灌南高级中学 2023-2024 学年第一学期高三数学试卷（2）
命题人： 审核人： 考试时间：120分钟 总分：150分
一、单选题
1. 设a，b，c为实数，且a<b<0，则下列不等式正确的是( )
1 1 b a
A. < B. ac2<bc2 C. > D. a2>ab>b2
a b a b
2. 设集合A={2,3,a2−2a−3}，B={0,3}，C={2,a}.若B⊆A，A∩C={2}，则a=
( )
A. −3 B. −1 C. 1 D. 3
3. 已知p:x2−x<0，那么命题p的一个必要条件是( )
1 2 1
A. 0<x<1 B. −1<x<1 C. <x< D. <x<2
2 3 2
3
4. 若不等式2kx2+kx− <0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
8
A. −3<k<0 B. −3≤k<0 C. −3≤k≤0 D. −3<k≤0
1 1
5. 已知a>0,b>0,4a+b=2，则 + 的最小值是( )
a b
9
A. 4 B. C. 5 D. 9
2
1
6. 设a=30.7，b=( ) −0.8 ，c=log 0.8，则a，b，c的大小关系为( )
3 0.7
A. a<b<c B. b<a<c C. b<c<a D. c<a<b
3−x−3x
7. 函数f(x)= 的部分图象大致为( )
x4+1
学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
8. 已知函数f(x)是定义在区间(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，且当x∈(0,+∞)时，
{ 2|x−1|,0<x≤2 1
f(x)= ，则方程f(x)+ x2=2根的个数为( )
f(x−2)−1,x>2 8
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、多选题
9. 已知a>0，b>0，且2a+b=ab，则( )
A. ab≥8 B. a+b≤3+2√2 C. b>2 D. a>1
10. 下列叙述中正确的是( )
A. 若m−2<x<m+2是1<x<3的必要不充分条件，则1<m<3
B. 若a，b，c均为实数，则“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件
1
C. 若∃x∈[ ,3]，使不等式x2−ax+1⩾0成立，则a⩽2
2
1
D. “a>1”是“ <1”的充分不必要条件
a
11. 已知函数f (x)为R上的奇函数，g(x)=f (x+1)为偶函数，下列说法正确的有( )
学科网（北京）股份有限公司A. f (x)图象关于直线x=−1对称 B. g(2023)=0
C. g(x)的最小正周期为4 D. 对任意x∈R都有f (2−x)=f (x)
12. 下列说法正确的是( )
A. 若函数f (x)的定义域为[0,2]，则函数f (2x)的定义域为[0,1]
(1) −x2+1 1
B. y= 的最大值为
2 2
x+1
C. y= 的图象关于(−2,1)成中心对称
x+2
D. 函数f(x)=log (x2−4x−5)的减区间是(−∞,2)
2
三、填空题
1
1
13. 计算： lg8−(π+1) 0+273+lg50= ．
3
14. 已知−1⩽a+b⩽1，1⩽a−2b⩽3，则a+3b的范围是
15. 已知集合A={x|2a+1⩽x⩽3a−5},B={x|x<0或x>19}.若A⊆(A∩B)，则
实数a的取值范围是 ．
{ 2x
− ,x∈[0,1),
16. 定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)= x+1 则函数
1−|x−3|,x∈[1,+∞),
1
F(x)=f(x)− 的所有零点之和为 ．
π
四、解答题
17. 在ΔABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知
2acosA=−√3(ccosB+bcosC)．
(1)求角A；
√3
(2)若b=2，且ΔABC的面积为 ，求a的值．
2
学科网（北京）股份有限公司18. 在①a +a =a −b ，②a ·a =2a ，③S =15这三个条件中任选一个，补充在下面
2 3 5 1 2 3 7 3
的问题中，并解答．
