江苏省盐城市2024届高三年级下学期5月月末考前指导卷数学试卷+答案(1)_2024年6月(1)_026月合集_2024届江苏省盐城市高三年级下学期5月考前指导卷

盐城市 2024 届高三年级考前指导卷
数学试题
（总分 150分，考试时间 120分钟）
注意事项：
1．本试卷考试时间为 120分钟，试卷满分 150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．已知集合M,N，则“MIN  M ”是“MUN  N ”的______条件．（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
2．函数 ycosx与y lg x 的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．根据分类变量Ⅰ与Ⅱ的统计数据，计算得到2 2．954，则（ ）
 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828

A．变量Ⅰ与Ⅱ相关
B．变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1
C．变量Ⅰ与Ⅱ不相关
D．变量Ⅰ与Ⅱ不相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1
π π
4．△ABC 中，若AB6,BAC  ,ACB ，则BABCCACB （ ）
3 4
A．54 B．27 C．9 D．3 6
5．sinx 12cos2x的最小值为（ ）
1 2 3 2 3
A． B． C． D．
2 2 4 4
6．若数列 a 满足2na 2n1a L2a 4n， a 的前n项和为S ，则（ ）
n 1 2 n n n
2， n1，
 4n15
A．S 4n 4 B．S 
n

， n2． n 3
 3
学科网（北京）股份有限公司2n 4 4n 2
C．S  D．S 
n 3 n 3
7．棱长为2的正方体ABCDABC D 中，设点P为底面ABC D 内（含边界）的动点，则点A,C 到
1 1 1 1 1 1 1 1 1
平面PBD距离之和的最小值为（ ）
3 2 3 2 2
A． B． C． D．
3 3 2 3
ex ex
 1，x0
8．已知函数 f  x  2 ，若 f  x  f  x 0，则x x 的取值( )
1 2 1 2
 ex ex，x0
A．一定为正 B．一定为负 C．一定为零 D．正、负、零都可能
二、多项选择题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9．已知z ,z 为方程x2 2x30的两根，则（ ）
1 2
1 1 2
A． z z 2 2 B．  
1 2 z z 3
1 2
C． z  z  2 3 D．z z  z z
1 2 1 2 1 2
10．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的
面上的数字X ，得到样本空间 1，2，3，4，5，6，7，8 ，设事件A{X 为奇数}，事件B{X 5}，事件
C  3，4，6，8 ，则（ ）
A．P  ABC P  A  P  B  P  C  B．P  B∣C  P  B∣C 
1
C．P  A∣B  D．P  BC 1
2
11．如图1，在△ABC中，ACB 90,AC 2 3,CB 2,DE 是△ABC 的中位线，沿DE将△ADE
进行翻折，连接AB,AC得到四棱锥ABCED（如图2），点F 为AB的中点，在翻折过程中，下列结论
正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司（图1） （图2）
A．直线DF与平面ACE所成角为定值
B．直线DF与平面ABC所成角为定值
C．平面ADE与平面ABC所成角可能为90
D．平面ABD与平面ACE所成角可能为60
第Ⅱ卷（非选择题 共 92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题 5分，共 15分）
12．甲、乙、丙、丁四位同学坐在一排5个座位上，由于某种原因，甲旁边要留一个空座位，则共有______
种坐法．
13．已知A,B,C 是球O上的三个动点，若三棱锥OABC体积的最大值为1，则球O的体积为______．
x2 y2
14．已知双曲线C:  1  a 0,b 0 的左顶点是A，右焦点是F ，点P是双曲线C右支上异于顶
a2 b2
 3
点的动点，AFP的平分线与直线AP交于点N ，过N 作NM  x轴，垂足是M ，若AM  MF 恒
4
成立，则双曲线C的离心率为______．
四、解答题（本大题共5小题，共 77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
B A 3ab
在△ABC 中，已知角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,asin2 bsin2  ．
2 2 2  abc 
（1）求角C的大小；
ab
（2）若△ABC 为锐角三角形，求 的取值范围．
c
16．（本小题满分15分）
某学校有A,B两个餐厅，经统计发现，学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐．此后，如果某同
学某天去A餐厅，那么该同学下一天还去A餐厅的概率为0.4；如果某同学某天去B餐厅，那么该同学下
一天去A餐厅的概率为0.8．
（1）记甲、乙、丙3位同学中第2天选择A餐厅的人数为X ，求随机变量X 的分布列和期望；
（2）甲同学第几天去A餐厅就餐的可能性最大？并说明理由．
17．（本小题满分15分）
学科网（北京）股份有限公司x2
已知函数 f  x  ，其中a 0．
eax
（1）若 f  x 在 0，2 上单调递增，求a的取值范围；
（2）当a 1时，若x x  4且0 x 2，比较 f  x 与 f  x 的大小，并说明理由
1 2 1 1 2
18．（本小题满分17分）
已知抛物线C: x2 2py  p 0 ，动直线l与抛物线C交于A,B两点，分别过点A、点B作抛物线C的
 7
切线l 和l ，直线l 与x轴交于点M ，直线l 与x轴交于点N，l 和l 相交于点Q．当点Q为0， 时，
1 2 1 2 1 2  2
△MNQ的外接圆的面积是4π．
（1）求抛物线C的方程；
3  
（2）若直线l的方程是 y x ，点P是抛物线C上在A,B两点之间的动点（异于点A，B），求PAPB
2
的取值范围；
（3）设F 为抛物线C的焦点，证明：若 FQ  MN 恒成立，则直线l过定点
19．（本小题满分17分）
在数列 a 的第k 项与第k 1项之间插入k 个1，称为变换．数列 a 通过变换所得数列记为  a ，
n n 1 n
数列  a 通过变换所得数列记为  a ，，以此类推，数列  a 通过变换所得数列记为
1 n 2 n n1 n
  a （其中n2）．
n n
（1）已知等比数列 a 的首项为1，项数为m，其前m项和为S ，若S 2a 1255，求数列  a 
n m m m 1 n
的项数；
（2）若数列 a 的项数为3，  a 的项数记为b ．
n n n n
当n2时，试用b 表示b ；
n1 n
①
求证：232n1
b
62n1．
n
②
盐城市 2024 届高三年级考前指导
数学学科参考答案
1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．D 7．B 8．D
7
9．BC 10．ABC 11．ABD 12．48 13．8π 14．
3
学科网（北京）股份有限公司B A a  1cosB  b  1cosA  a b acosB bcosA
15．解：（1）在△ABC 中，asin2 bsin2    
2 2 2 2 2 2
ab 1 ab 1  a2c2b2 b2c2a2  abc
   acosBbcosA   a b 
2 2 2 2  2ac 2bc  2
B A 3ab a b c 3ab
asin2 bsin2  ，  ，
2 2 2  abc  2 2  abc 
a2 b2 c2 1
化简得a2 b2 c2 ab，由余弦定理得cosC   ，
2ab 2
π
又C 0,π ，C  ．
3
2π 
sinAsin A
ab sinAsinB  3 
（2）由正弦定理知  
c sinC π
sin
3
2  3 1  2 3 3   3 1   π
   sinA cosA sinA     sinA cosA  2  sinA cosA  2sinA 
3 2 2  3 2 2   2 2   6
 π  π
0 A 0 A
 
