文档内容
2023 年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷
数学（四）
注意事项：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写
在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知复数 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知全集 ，集合 ，则 A=（ ）
A. B.
C. D.
3. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一
个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中 分别是上､下底面圆的圆心，
且 ，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知一组数据： 的平均数是4，方差是2，则由 和11这
四个数据组成的新数据组的方差是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 27 B. C. 12 D. 11
5. 若非零向量 满足 ，则向量 与 夹角的余弦值为（
）
A. B. C. D.
6. 已知圆 ，圆 ，则同时与圆 和
圆 相切 的直线有（ ）
A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 0条
7. 已知函数 的部分图象如图所示，则函数
在区间 上的零点个数为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
8. 已知椭圆 左､右焦点分别为 ，点 在椭圆 上，若离
的
心率 ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 若 ，则 的值可能为（ ）
.
A B. C. D.
10. 某校10月份举行校运动会，甲､乙､丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参
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学科网（北京）股份有限公司加，每人选择各项目的概率均为 ，且每人选择相互独立，则（ ）
A. 三人都选择长跑的概率为
B. 三人都不选择长跑 概率为
的
C. 至少有两人选择跳绳的概率为
D. 在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为
11. 设函数 ，若 恒成立，则满足条件
的正整数 可以是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 已知三棱锥 中， 平面
边 上一动点，则（ ）
是
A. 点 到平面 的距离为2
B. 直线 与 所成角的余弦值为
C. 若 是 中点，则平面 平面
D. 直线 与平面 所成的最大角的正切值为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数 为奇函数，则实数 的取值为__________.
14. 已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 ，若 ，则 的面积为
______________.
15. 由数字 组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有
__________个.
16. 已知 ，函数 在 上的最小值为2，则实数
__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
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学科网（北京）股份有限公司17. 第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了
国人冰雪运动的热情.某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第 天的滑雪
人数 （单位：百人）的数据.
天数代码 1 2 3 4 5
滑雪人数 （百人） 9 11 14 26 20
经过测算，若一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，请建立 关于 的
回归方程，并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.
参考公式：线性回归方程 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
.
18. 如图，四边形 中， 的
面积为 .
（1）求 ；
（2）求 .
19. 设数列 的前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 的前 项和 ，求 的值.
20. 如图，正方体 的棱长为4，点 、 分别是 、 的中点.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
21. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，一个焦点到该
渐近线的距离为1.
（1）求双曲线 的方程；
（2）若双曲线 的右顶点为 ，直线 与双曲线 相交于 两点
不是左右顶点），且 .求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标.
22. 已知函数 .
（1）求函数 的图象在 处的切线方程；
（2）判断函数 的零点个数，并说明理由.
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