已知等差数列{a }的公差d>0，前n项和为S ，若________，数列{b }满足b =1，
n n n 1
1
b = ，a b =nb −b ．
2 3 n n+1 n n+1
(1)求{a }的通项公式；(2)求{b }的前n项和T ．
n n n
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC．
(1)求直线PB与平面PAC所成角的正弦值;
(2)求二面角A−PC−B的余弦值．
20. 乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目．某次乒乓球比赛中，
比赛规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制．在一局比赛中，先得11分的选手为
胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方．
2
(1)假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为 ．在一局比赛中，若现在甲、乙两名选
3
手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率．
3
(2)假设甲选手每局获胜的概率为 ，在前三局甲获胜的前提下，记X表示到比赛结束
4
时还需要比赛的局数，求X的分布列及数学期望．
学科网（北京）股份有限公司x2 y2
21. 已知双曲线C： − =1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A(−1,0)，B(1,0)，离
a2 b2
心率为2．
3√2
(1)过右焦点F的直线l与双曲线C交于P，Q两点，且△BPQ的面积是 ，求直线l的方
2
程；
(2)设点M，N在双曲线C的右支上，直线AM，BN在y轴上的截距之比为1:3，证明：直
线MN过定点．
1
22. 已知函数f(x)= ax2−lnx．
2
(1)若a=1，求f(x)的极值．
(2)若方程f(x)=1在区间[1,2]上有解，求实数a的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
A：作差判断不成立；B：c=0时不成立；C：作差判断不成立．
【解答】
1 1 b−a 1 1
解：对于A： − = >0，故 > ，故A不正确；
a b ab a b
对于B：ac2<bc2在c=0时，不成立，故B不正确；
b a b2−a2 (b−a)(b+a) b a
对于C： − = = <0，故 < ，故C不正确．
a b ab ab a b
故选D．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查含参数的集合关系的问题，交集运算，属于基础题．
根据包含关系结合交集的结果可求a的值．
【解答】
解：因为B⊆A，则a2−2a−3=0，解得a=−1或a=3，
若a=−1，则A={2,3,0}，C={2,−1}，此时A∩C={2}，符合题意;
若a=3，则A={2,3,0}，C={2,3}，此时A∩C={2,3}，不符合题意，
故a=−1．
故选B．
3.【答案】B
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】
本题主要考查必要条件，充分条件与充要条件的判定．
先求出x的取值范围，运用充分、必要条件的概念逐项判断即可．
【解答】
解：x2−x<0⇔0<x<1，运用集合的知识易知，
A中0<x<1是p的充要条件;
B中−1<x<1是p的必要条件;
1 2
C中 <x< 是p的充分条件;
2 3
1
D中 <x<2是p的既不充分也不必要条件．
2
故选B．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了二次不等式的恒成立求解参数范围，体现了不等式与函数相互转化思想的应
用，属于基础题．
3
由2kx2+kx− <0对一切实数x都成立，讨论k是否为零，结合函数的图象性质分类讨论进
8
行求解．
【解答】
3
解：2kx2+kx− <0对一切实数x都成立，
8
3
①k=0时，− <0恒成立，
8
学科网（北京）股份有限公司{ k<0
②k≠0时， ，
△=k2+3k<0
解可得，−3<k<0
综上可得，−3<k≤0
故选D．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在利用基本不等式求最值时，要注意配凑“定
