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高三数学试题
考试范围：第一章——第四章；考试时间：120分钟．
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．
2．请将答案正确填写在答题卡上．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每题5分，共40分）
的
1. 下列命题中为真命题 是（ ）
A. 所有的矩形都是正方形
B. 集合 与集合 表示同一集合
C. 是 的必要不充分条件
D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由正方形与矩形的概念可判定A项，由描述法的概念可判定B项，由平方的性质结合充分必要条
件的定义可判定C项，由配方法可判定D项.
【详解】对于A项，所有长宽不等的矩形都不是正方形，故A错误；
对于B项，由描述法的概念可知集合 与集合 分别表示点的集合与数的集合，
显然不表示同一集合，故B错误；
对于C项，由 ，不满足充分性，若 则 ，满足必要性，故C正确；
对于D项， ，故D错误.
故选：C
的
2. 设 ，则“ ”是“ ”成立 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据对数函数的单调性，解出不等式 ，即可得到结果.
【详解】由 可得， ，即 ，
又 在 上单调递增，所以有 .
又若 ，则 是真命题；若 ，则 是假命题.
所以，“ ”是“ ” 的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知 是奇函数，则 （ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数 求参数值，注意验证所得参数值是否满足函数为奇函数即可.
【详解】由题设 ，则 ，
而 满足题设.
所以 .
故选：C
4. 已知函数 的最小正周期是 ，当 时，函数 取得最小值，则
（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】由函数 的最小正周期可求得 的值，由当 时，函数 取得最小值，可求出 的
值，可得出函数 的解析式，然后代值计算可得 的值.
【详解】因为函数 的最小正周期是 ，则 ，则
，
当 时，函数 取得最小值，则 ，
所以， ，所以， ，其中 ，
因此， .
故选：B.
5. 在平面直角坐标系 中，锐角 的大小如图所示，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得 ，从而得到 ，然后将原式化简，代入计算，即可得
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学科网（北京）股份有限公司到结果.
【详解】因为点 是角 终边的一点，所以 ，
所以 ，
由 可知， ，所以
.
故选：B
6. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，若函数 在
上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数平移变换原则可得 ，采用整体代换的方式，结合正弦函数单调性可构造不等
式组求得 的范围，结合 和 进行讨论即可求得结果.
【详解】由题意知： ，
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司在 上单调递增， ， ；
若 ，则 ， ，此时 ，
又 ， ， ；
若 ，则 ， ，此时 ，
与 矛盾，不合题意；
综上所述：实数 的取值范围为 .
故选：B.
7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1
描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象
为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动
2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即 时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从 运动到
点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标
原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系 （如图2），则h与t的函数关系式为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】
首先先求以 为终边的角为 ，再根据三角函数的定义求点 的纵坐标，以及根据图形表示 .
【详解】 ，所以 对应的角是 ，
由 在 内转过的角为 ，
可知以 为始边，以 为终边的角为 ，
则点 的纵坐标为 ，
所以点 距水面的高度 表示为 的函数是 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以 在 内转过的角为
，再求以 为终边的角为 .
8. 已知 ， ， ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造 ，研究单调性与最值得到 （当且仅当
时取等号），进而得到 ；
通过 得到 进而得到 .
【详解】设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 （当且仅当 时取等号），
令 ，则 ，所以 ；
设 ，则 ，
所以 在 单调递增，所以 ，即 ，
令 ，则 ，即 .
所以 .
故选：C
【点睛】方法点睛：本题考查构造函数比较大小问题.比较大小的常见方法有：
（1）利用作差法或者作商法与特殊值比较；
（2）构造相关函数，利用导数研究其单调性进而比较函数值；
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学科网（北京）股份有限公司（3）利用中间量进行放缩比较.
二、多选题（每题5分，共20分，每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2
分，有错选的得0分．）
9. 已知函数 （ 且 ）的图象过定点 ，且角 的终边经过 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】先根据对数函数的性质求出定点 ，再根据三角函数的定义、倍角正弦公式及两角和的正切公式
计算即可得解.
【详解】因为 ，
令 ，得 ，进而 ，则 ，故A错误；
因为 ，
所以 ， ， ，
则 ，
，故BCD正确.
故选：BCD.
10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
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学科网（北京）股份有限公司B.