 2 π  2 π π
由△ABC 为锐角三角形可知 ，而C  ， ，得  A ，
π 3 2π π 6 2
 
0 B 0  A
 2  3 2
π π 2π  π  3 
  A  ，sinA 的取值范围为

，1，
3 6 3  6  2 
ab 
则 的取值范围为 3，2．

c
1 2 1 4 3
16．解：（1）设一位同学第2天选择去A餐厅就餐的概率为 p，则 p     ．
2 5 2 5 5
 3
则X∽B3， ，
 5
0 3 1 2
3  3 8 3  3 36
P  X 0 C0   1   ，P  X 1 C1   1   ，
3 5  5 125 3 5  5 125
2 1 3 0
3  3 54 3  3 27
P  X 2 C2   1   ，P  X 3 C3   1   ，
3 5  5 125 3 5  5 125
故X 的分布列如下表所示．
X 0 1 2 3
学科网（北京）股份有限公司X 0 1 2 3
8 36 54 27
P
125 125 125 125
3 9
X 的期望为E  X 3 
5 5
1
（2）设甲同学第n天去A餐厅的概率为P ，则P  ，
n 1 2
2 4 2 4
当n2时，P  P   1P  P  ，
n 5 n1 5 n1 5 n1 5
4 2 4 4 1
P   P   ，又P   ，
n 7 5 n1 7 1 7 14
 4 1 2
P  是以 为首项， 为公比的等比数列，
 n 7 14 5
n1 n1
4 1  2 4 1  2
P   