值”的条件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的应用．
1 1
将代数式 + 与代数式 4a+b 相乘，展开后利用基本不等式求出代数式的最小值，然后
a b
在不等式两边同时除以 2 可得出答案．
【解答】
1 1 b 4a √b 4a
解：因为 ( + )(4a+b)=4+ + +1≥5+2 ⋅ =9 ，
a b a b a b
1 2
又 4a+b=2 ，当且仅当 a= ,b= 时取 ，
3 3
1 1 9
所以 + ⩾ ，
a b 2
故选B．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题．
根据指数函数和对数函数的单调性，借助中间量1即可求出．
学科网（北京）股份有限公司【解答】
1
解：a=30.7，b=( ) −0.8=30.8 ，
3
由函数y=3x是R上的增函数，0.8>0.7>0，
则30.8>30.7>30，即b>a>1，
由函数y=log x是R上的减函数，0.8>0.7，
0.7
则log 0.8<log 0.7=1，
0.7 0.7
∴c<a<b，
故选：D．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查函数图象的识别和判断，属于基础题．
根据条件判断函数的奇偶性和对称性以及f(1)的符号，根据排除法进行判断即可．
【解答】
1
解：f(x)=(3−x−3x
)⋅ ，其定义域为R，关于原点对称，
x4+1
1 1
则f(−x)=(3x−3−x )⋅ =−(3−x−3x )⋅ =−f(x)，
x4+1 x4+1
则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，C，
f(1)<0，排除B，
故选D．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
学科网（北京）股份有限公司本题考查函数零点与方程根的关系，考查运算能力与数形结合思想，属于中档题．
1 1
方程f(x)+ x2=2根的个数⇔函数y=f(x)与函数y=− x2+2的图象交点个数可解决此
8 8
题．
【解答】
1 1
解：方程f(x)+ x2=2根的个数⇔函数y=f(x)与函数y=− x2+2的图象交点个数，图
8 8
象如下：
由图象可知两函数图象有6个交点．
故选：D．
9.【答案】ACD
【解析】
【分析】
学科网（北京）股份有限公司本题考查基本不等式的应用、不等式的基本性质的应用，属于中档题．
利用基本不等式判断A、B;利用题中条件及不等式的基本性质，即可判断C、D．
【解答】
解：由题意，根据基本不等式可知2a+b=ab⩾2√2ab，则ab⩾8，
当且仅当a=2，b=4时，等号成立，故A正确；
2 1
因为a>0，b>0，2a+b=ab变形得 + =1，
b a
2 1 2a b
所以a+b=(a+b)( + )= +2+1+ ⩾3+2√2,
b a b a
2a b
当且仅当 = ，即b=2+√2，a=√2+1时，等号成立，
b a
所以a+b⩾3+2√2，故B错误；
2 1 2 1
由 + =1，a>0，b>0，所以0< =1− <1，即b>2，故C正确；
b a b a
由2a+b=ab，可得(a−1)(b−2)=2>0，
根据前面分析得b>2，即b−2>0，所以a−1>0，即a>1，故D正确．
故选：ACD．
10.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查必要条件、充分条件的判断，一元二次不等式存在性问题，属于中档题．
根据必要条件、充分条件的定义判断ABD，根据不等式存在性问题的解法判断C即可．
【解答】
解：对于A，若m−2<x<m+2是1<x<3的必要不充分条件，
{m−2⩽1
则 且等号不同时成立，解得1⩽m⩽3，故A错误；
3⩽m+2
对于B，当a>b，c=0时，不能推得ac2>bc2，
学科网（北京）股份有限公司反之，若ac2>bc2，则c2>0，能推得a>b，
所以，“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，故B正确；
1
对于C，∃x∈[ ,3]，使不等式x2−ax+1⩾0成立，
2
1 1
即a⩽(x+ ) ，x∈[ ,3]，
x max 2
1 1
