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哈师大附中 2021 级高三第二次调研考试
数学试题
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（前8个小题为单选题，每题只有一个选项，每题5分，满分40分；后4小题为
多选题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的值域与对数不等式的运算求解即可.
【详解】 ， .
故 .
故选：D
2. 已知 ，那么 的一个充分不必要条件是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分不必要条件定义，结合推出关系依次判断各个选项即可.
【详解】对于A， ， ，
是 的一个充分不必要条件，A正确；
对于B， ， ，
是 的一个既不充分也不必要条件，B错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于C， ， ，
是 的一个必要不充分条件，C错误；
对于D， ， ，
是 的一个必要不充分条件，D错误.
故选：A.
3. （ ）．
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】
．
故选：B
4. 已知 ， ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由幂函数、指数函数的单调性即可比较大小.
【详解】一方面因为幂函数 在 上单调递增，所以 ，
另一方面因为对数函数 在 上单调递减，所以 ，
结合以上两方面有： .
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学科网（北京）股份有限公司故选：D.
5. 若正数 满足 ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知等式可得 ，利用基本不等式可求得结果.
【详解】 为正数， ，
（当且仅当 ，即 ， 时取
等号），
即 的最小值为 .
故选：A.
6. 已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，且 ，则下列关系一定正确的是（
）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 可确定 单调性，并得到 ；由反例可说明ACD错误；
根据单调性可说明B正确.
【详解】 ， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减；
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学科网（北京）股份有限公司又 在 上可导， 连续， ；
对于A，若 ，满足 在 上单调递增，在 上单调递减，
， ， ，
，A错误；
对于B， ， ， ，B正确；
对于C，若 ，满足 在 上单调递增，在 上单调递减，
， ， ，C错误；
对于D，若 ，满足 在 上单调递增，在 上单调递减，
， ， ，
， ，又 ，
，D错误.
故选：B.
7. 将函数 图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数
，函数 在区间 上有且只有两个零点，则 的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的伸缩变换及三角函数的性质即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可知， ，
因为 ，所以 ，
又因为函数 在区间 上有且只有两个零点，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故选：C.
8. 我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中利用“赵爽弦图”巧妙的证明了勾股定理，该图形是以弦为
边长得到的正方形由 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成．类比“赵爽弦图”，可构造
如图所示的图形，它是由 个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若
， ，则 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的数乘、加减法运算可整理得到 ，化简整理可得 的值，
从而求得结果.
【详解】由 知： ， ；
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学科网（北京）股份有限公司，
， ，则 ， ，
.
故选：A.
【点睛】思路点睛；本题考查平面向量基本定理的应用，解题的基本思路是能够利用向量的加减法和数乘
运算，利用基底表示出所求向量或构造出关于所求向量的方程，从而求得参数的值.
多选题（共4个小题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）
9. 如图所示是 的导数 的图象，下列结论中正确的有（ ）．
A. 的单调递增区间是
B. 是 的极小值点
C. 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增
D. 是 的极小值点
【答案】BC
【解析】
【分析】利用导数 的正负与函数的单调性的关系，结合函数的极值与极值点的定义即可求解.
【详解】由导函数的图象可知，当 或 时， ；当 或 时， ；
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学科网（北京）股份有限公司所以 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 和 .故A错误，C正确；
所以 或 是 取得极小值点；故B正确；
所以 是 取得极大值点；故D错误.
故选：BC.
10. 若 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】通过反例可说明A错误；由基本不等式可得B正确；将 代入CD选项中，将不等式左侧
化为关于 的二次函数，结合 的范围和二次函数单调性可求得CD正误.
【详解】对于A，若 ，则 ，A错误；
对于B， （当且仅当 时取等号），B正确；
对于C， ， ， ，
，
在 上单调递减，在 上单调递增，
（当且仅当 时取等号），C错误；
对于D，由C知： ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司，即 ，D正确.
故选：BD.
11. 函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）．
A. 函数 的周期是
B. 点 是函数 的图象的对称中心
C. 函数 在 上单调递减
D. 对于 恒成立
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据图象可确定 最小正周期和最小值，由此可得 ，利用 可求得 ，由此
可得 ；验证 可知A错误；利用代入检验法可知BC正确；根据正弦型函数值域求
法可知D正确.