C. 是 图象的一条对称轴
D. 将 的图象向左平移 个单位后，得到的图象关于原点对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用三角恒等变换得 ，然后根据三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】由 ，故B正确；
，故A错误；
又 ，由正弦函数的性质可知， 是 图像的一条对称轴，
故C正确；
将 的图像向左平移 个单位，得 ，
是奇函数图像关于原点对称，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知a，b，c分别是 三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若 ，则 或
B. 若 ，则 为锐角三角形
C. 若 ，则 是等腰三角形
D. 若 ， ， 分别表示 ， 的面积，则
【答案】AD
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】A选项，由正弦定理结合大边对大角可判断选项；B选项，由 ，结合正余弦
定理可判断选项正误；C 选项，由题可得 ，即可判断选项正误；D 选项，由题可得
，令 ，结合题意，可得O为 中点， ，即可判断
选项正误.
【详解】A选项，由正弦定理， ，
又 ，则 ，则 或 ，
且注意两种情况均可满足三角形内角和为 ，故A正确；
B选项，由 ，结合 ，
可得 ，
即 ，即只能得到C为锐角，不能得到 为锐角三角形，故B错误；
C选项，由正弦定理， .
易得 或 ，即 是等腰三角形或直角三角形.故C错误；
D选项，由 ，可得 .
设 ，则 共线，O为 中点.
又 .则 三点共线.
则 ，故D正确.
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学科网（北京）股份有限公司故选：AD.
12. 已知定义在 上的函数 ，其导函数 的定义域也为 .若 ，且 为奇
函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意可以推出 的周期以及对称中心，根据 ，可
得 的周期是4，又 是由 向左平移1个单位得到的，且注意到 为奇函数，因此
的对称中心为 ；然后对每一选项逐一验证判断即可.
【详解】对于A选项：注意到 ，又 是由 向左平移1个单位得到的，
且注意到 为奇函数，因此 的对称中心为 即 ，因此 ；故
A选项符合题意.
对于B选项：令 ，此时 满足题意，但 ，故B选项不符
题意.
对于C选项：因为 的对称中心为 ，所以 ，又已知 ，
所以 ，这表明了 关于直线 对称，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司由复合函数求导法则且同时两边对 求导得 ；故C选项符合题意.
对于D选项：由 的对称中心为 ，即 ，两边对 求导得
，
结合C选项分析结论 ，可知 ，
所以 这表明了 的周期为4，
因此 ，注意到 ，
所以 ；故D选项符合题意.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：解决本题有两个关键之处，一方面： 的周期以及对称中心并举反例排除B选项；
另一方面：得出 的对称轴，进而求出 的奇偶性、周期性.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式和二倍角公式把 用 来表示即可求解.
【详解】 ．
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司14. 已知幂函数 在 单调递减，则实数 _________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义与性质列式求解即可.
【详解】由题意可得： ，解得 .
故答案为： .
15. 已知锐角 ，角 所对的边分别为 ，若 ， ，则a
的取范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理得到 ，再由余弦定理求得 ，根据题意得到
，求得 ，又由 ，结合 ，得出不等式 ，
求得 ，即可求解.
【详解】因为 ，由正弦定理可得 ，
又由余弦定理得 ，可得 ，
因为 ，可得 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，可得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，可得 ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
16. 已知函数 ， ， ，在 内恰有两个极值点，且
，则 的所有可能取值构成的集合是__________．
【答案】
【解析】
【详解】 在 内恰有两个极值点，若 最小正周期为 ，又 ，
则 ，即 ， ，解得： ，
又 ， 或 ；
， ， 关于 中心对称，
，解得： ；
当 时， ，又 ， ；
当 时， ，又 ， 或 ；
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学科网（北京）股份有限公司综上所述： 的所有可能取值构成的集合为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角函数性质求解参数值的问题，解题关键是能够根据函数极值点的
个数和对称性确定函数的最小正周期与区间长度之间的关系，由此可构造不等式求得 的值.
四、解答题（共70分）
17. 命题p：“ ， ”，命题q：“ ， ”.
（1）当p为假命题时，求实数a的取值范围；
（2）若p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，可得答案；
（2）利用分类讨论的解题思想，可得答案.
【小问1详解】
由p为假命题，则 为真命题，即 ， ，
令 ，开口向上，则
所以 .
【小问2详解】
由（1）可知，当p为真命题时， ；当p为假命题时， .