因为对勾函数f(x)=x+ 在[ ,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，
x 2
1 5 10
f( )= <f(3)= ，
2 2 3
1 10 10
所以(x+ ) = ，所以a⩽ ，故C错误；
x max 3 3
1
对于D，a>1能推得 <1，
a
1
反之， <1不能推得a>1，如a=−1，
a
1
所以“a>1”是“ <1”的充分不必要条件，故D正确．
a
故选BD．
11.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查了函数奇偶性以及对称性，周期性的判定，属于中档题．
结合奇偶性，对称性，以及周期性的特点逐项求解即可．
【解答】
学科网（北京）股份有限公司解：由题意可知，f(x)图象的对称中心为(0,0)，对称轴为x=1，
所以f(x)也关于直线x=−1对称，且f(2−x)=f(x)，故A、D正确；
因为f(x)=f(2−x)=−f(−x)，故f(x+2)=f(−x)=−f(x)，
所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，所以f(x)的周期为4，
则g(2023)=f(2024)=f(0)=0，故B正确;
但只能说4是f(x)的周期，不能确实是其最小正周期，故C错误;
故选ABD．
12.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查函数定义域、复合函数的单调性、函数的最值和函数的对称性，属于拔高题；
根据函数定义域可判断A，再根据函数最值判断B，根据函数图象的平移变换判断C，根据
函数的单调递减性判断出D即可．
【解答】
解：对于A，函数f(x)的定义域为[0,2]，0≤2x≤2，则函数f(2x)的定义域为[0,1]，故A
正确;
1 1 1
对于B，y=( ) −x2+1 ，因为−x2+1≤1，所以( ) −x2+1≥ ，所以当x=0时函数取得的最小
2 2 2
1
值为 ，故B不正确;
2
1 1
对于C，因为y=− 的对称中心(0,0)，将函数y=− 的图象向左平移2个单位，
x x
x+1 1
向上平移1个单位得到y= =1− ，对称中心为(−2,1)，故C正确；
x+2 x+2
对于D，y=x2−4x−5为开口向上的二次函数，且x2−4x−5>0时，解得x<−1或x>5，
学科网（北京）股份有限公司函数f(x)=log (x2−4x−5)的减区间是(−∞,−1)，故D错误；
2
故选AC．
13.【答案】4
【解析】
【分析】
本题考查指数幂的运算，考查对数的运算，属于基础题．
根据指数幂和对数的运算性质，即可求解．
【解答】
1
1
解：原式= lg23−1+(33)3+lg50
3
=lg2−1+3+lg50
=lg100+2=2lg10+2=4．
故答案为：4．
11
14.【答案】[− ,1]
3
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的基本性质，考查了计算能力，属于中档题．
由−1≤a+b≤1，1≤a−2b≤3，设a+3b=m(a+b)+n(a−2b)=(m+n)a+(m−2n)b，
{ m+n=1
联立 ，解得m，n即可得答案．
m−2n=3
【解答】
解：由−1≤a+b≤1，1≤a−2b≤3，
设a+3b=m(a+b)+n(a−2b)
=(m+n)a+(m−2n)b，
学科网（北京）股份有限公司5
{m=
{ m+n=1 3
∴ ，解得 ．
m−2n=3 2
n=−
3
5 5 5 2 2
∴− ≤ (a+b)≤ ，−2≤− (a−2b)≤− ，
3 3 3 3 3
11
∴− ≤a+3b≤1.
3
11
∴a+3b的取值范围是[− ,1]，
3
11
故答案为[− ,1]．
3
15.【答案】{a|a<6或a>9}
【解析】
【分析】
本题主要考查了集合的相关概念以及子集和交集的概念，属于中档题．
根据题意，若A⊆(A∩B)，则A⊆B，分情况讨论，进而求解，得出答案．
【解答】
解：已知集合A={x|2a+1⩽x⩽3a−5},B={x|x<0或x>19}．
若A⊆(A∩B)，则A⊆B，
当2a+1>3a−5，即a<6时，A=⌀满足条件；
当2a+1⩽3a−5，即a⩾6时，若A⊆B，则2a+1>19或3a−5<0，
5
得a>9或a< (舍)；
3
综上，实数a的取值范围是{a|a<6或a>9}，
