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2023 年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷
数学（二）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. （0，1） D.
2. 已知复数 为纯虚数，则实数 （ ）
A. B. C. 2 D.
3. 在正方形ABCD中，M是BC的中点．若 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
4. 已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
.
A B.
C. D.
5. 端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗．四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一
个正四面体．广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状粽子内部放入一个蛋黄，蛋黄的形
状近似地看成球，当这个蛋黄的表面积是 时，则该正四面体的高的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
6. 现有一组数据0，l，2，3，4，5，6，7，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的
平均数大于4的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 在棱长为3的正方体 中，O为AC与BD的交点，P为 上一点，
且 ，则过A，P，O三点的平面截正方体所得截面的周长为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
.
C D.
8. 不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2
分．
9. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为 ，若直线 上存在一点
M，使过点M所作的圆的两条切线相互垂直，则点M的纵坐标为（ ）
A. 1 B. C. D.
10. 已知函数 的部分图象如图所示，若将
的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，
则 的值可以是（ ）
A. B. C. D.
11. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统
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学科网（北京）股份有限公司文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列 满足
， ，则（ ）
A.
B.
C.
D. 数列 的前2n项和的最小值为2
12. 已知抛物线 的准线为 ，焦点为F，点 是抛物线上
的动点，直线 的方程为 ，过点P分别作 ，垂足为A， ，垂
足为B，则（ ）
A. 点F到直线 的距离为 B.
C. 的最小值为1 D. 的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知 ，则 ______．
14. 函数 的图象在点 处的切线方程是______．
15. 名老师带着 名学生去参加数学建模比赛，先要选 人站成一排拍照，且 名老师同
时参加拍照时两人不能相邻．则 名老师至少有 人参加拍照的排列方法有______种．
（用数字作答）
16. 已知A，B是双曲线 上的两个动点，动点P满足 ，O为坐
标原点，直线OA与直线OB斜率之积为2，若平面内存在两定点 、 ，使得
为定值，则该定值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17. 在 中，角 的对边分别是 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求C；
（2）若 ， 的面积是 ，求 的周长．
18. 已知数列 满足， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，记 为数列 的前n项和，求 ，并证明：当 时，
．
19. 如图，四棱锥 中，平面 平面 ， 为正三角形，底面
为等腰梯形， // ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若点 为线段 上靠近点 的三等分点，求二面角 的大小．
20. 为落实体育总局和教育部发布 的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，
某校组织学生参加100米短跑训练．在某次短跑测试中，抽取100名女生作为样本，统计
她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，
不包含右端点）．
（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩X服从正态分布 ，其中
近似为女生短跑平均成绩 ， 近似为样本方差 ，经计算得， ，若从该校
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学科网（北京）股份有限公司女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在 以外的人数为Y，求 ．
附参考数据： ，随机变量X服从正态分布 ，则
， ，
， ， ，
．
21. 已知椭圆 的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 ，B为
椭圆C上一动点， 面积的最大值为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过F且不垂直于坐标轴的直线l与C交于M，N两点，x轴上点P满足 ，
若 ，求 的值．
.
22 已知函数 ．
（1）当 时，判断函数 的单调性；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
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