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2022年8月浙江省山水联盟高三返校联考数学试题
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是
符合题目要求的.
{ x−6 }
1. 若集合A= x∣ ≤0 ,B={x∣y=ln(2x−5)}, 则A∩B=( )
x+1
(5 ] [5 ]
A. (−1,6] B. [−1,6] C. ,6 D. ,6
2 2
1+i
2. 已知复数z= , 则复数z的共轭复数´z的虚部是( )
1−i
A. 1 B. −1 C. i D. −i
3.已知a,b∈R, 则“ lna>lnb"是“ a2>b2 ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
4.已知向量⃗a=(−2,λ),⃗b−⃗a=(4,0),⃗a⊥⃗b, 则⃗b−⃗a在⃗a方向上的投影向量为( )
A. ⃗a B. −⃗a C. 2⃗a D. −2⃗a
5. 四棱锥P−ABCD的外接球O的半径为2,PA⊥ 平面ABCD, 底面ABCD为矩形,
PA=AB=2, 则平面PAD截球O所得的截面面积为( )
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
6.在平行四边形ABCD中, 对角线AC与BD交于点O, 且∠BOC=60∘,BC=1, 则 AB的取值范
围是( )
A. (0,❑√2] B. (1,❑√2] C. (0,❑√3] D. (1,❑√3]
1
7.已知a=0.1e−0.1,b= ,c=ln1.1, 则( )
11
A. a0)上的动点A到B(2,0)的距离最小值记为M(p), 则满足
2
M(p)=1的所有实数P的和为__________.
16. 如图, 在直三棱柱ABC−A B C 中, AB⊥BC,AB=BC=CC =2, 点P
1 1 1 1
在棱BC上运动, 则过点P且与A C垂直的平面α截该三棱柱所得的截面面积的最大值为
1
__________.
四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)
( ( π) )
已知f(x)=sinx,g(x)=2f(ωx) ❑√3f ωx+ −f(ωx) +1(ω>0).
2
(1) 若函数 g(x) 的最小正周期为π, 求 ω 的值及 g(x) 的单调递减区间;
学科网（北京）股份有限公司( π]
(2) 若x∈ 0, 时, 方程 g(x)=❑√3 恰好有三个解, 求实数 ω 的取值范围
3
18.(本小题满分 12 分)
2022 年 8 月 28 日 “山水联盟” 高三开学考试, 据统计共有6000名学生参加了联考, 其中男生共
有3200名, 女生共有2800名。为了解考试情况,
学科网（北京）股份有限公司对6000名学生采取分层抽样的方式抽取60名学生调查数学成绩, 其中有29名男生数学成绩优
秀, 有21名女生数学成绩优秀。
(1) 是否有95%的把握认为 “数学成绩是否优秀与性别有关”?
(2) 在本次考试抽样调查中从数学成绩没有达到优秀的10人中随机抽取两人做进一步追踪调查,
设抽到的女生人数为X, 求X的概率分布列.
n(ad−bc) 2
参考公式: 独立性检验统计量 χ2= , 其中 n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
临界值表:
P(χ2≥x ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0
x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0
19. (本小题满分 12 分)
如图, 四棱锥P−ABCD中, ABCD为正方形, △PAB为等腰直角三角形, 且 ∠APB=90∘, 平面
PAB⊥ 平面ABCD,E、F分别为AC、BP中点.
(1) 证明: EF// 平面PCD;
(2) 求直线EF与平面PAC所成角的正弦值.
20. (本小题满分 12 分)
已知数列{a }的前n项和为S ,a =1,(n+3)S =nS (n∈N∗).
n n 1 n n+1
(1) 求数列{a }的通项公式:
n
1
(2) 设b = ,T 为数列{b }的前n项和, 如果对于任意的n∈N∗ 恒有T b>0) 的离心率为 , 以该椭圆上的点和左、右焦点 F ,F 为
a2 b2 2 1 2
顶点的三角形的周长为4(❑√2+1). 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点, 设 P为该双曲线上异
于顶点的任一点, 直线PF 和PF 与椭圆的交点分别为A、B和 C、D.
1 2
(1) 求粗圆和双曲线的标准方程;
(2) 设直线PF 、PF 的斜率分别为k 、k , 证明k ⋅k =1;
1 2 1 2 1 2
(3) 是否存在常数λ, 使得|AB|+|CD|=λ|AB|⋅|CD| 恒成立? 若存在, 求λ的值; 若不存
在, 请说明理由.
学科网（北京）股份有限公司22.(本小题满分 12 分)
已知函数f(x)=ax2−x−lnx(a∈R).
(1) 当a=2 时, 求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2) 当x∈[1,2], 求函数f(x)的最大值;
(3) 若函数f(x)在定义域内有两个不相等的零点x ,x , 证明: f (x +x )>2−ln(x +x ).
1 2 1 2 1 2
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