故答案为：{a|a<6或a>9} ．
学科网（北京）股份有限公司1
16.【答案】
1−2π
【解析】
【分析】
本题考查了函数的零点及数形结合的思想应用，属于较综合的中档题．
1 1
作函数f(x)与y= 的图象，从而可得函数y=f(x)− 有5个零点，设5个零点分别为x ，
π π 1
x ，x ，x ，x ，从而结合图象，根据图像的对称性解得．
2 3 4 5
【解答】
2
{ −2,x∈[0,1),
x+1
解：当x≥0时，f(x)=
x−2,x∈[1,3),
4−x,x∈[3,+∞),
根据奇函数关于原点对称，作出函数f(x)在R上的图象如图所示，
1
设函数y=f(x)的图象与y= 交点的横坐标从左到右依次为x ，x ，x ，x ，x ，
π 1 2 3 4 5
由图象的对称性可知，x +x =−6，x +x =6，x +x +x +x =0，
1 2 4 5 1 2 4 5
学科网（北京）股份有限公司2x
当x∈(−1,0]时，−x∈[0,1)，则f(x)=−f(−x)=− ，
1−x
2x 1 1
令− = ，解得x = ，
1−x π 3 1−2π
1 1
所以函数F(x)=f(x)− 的所有零点之和为 ．
π 1−2π
1
故答案为： ．
1−2π
17.【答案】解：(1)由2acosA=−√3(ccosB+bcosC)及正弦定理得，
2sin AcosA=−√3(sinCcosB+sinBcosC)=−√3sin(B+C)=−√3sin A，
√3
又sinA>0， ∴cosA=− ，
2
5π
又∵0<A<π， ∴A= ．
6
√3 1 5π c
(2)∵ΔABC的面积为 = bcsin = ， ∴c=√3，
2 2 6 2
5π
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccos =b2+c2+√3bc=4+3+6=13，
6
∴a=√13．
【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和差公式、诱导公式以及三角形面积公
式，属于中档题．
(1)根据正弦定理和两角和得正弦公式和诱导公式可得结果；
(2)先由三角形的面积公式求出c，再根据余弦定理即可求出a的值．
18.【答案】解：(1)若选①，因为a b =nb −b
n n+1 n n＋1，
1
a b =b −b ,b =1,b = , a =2
当n=1时， 1 2 1 2 1 2 3 所以 1
学科网（北京）股份有限公司a +a =a −b ，所以d=3，
又因为 2 3 5 1
a =3n−1；
n
若选②:因为a b =nb −b
n n+1 n n＋1，
1
a b =b −b ,b =1,b = , a =2
当n=1时， 1 2 1 2 1 2 3 所以 1 .
∵a ⋅a =2a ，∴(a +d)(a +2d)=2(a +6d)(d>0)，∴d=3，
2 3 7 1 1 1
∴a =3n−1．
n
若选③:因为a b =nb −b
n n+1 n n＋1，
1
a b =b −b ,b =1,b = , a =2
当n=1时， 1 2 1 2 1 2 3 所以 1 .
3×2
∵S =15，∴3a + d=15，∴d=3，∴a =3n−1．
3 1 2 n
1
(2)由(1)知(3n−1)b =nb −b 3nb =nb ,b = b
n+1 n n＋1，即 n+1 n n+1 3 n，
1
{b }是首项为1，公比为 的等比数列，
所以 n 3
1
1−( ) n
3 3 1
所以S = = − ．
n 1 2 2×3n−1
1−
3
【解析】此题考查等差等比数列综合应用，考查数列的基本运算，属于中档题．
(1)根据所选方案，结合条件求得等差数列首项与公差，即可求得通项公式；
(2)由(1)得到数列{b }的递推关系，证明其为等比数列，由等比数列的求和公式即可求得
n
结果．
学科网（北京）股份有限公司19.【答案】解：(1)由条件可知DA、DC、DP两两垂直，如图，
⃗ ⃗ ⃗
以 、 、 为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系D−xyz．
DA DC DP
设DC=1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)．
⃗ ⃗ ⃗
∴PB=(1,1,−1) ，PA=(1,0,−1) ，PC=(0,1,−1) ，
⃗