当q 为真命题时， ，解得 ；当q为假命题时， .
当p为真命题，q为假命题时， ；当p为假命题，q为真命题时， ；
则p和q中有且只有一个是真命题时， 或 .
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知函数 的部分图象如图所示，且图中的 .
（1）求 的解析式；
（2）判断函数 在 上的零点个数，并说明理由.
【答案】（1）
（2） 在 上有 个零点，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数图象得到 ，再求出函数的一条对称轴，即可求出函数的周期，从而求出 ，最
后根据函数的最大值求出 ，即可求出函数解析式.
（2）问题等价于 的图象与直线 在 上的交点个数，分析函数的取值及画出函数图
象，数形结合即可判断.
【小问1详解】
由图可知 ，又 图象的一条对称轴为直线 ，
由 ，得 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
得 ，
又 ，所以 ，
故 .
【小问2详解】
在 上有 个零点.
理由如下： 在 上的零点个数等于 的图象与直线 在 上的交点个数，
令 ，得 ，当 时， ，当 时， ，
， 与 ， 的函数图象如下所示：
由图可知两函数有且只有 个交点，故 在 上有 个零点.
19. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
（1）求角A的大小；
（2）求 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求得 ，再由 ,即可求得；
（2）由三角形内角和定理得到 及 .把 转化为
，利用三角函数求范围即可.
【详解】（1）在 中，因为 ，由余弦定理得：
.
因为 ,所以 .
（2）由三角形内角和定理及 可得： ,所以 且 .
因为 ，所以 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 的取值范围为 .
20. 已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度后，再将得到的图象上所有点的纵坐标变为原来的 倍，
横坐标不变，再将得到的图象向下平移 个单位长度得到函数 的图象．若函数 在
上的零点个数为 ，求 的取值范围．
【答案】（1）函数 的最小正周期为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数 的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得函数
的最小正周期；
（2）利用三角函数图象变换可求得函数 的解析式，由 可得 ，分析
可知直线 与函数 在 上的图象有两个公共点，数形结合可
得出实数 的取值范围.
【小问1详解】
解：因为
，
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学科网（北京）股份有限公司所以，函数 的最小正周期为 .
【小问2详解】
解：将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得到函数
的图象，
再将得到的图象上所有点的纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变，再将得到的图象向下平移 个单位长度
得到函数 的图象，
则 ，其中 ，
由 可得 ，则直线 与函数 在
上的图象有两个公共点，
因为 ，则 ，如下图所示：
因为 ，由图可知，当 时，
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学科网（北京）股份有限公司直线 与函数 在 上的图象有两个公共点，
因此，实数 的取值范围是 .
21. 如图，已知平面四边形 存在外接圆，且 ， ， ．
（1）求 的面积；
（2）求 的周长的最大值．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）根据四边形 存在外接圆的几何性质可得 ，利用平方关系可得 ，
再根据面积公式可得 的面积；
（2）根据余弦定理求解 的长，再由余弦定理与基本不等式可得 的最值，从而得 的
周长的最大值．
【小问1详解】
因为平面四边形 存在外接圆，
所以 ， ，
又 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的面积 ．
【小问2详解】
在 中，由余弦定理得
，
解得 ．
在 中，由余弦定理得 ，
即
．
由此得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，故 的周长 ．
22. 已知函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）讨论 的零点情况．
【答案】（1）递增区间为 ，递减区间为
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求得 ，结合导数的符号，即可求解函数的单调区间；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据题意转化为 ，令 ，利用导数求得函数 的单
调性和极值，结合图象，即可求解.
【
小问1详解】
解：当 时，则 ，可得 ，
令 ，解得 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 在 单调递增， 在 单调递减．
【小问2详解】
解：当 时， ；
当 时， 等价于 ，
令 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ；
所以 在 单调递增；在 单调递减，
且当 时， ，当 时， ；当 时， ，
如图所示，可得 为 的极大值，
当 ，即 时， 与 只有1个交点，即 只有1个零点；
当 时， 与 有2个交点，即 有2个零点；
当 时， 与 有3个交点，即 有3个零点．
综上， 时， 只有1个零点；当 时， 有2个零点；
当 时， 有3个零点．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化函数的零点个数为方程的根的根数，进而利用分离参数法，
转化为函数的交点个数.
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学科网（北京）股份有限公司