,P  



n 7 14  5 n 7 14 5
n1
4 1 2 4
当n是奇数时，P      ；
n 7 145 7
n1
4 1 2 4 4
当n是偶数时，P      ，则P  P  P  P  ，kN*．
n 7 145 7 2 4 6 2k 7
所以甲同学第2天去A餐厅就餐的可能性最大．
x2 2xax2
17．解：（1） f  x  ， f  x  ，
eax eax
 f  x 在 0，2 上单调递增， f x 0在 0，2 上恒成立且满足 f x 0的点不连续．
2 2 2
当x 0，2 时，a ．由 y  在 0，2 上单调递减可知，当x 2时，   1，
x x  x
min
a1，
综上，a的取值范围为 0，1 
x2
（2）法一：当a 1时， f  x  ，下面证明 f  x  f  x ．
ex 1 2
2
x2 x2  x 
即证明 1  2 ，等价于证明：ex 2 x 1  2  ，
ex 1 ex 2  x 
1
2t 2
设x 2t,x 2t，0t 2，所证即为：e2t    ，
1 2 2t
学科网（北京）股份有限公司2t
等价于证明：t ln ，0t 2，
2t
2t
设函数h  t ln t，0t 2．
2t
t2
h t  0，h  t 在 0，2 上单调递增，而h  0 0，h  t 0，
4t2
2t
ln t，0t 2，所证不等式成立．
2t
x2
法二：当a 1时， f  x  ，下面证明 f  x  f  x ，
ex 1 2
2
x2 x2  x 
即证明 1  2 ，等价于证明：ex 2 x 1  2  ，
ex 1 ex 2  x 
1
4  x x 
等价于证明x x  2lnx 2lnx ，等价于证明 2 1 2lnx 2lnx ，以下用比值换元，略．
2 1 2 1 x x 2 1
2 1
 7
18．解：（1）当点Q为0， 时，设△MNQ外接圆的半径为R,NMQ，
 2
7 NQ
则πR2 4,R 2，在△MNQ中有MQ ， 2R4,MQ NQ，
2sin sin
7 7
则 4,sin2 ，即tan27,k  7 ，
2sin2 8 QM
7
设直线l : y  7x ，与x2 2py 联立得x2 2 7px7p0，
1 2
令28p228p0 ，又 p0，得 p1，
所以抛物线方程为x2 2y．
 3
y  x ，x22x3 0  1  9
（2）联立 2 ，解得x3，1，不妨设A 1，  ,B3， 
 x2 2y  2  2
  1    9 
设P  x,y ，1x 3，则PA  1x，  y ，PB 3x，  y，
 2   2 
   1 9
PAPB x1  x3  y y ，
 2 2
  x4 3 3
又x2 2y，PAPB   x2 2x ，1 x3 ，
4 2 4
学科网（北京）股份有限公司x4 3 3
设 x   x22x ，1 x3 ，
4 2 4
则 x  x33x2 x1 2 x2 1 x3 ，故 x 在1，2 上单调递减，在 2，3 上单调递增
27    27 
故 x   2  ，而1  3 0，故PAPB的取值范围是

 ，0
min 4  4 
注：这一小问也可以用积化恒等式转化为点与点的距离来建立目标函数．
1 x2 x2
（3） y  x2,yx ，设A  x ,y ,B  x ,y ，直线l : yy  x  xx ,y  1 ，即 y  x x 1 ．
2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2
x x x x
令y 0，得x  1 ，同理，x  2 ，所以MN  2 1 ，
M 2 N 2 2
 x x
x  1 2
x2 x2   2
直线l : y  x x 1 与直线l : y  x x 2 两方程联立解得 ，
1 1 2 2 2 2 x x

y  1 2
 2
 x x x x 
得Q 1 2，1 2 
 2 2 
 1  x x  2  x x 1 2  x x  2
又F0，  ，由 QF  MN 得  1 2    1 2    1 2  ，得x x 1，
 2  2   2   2  1 2
设直线l的方程为 ykxb，与x2 2y联立得x2 2kx2b0，则x x 2b．
1 2
1  1
所以b ，则直线l过定点0， ．
2  2
19．解：（1）设等比数列
a
的公比为q，显然q1，
n
1qm
因a 1，S 2a 1255，所以 255，qm1 128，
1 m m 1q
解得q2,m8
故数列 a 有8项，经过1次变换后的项数为812L736 ，即  a 的项数为36
n 1 n
（2） 由 n  a n 的项数为b n ，则当n2时，b n b n1   12L b n1 1  
① b 1 1
所以b b  n1 b 1  b2  b
n n1 2 n1 2 n1 2 n1
因数列 a 是一个3项的数列，所以b 6，
n 1
②
学科网（北京）股份有限公司1 1 1
由b  b2  b  b2  n2 ，所以lgb 2lgb lg2，
n 2 n1 2 n1 2 n1 n n1
于是lgb lg22  lgb lg2 ,lgb lg22n1 lgb lg2 ，
n n1 n 1
b
所以lgb lg22n1lg3,lg n lg32n1，即b 232n1 n2 ，
n 2 n
所以b
232n1
n
1 1
b 232n1 1，b b2  n2 ，于是b  b2  b b2  n2 ，
n n1 n1 n 2 n1 2 n1 n1
所以lgb 2lgb ，
n n1
所以lgb 2n1lgb ,lgb lg62n1，即b 62n1 n2 ，
n 1 n n
所以b
62n1，
n
综上所述，23n1 b 62n1．
n
学科网（北京）股份有限公司