设平面PAC的一个法向量为n=(x,y,z) ，
{⃗ ⃗
n·PA=0
则 ,
⃗ ⃗
n·PC=0
{x−z=0
则 ,
y−z=0
令x=1，则y=1，z=1，
⃗
∴平面PAC的一个法向量为n=(1,1,1) ，
⃗ 1 1
∴cos<P ⃗ B ，n>=
√3×√3
=
3
，
1
即所求角的正弦值为 ．
3
学科网（北京）股份有限公司⃗ ⃗
(2)由PB=(1,1,−1) ，PC=(0,1,−1) ，
⃗
设平面PBC的一个法向量为m=(x ,y ,z ) ，
1 1 1
{⃗ ⃗
m·PB=0
则 ,
⃗ ⃗
m·PC=0
{x + y −z =0
则 1 1 1 ,
y −z =0
1 1
令x =0，则y =1，z =1，
1 1 1
⃗
得平面PBC的一个法向量为m=(0,1,1) ，
⃗ 2 √6
∴cos<m ⃗ ，n>= = ，
√2×√3 3
又二面角A−PC−B的平面角为锐角，
√6
所以所求二面角的余弦值为 ．
3
【解析】本题考查利用空间向量求线面角及二面角．
⃗
(1)建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出 的坐标，平面PAC的一个法向量，代入
PB
夹角公式可求解．
(2)求出平面PBC的一个法向量，代入夹角公式可求解．
20.【答案】解：(1)设“这局比赛甲以先得11分获胜”为事件A，
“甲乙再打3个球，甲先得11分获胜”为事件B，
学科网（北京）股份有限公司“甲乙再打4个球，甲先得11分获胜”为事件C，
则事件A中包含事件B和事件C，且事件B和事件C互斥．
事件B即为甲乙再打3个球，这3个球均为甲胜，
2 8
则P(B)=C3
( )
3=
，
3 3 27
事件C即为甲乙再打4个球，则前三个球甲赢2个，最后1个球甲赢，
2 1 2 8
则P(C)=C2 ( ) 2× × = ，
3 3 3 3 27
8 8 16
所以P(A)=P(B)+P(C)= + = ．
27 27 27
(2)X的可能取值为1、2、3、4，则
3
P(X=1)= ，
4
1 3 3
P(X=2)= × = ，
4 4 16
1 1 3 3
P(X=3)= × × = ，
4 4 4 64
1 1 1 1
P(X=4)= × × = ，
4 4 4 64
所以X的分布列为：
X 1 2 3 4
3 3 3 1
P
4 16 64 64
3 3 3 1 85
故X的数学期望E(X)=1× +2× +3× +4× = ．
4 16 64 64 64
【解析】本题考查离散型随机变量的分布列和期望、互斥事件的概率加法公式，属于中档题．
(1)这局比赛甲以先得11分获胜包含两种情况：①甲乙再打3个球，甲先得11分获胜的概率；
②甲乙再打4个球，甲先得11分获胜的概率.先分别求出每种情况的概率，再利用互斥事件
学科网（北京）股份有限公司的概率加法公式求出这局比赛甲以先得11分获胜的概率；
(2)求出X的所有可能取值和对应概率，得到X的分布列，即可求出X的数学期望．
c
21.【答案】解：(1)易知a=1，由 =2 ，得c=2，∴b2=c2−a2=3.
a
设P(x ,y )，Q(x ,y )，直线l：x=my+2，
1 1 2 2
{x=my+2,
由 y2 消去x，得(3m2−1)y2+12my+9=0，
x2− =1,
3
−12m 9
则 y + y = ， y y = .
1 2 3m2−1 1 2 3m2−1
1 1 1√ (−12m) 2 4×9 3√m2+1
S = |BF|⋅|y −y |= √(y + y ) 2−4 y y = − =
△BPQ 2 1 2 2 1 2 1 2 2 (3m2−1) 2 (3m2−1) |3m2−1|
．
3√2
∵ S = ，
△BPQ 2
3√m2+1 3√2
∴ = ，
|3m2−1| 2
整理得9m4−8m2−1=0.
1
解得m2=1或 m2=− (舍去)，
9
∴直线l：x± y−2=0．
学科网（北京）股份有限公司(2)设AM，BN与y轴分别交于S，T，A(−1,0)，B(1,0).
y
设S(0,y )，∴T(0,3 y )，∴ k =k = 0= y ，k =k =−3 y ，∴k =−3k .
0 0 AM AS 1 0 BN BT 0 BN AM
y2
设M(x ,y )，x2− 3=1,
3 3 3 3
y y y2
则 k ⋅k = 3 ⋅ 3 = 3 =3 ，
MA MB x +1 x −1 x2−1
3 3 3
3
∴ k ⋅k = ⋅k =−9 .