【详解】由图象可知：若 的最小正周期为 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ；
又 ， ， ，
， ，解得： ，
， ， ；
对于A，设 ，
则 ，
， 不是 的周期，A错误；
对于B，当 时， ，此时 ，
是 图象 对的称中心，B正确；
对于C，当 时， ，
在 上单调递减， 在 上单调递减，C正确；
对于D，当 时， ，
，D正确.
故选：BCD.
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，定义符号函数
，则下列结论正确的是（ ）．
A. 是奇函数 B.
C. D. 关于直线 对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用奇偶性和对称性可推导得到 是以 为周期的周期函数，并确定 的图象，结合图
象可确定 位于不同范围时， 的正负；由奇偶性定义依次验证 与 的关系即
可得到 A 正确；由周期性和符号函数的定义可求得 B 正确；通过反例可说明 C 错误；推导可得
，由此可知D正确.
【详解】 为奇函数， ，图象关于原点对称；
， 关于 对称；
， ，
是以 为周期的周期函数，
结合当 时， 可得 图象如下图所示，
当 时， ；当 时， ；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ；
对于A，若 ， ， ；
， ， ，则 ；
若 ， ， ；
， ， ，则 ；
当 时， ， ；
综上所述： 为定义在 上 的奇函数，A正确；
对于B， ， ，
，B正确；
对于C，当 时， ，
此时 ，C错误；
对于D， 的周期为 ， ， ，
又 为奇函数， ， ，
关于 对称， ， ，
即 ， ，
关于直线 对称，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题的求解，解题关键是能够利用抽象函数关系式，确定
的对称性和周期性，从而结合函数图象来分析新定义函数的相关性质.
二、填空题（共4个小题，每题5分，满分20分）
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学科网（北京）股份有限公司13. 已知幂函数 为非奇非偶函数，则实数 __________．
【答案】
【解析】
【分析】先由函数是幂函数求出 的值，再对 进行讨论即可.
【详解】由题意函数 是幂函数，所以 ，
即 ，解得 或 ，
当 时， 是偶函数，不满足题意，
当 时， ，其定义域为 ，不关于原点对称，
即 是非奇非偶函数，满足题意.
故答案为： .
14. 函数 在区间 上是单调递增，则实数 的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】结合复合函数单调性的判断方法和对数真数大于零可构造不等式组求得结果.
【详解】 在 上单调递减，
若 在 上单调递增，
则 在 上单调递减且 在 上恒成立，
，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
15. 已知向量 ， ， ， ， 与 的夹角为 ，则 的值最小时，实数x的值为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的数量积的定义及向量的模公式，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】因为 ， ， 与 的夹角为 ，
所以 .
所以 ,
当 时， 的值最小.
故答案为： .
16. 在 中， ， ，当 取最大值时， __________．
【答案】
【解析】
【分析】用正弦定理将 转化求得最大值，根据 用余弦定理联立方程组即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】设 ， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，其中 ，
， ， ，
当 时 取最大值 ，
，
，
，
，
即 的值为 .
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题（共6题，第17题10分，第18至第22题每题12分，共70分）
17. 已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，角 的终边过点 ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ， ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据终边所过点可得 ，利用诱导公式和二倍角余弦公式可求得结果；
（2）根据角的范围和同角三角函数平方关系可求得 ，由 ，利用两
角和差余弦公式可求得结果.
【小问1详解】
角 的终边过点 ， ，
，
.
【小问2详解】
， ， ， ；
， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司.
18. 已知正四棱柱 中， ， ， 为线段 的中点， 为线段 的中
点．
（1）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（2）证明：直线 平面 并且求出直线 到平面 的距离．
【答案】（1）
（2）证明见解析，直线 到平面 的距离为
【解析】
【分析】（1）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果；
（2）根据 ，由线面平行 的向量证明可得结论；将所求距离转化为点 到平面 的距离，由
点面距离的向量求法可求得结果.
【小问1详解】
以 为坐标原点， 正方向为 轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ，
，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【小问2详解】
由（1）知： ， ， ， ，
， ，
又 平面 ， 平面 ，
直线 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，设该距离为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，即直线 到平面 的距离为 .
19. 已知数列 为等差数列，且 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】公众号：高中试卷君
【分析】（1）利用等差数列通项和求和公式可构造方程组求得 ，由此可得通项公式；
（2）由（1）可得 ，采用裂项相消法可求得 ，进而分析得到结论.
【小问1详解】
设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得： ，
.
【小问2详解】
由（1）得： ，
，
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学科网（北京）股份有限公司， .
20. 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ．
（1）求角A的大小；
（2）若D为BC上一点， ， ，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）27
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）根据 求出 的关系，再利用基本不等式即可得解.
