立
空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线 与平面 所成角的正弦值.
【小问1详解】
证明：连接 交 于点 ，连接 ，则 为 的中点，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，
因为 平面 ， 平面 ， 平面 .
【小问2详解】
解：因为 ，则 ， ，
，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，
因为 平面 ， 平面 ， ，
又因为 ， ， 、 平面 ， 平面 ，
由等面积法可得 ，
因为 平面 ， 平面 ， ，
又因为 且 ，故四边形 为矩形，
所以， ，
.
【小问3详解】
解：不妨设 ，因为 ， 平面 ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间
直角坐标系，
则 、 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
因为 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
20. 新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学生学习数
学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教
学实验，张老师所教的 名学生，参加一次测试，数学学科成绩都在 内，按区
间分组为 ， ， ， ， ，绘制成如下频率分布直方
图，规定不低于 分（百分制）为优秀．
（1）求这 名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；
（2）按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取 名学生座谈，再在这 名学生中，选
名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量 ，求 的分布列和期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析；期望
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；
（2）根据频率分布直方图可确定优秀与非优秀学生对应的频率，根据分层抽样原则可确定
名学生中优秀学员的人数，由此可得 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可
求得 每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望.
【小问1详解】
名学生的平均成绩为
.
【小问2详解】
根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为 ，则非优秀学
员对应的频率为 ，
抽取的 名学生中，有优秀学生 人，非优秀学生 人；
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学科网（北京）股份有限公司则 所有可能的取值为 ，
； ；
； ；
的分布列为：
数学期望 .
21. 已知 分别为双曲线 左、右焦点， 在双曲
线上，且 ．
（1）求此双曲线的方程；
（2）若双曲线的虚轴端点分别为 （ 在 轴正半轴上），点 在双曲线上，且
， ，试求直线 的方程．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据平面向量数量积坐标运算和点在双曲线上，可构造方程组求得 的
值，由此可得双曲线方程；
（2）由 三点共线可设 ，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，
利用向量垂直的坐标表示，代入韦达定理结论可解方程求得 的值，由此可得直线 方
程.
【小问1详解】
设 ， ，则 ， ，
，解得： ， ；
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学科网（北京）股份有限公司又 在双曲线上，则 ， ， ，
双曲线的方程为： .
【小问2详解】
由（1）得： ， ，
， 三点共线，
直线 斜率显然存在，可设 ， ， ，
由 得： ，
，即 且 ，
， ，
， ，又 ， ，
，
解得： ，满足 且 ，
直线 方程为： 或 .
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向
量垂直关系的坐标表示来构造等量关系，结合韦达定理的结论得到关于所求变量的方程的
形式，从而解方程求得变量的值.
22. 已知函数 ， ．
（1）当 时，求f（x）的单调区间；
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学科网（北京）股份有限公司（2）当 时，求证：函数f（x）有3个零点．
【答案】（1）函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .
（2）证明过程见详解
【解析】
【分析】(1) 因为 ，所以函数 ，对函数求导，利用导
函数的正负来判断函数的单调性即可求解；
(2)对函数进行求导，求出导函数的零点，根据条件可得：函数 在 和
上单调递增，在 上单调递减，然后利用零点存在性定理即可证明.
【小问1详解】
因为 ，所以函数 ，
所以 ，
当 或 时， ，此时函数 单调递增；
当 时， ，此时函数 单调递减；
综上：函数 的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 .
【小问2详解】
因为函数 ，
所以 ，
令 可得： 或 ，因为 ，所以 ，
当 或 时， ，此时函数 单调递增；
当 时， ，此时函数 单调递减；
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
故当 时，函数取极大值 ，
因为当 时， ；
所以 ，使得 ；
当 时，函数取极小值，
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学科网（北京）股份有限公司，（因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，也即 ）
所以 ，使得 ；
又当 时， ，所以 ，使得 ；
故当 时，函数 有3个零点.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且
，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个
零点．
(3)利用导数求出函数的极值点,再利用零点存在性定理进行判断零点的个数．
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学科网（北京）股份有限公司