BN BM k BN
MA
设直线MN的方程为x=my+t，N(x ,y )，
4 4
{ x=my+t,
3x2−y2=3,
3(m2y2+2mty+t2 )−y2=3，
∴(3m2−1)y2+6mty+3t2−3=0，
{ 3m2−1≠0
则 ,
Δ=36m2t2−4(3m2−1)(3t2−3)>0
6mt 3t2−3
∴ y + y =− ， y y = ，
3 4 3m2−1 3 4 3m2−1
学科网（北京）股份有限公司y y y y
∴ k ⋅k = 3 ⋅ 4 = 3 4 =−9 ，
BM BN x −1 x −1 (m y +t−1)(m y +t−1)
3 4 3 4
9[m2y y +m(t−1)(y + y )+(t−1) 2 ]+ y y =0，
3 4 3 4 3 4
∴(9m2+1)y y +9m(t−1)(y + y )+9(t−1) 2=0，
3 4 3 4
3t2−3 −6mt
∴ (9m2+1)⋅ +9m(t−1)⋅ +9(t−1) 2=0 ，
3m2−1 3m2−1
∵直线MN不过B(1,0)，∴t≠1，
∴(9m2+1)(t+1)−18m2t+3(t−1)(3m2−1)=0，
∴9m2t+9m2+t+1−18m2t+9m2t−3t−9m2+3=0，得t=2，
∴直线MN过定点(2,0)．
【解析】本题考查了双曲线的方程、直线与双曲线的位置关系、直线过定点问题，解题中需
要一定的计算能力．
(1)由已知可得a=1，由离心率得c=2，由b2=c2−a2即可求得C的方程，设直线l：
x=my+2，联立直线方程与双曲线方程由弦长公式即可求解；
(2)由题可得k =−3k 结合k ⋅k =3得k ⋅k =−9，设直线MN的方程为：
BN AM MA MB BN BM
x=my+t，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及斜率公式进行求解．
1
22.【答案】解：(1)因为f(x)= ax2−lnx定义域为(0,+∞)，
2
1 ax2−1
所以f ′(x)=ax− = ，
x x
学科网（北京）股份有限公司1 x2−1
当a=1时，f(x)= x2−lnx，f ′(x)= ，
2 x
令f ′(x)=0，得x=1，x=−1(舍去)，
当0<x<1时，f ′(x)<0，当x>1时，f ′(x)>0，
所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
1
所以f(x)的极小值为f(1)= ，无极大值．
2
1 ax2−1
(2)因为f ′(x)=ax− = ，
x x
①若a≥1，当x∈[1,2]时，f ′(x)≥0恒成立，所以f(x)在[1,2]上单调递增，
{f(1)≤1 1+ln2
要使方程f(x)=1在[1,2]上有解，则 ，解得 ≤a≤2，
f(2)≥1 2
1+ln2
因为 <1，所以1≤a≤2；
2
1
②若a≤ ，当x∈[1,2]时，f ′(x)≤0恒成立，所以f(x)在[1,2]上单调递减，此时
4
a 1
f(x)≤f(1)= ≤ ，不符合条件；
2 8
1 √1 √1
③若 <a<1，当1≤x< 时，f ′(x)<0，当 <x≤2时，f ′(x)>0，
4 a a
√1 √1
所以f(x)在[1, )上单调递减，在[ ,2]上单调递增，
a a
a 1 √1 1
此时f(1)= < ，f( )<f(1)< ，要使方程f(x)=在[1,2]上有解，
2 2 a 2
学科网（北京）股份有限公司1+ln2 1+ln2
则需f(2)=2a−ln2≥1，解得a≥ ，所以 ≤a<1，
2 2
1+ln2
综上可知，a的取值范围为[ ,2]．
2
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于较难题．
(1)求出函数的定义域与导数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
1 1
(2)对参数a分a≥1，a≤ ， <a<1三种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函
4 4
数的极值，从而得到不等式，即可求出参数的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司