【小问1详解】
因为 ，
由正弦定理得 ，即 ，
，
所以 ，
又 ，所以 ；
【小问2详解】
由 ，得 ，
因为 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ．
21. 已知双曲线 的渐近线为 ，点 在C上，直线
与双曲线C相交于两点M，N，线段 的垂直平分线分别与x，y轴相交于A，B两点．
（1）若直线l过点 ，且点M，N都在双曲线的左支上，求k的取值范围；
（2）若 （O为坐标原点）的面积为 ，且 ，求k的取值范围．
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）利用双曲线的渐近线及点在双曲线上，将直线与双曲线联立方程组，利用直线与双曲线相
交的条件及韦达定理，结合点在双曲线的左支的条件即可求解；
（2）将直线与双曲线联立方程组，利用直线与双曲线相交的条件及韦达定理，再利用中点坐标公式及直
线的点斜式方程，结合三角形的面积公式及一元二次不等式的解法可得答案.
【小问1详解】
∵ ，且 ，
∴ ， ，
故双曲线 ，
设 ， ，
当直线l过点 时， ，直线l的方程为 ，如图所示
由 ，得 ，
由 ， ，解得 且 ，
， ．
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学科网（北京）股份有限公司因为点M，N都在左支上，∴ ， ，
∴ ， ，所以 ．
所以k的取值范围为 ．
【小问2详解】
将 代入 并整理得 ，
由 ， ，得 ，
， ，
设线段MN的中点为 ，则 ， ，
所以线段MN的垂直平分线的方程为 ，
所以A点的坐标为 ，B点的坐标为 ，
因为 的面积为 ，所以 ，整理得 ，
所以 ，
所以 ，解得 或 ，
所以k的取值范围为 ．
22. 已知函数 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）当 ，若不等式 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率 ，结合 可得切线方程；
（2）方法一：构造 ，将问题转化为 恒成立；利用导数和零点存在定理
可说明 的单调性，得到 ；令 ，利用导数可得 单调性，
从而确定 的范围，再次构造函数 ，利用导数可求得 的范围，即为所求的
的取值范围；
方 法 二 ： 采 用 同 构 法 ， 将 恒 成 立 的 不 等 式 化 为 ， 构 造 函 数
，利用导数求得 单调性，从而得到 ，采用分离变量法可得
，令 ，利用导数可求得 ，由此可得 的取值范围；
方法三：由恒成立不等式可确定 ，构造函数 ，利用导数可求得
的单调性，结合 可求得 的范围为 ；通过证明当 时， 恒成立
和 时，不等式不恒成立可得到最终范围.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，则 ，
，又 ，
在 处的切线方程为： ，即 .
【小问2详解】
方法一：令 ，则 恒成立，
的定义域为 ， 且 ；
令 ，则 ，
在 上单调递增，即 在 上单调递增，
又 ， ，
，使得 ，且当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
由 得： ， ， ，
，
，即 ，
令 ，则 在 上单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司又 ， ， ，
设 ，则 ，
在 上单调递增， ， ，
又 ， 的取值范围为 .
方法二：由 得： ，
，
当 时， 在 ， 时恒成立， ；
当 时，设 ，则 ，
， 在 上单调递增，
，即 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
，又 ， ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
方法三： 定义域为 ， 恒成立， 必然成立；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
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学科网（北京）股份有限公司在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，当 时， ，
当 时， ；
下面证明：当 时， 恒成立.
， ，
，
令 ，则 ，
令 ，则 ， 在 上单调递增，
当 时， ， ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
恒成立，即 恒成立；
当 时， ， ，
，使得 ，且当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
由 得： ， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司， ， ，
，
恒成立，即 恒成立；
当 时， ，显然不满足 恒成立；
综上所述：实数 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：本题重点考查了导数中的恒成立问题的求解；本题求解恒成立的基本方法有：
1.通过直接构造函数的方式，将问题转化为含参数函数的单调性的讨论和最值的求解问题，利用最值求得
参数的取值范围；公众号：高中试卷君
2.采用同构法，将问题转化为同一函数的不同函数值的大小关系的问题，从而通过求解函数的单调性得到
自变量的大小关系；
3.采用由特殊到一般的思路，通过特殊位置必然成立的思路得到 的一个取值范围，再证明在此范围时不
等式恒成立，并通过反例说明不在此范围时不等式不恒成立来得到最终范围.
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学科网（北京）股份有限公司
