文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）
黄金卷01（文科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先解一元二次不等式求出集合 ，再解绝对值不等式求出集合 ，最后根据集合的运算法则计
算可得.
【详解】由 ，即 ，解得 或 ，
所以 或 ，则 ，
由 ，则 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
故选：C
2．在 中，点 分别对应复数 ，则点 对应复数的共轭复数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的几何意义及平行四边形的性质计算即可.
【详解】由题意可得 ，
设 的对角线的交点为 ，点 的坐标为 ，由中点坐标公式得 ，
所以点 ，即点 对应的复数为 ，
故其共轭复数 .
故选：B
3．已知函数 （ 且 ），则其大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】计算出 时， ，排除A；
时， ，排除D； ，C正确.
【详解】当 时， ， ，故 ，排除A；
当 时， ， ，故 ，排除D，
， ，则 ，故 ，C正确，B错误.
故选：C
4．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，分别标记两次骰子正面朝上的点数，则事件“两次正面朝上的点
数之积大于8”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列举法求解相应的概率.
【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，
不同结果如下：
，共36个．
不满足条件的有
共16个，
所以满足条件的有 个，所以概率为 ，
故选：B
5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，
天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）
A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸
【答案】C
【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上底面面
积即可得到答案.
【详解】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，
因为积水深9寸，所以水面半径为 寸，
则盆中水的体积为 立方寸，
所以平地降雨量等于 寸.
故选：C.
6．已知角 的始边为 轴的非负半轴，终边经过点 ，则 （ ）
A．2 B． C． 或2 D．
【答案】D
【分析】先确定 所在的象限，再根据三角函数的定义及二倍角的正切公式求出 ，再根据商数关系
化弦为切即可得解.
【详解】由题意，得角 是第二象限角，则 ，
故 ，
当 时， ， 为第一象限角，
当 时， ， 为第三象限角，
所以 是第一象限角或第三象限角，则 ，
又因为 ，所以 或 （舍去），所以 ．
故选：D．
7．已知命题p：对任意实数都有 恒成立，命题q：关于x的方程 有实数根.若
为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出命题 分别为真命题时实数a的取值范围，再由 为真命题，可知 至少有一个为
真命题，从而可求得结果
【详解】对于命题 ，当 时， 恒成立，
当 时，则由对任意实数都有 恒成立，得 ，解得 ，
综上，当命题 为真命题时， ，
对于命题 ，由 有实数根，得 ，解得 ，
因为 为真命题，所以 至少有一个为真命题，
若 都为假命题，则 ，得 ，
所以当 时， 至少有一个为真命题，即 为真命题，
即实数a的取值范围是 ，
故选：C
8．设抛物线 的焦点为 ，直线 过点 与抛物线 交于 两点，以 为直径的圆与 轴交
于 两点，且 ，则直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】设 ，作 y轴，过A，B向准线 作垂线，垂足为 ， ，由梯形中位线
得到 ，然后 求得r，进而得到 ，然后 ，利用韦达定理求解.
【详解】解：如图所示：
设 ，作 y轴，过A，B向准线 作垂线，垂足为 ， ，
则 ，所以 ，
则 ，即 ，
解得 或 （舍去），则 ，
设 ，
由 ，消去y得 ，
则 ，解得 ，
所以直线方程为 ，即 ，
故选：A
9．已知 ，给出下列结论：若 ， ，且 ，则 ；
存在 ，使得 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称；
若 ，则 在 上单调递增；
若 在 上恰有 个零点，则 的取值范围为 ．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式得 ，利用余弦函数的图象和性质判断各选项即可.
【详解】①由题意可得 ，
由 ， ，且 得 两相邻对称轴间的距离为 ，
所以 ，解得 ，故①错误；
② 的图象向左平移 个单位长度得
，
若 关于 轴对称，则 ，即 ，
解得 ，所以当 时符合题意，故②正确；
③当 时， ，所以当 时， ，
因为 在 上单调递减， 上单调递增，所以 在 上单调递增， 上单调递减，故③错误；
④设 ，当 时， ，
在 上恰有5个零点，即 在 上恰有5个零点，
则 ，解得 ，故④错误．
故选：A．
10．在平面四边形 中， ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C．12 D．15
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，求出C的轨迹方程，根据向量数量积及C点坐标的范围得最值.
【详解】如图，以 为原点， 分别为 轴建立平面直角坐标系，
因为 ，所以 ，
即 ，设 ，
由 可知，点 的轨迹为 外接圆的一段劣弧 ，
且 ，即外接圆半径 ，
设 外接圆的方程为 ，代入点 可得， ，
解得 或 （舍去），
即点 的轨迹方程为 ，
所以 ，即 ，
又 ，当 时， ，
此时点 在劣弧上，满足题意，故 的最大值为12.
故选：C
11．设 是一个无穷数列 的前 项和，若一个数列满足对任意的正整数 ，不等式 恒成立，
则称数列 为和谐数列，判断下列2个命题的真假：（ ）
①若等差数列 是和谐数列，则 一定存在最小值；
②若 的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列.
A．①假命题，②真命题 B．①假命题，②假命题
C．①真命题，②假命题 D．①真命题，②真命题
【答案】D
【分析】对于①：根据等差数列的求和公式可得 ，结合 可得 ，进而根据二
次函数性质分析判断；对于②：可以取一个公比为负数的等比数列说明其存在性即可.
【详解】对于①：设等差数列 的公差为 ，
则 ，所以 ，即 为公差为 的等差数列，
若 为和谐数列，则 ，
即 ，则 ，
所以关于 的二次函数 ，开口向上，
所以在 上一定存在最小值，所以①正确;
对于②：取 ，
则 ，且 ,
为和谐数列等价于 ，证明上述不等式即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列,
即证 ，即证 ，
当 ,上式左边为负数,显然成立；
当 时，即证 ，即证 ，（*）
设 ， ，
则 在 上单调递增，可得 ，
即（*）式成立，所以②正确.
故选：D.
12．设函数 ， ， 在 上的零点分别为 ，则
的大小顺序为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数结合零点存在性定理得出 ， ， ，再根据 ，
可得 ，即可得出答案.
【详解】因为 ， ，所以 在 上单调递增，
又因为 ，所以存在 使得 ，
所以 ，
因为 ， ，解得： ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增，
又因为 ，
在 上单调递增，
，所以存在 使得 ，所以 最大，
因为 ，
所以 ，，
，
故选：B．
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知 是夹角为60°的两个单位向量，则 与 的夹角是 ．
【答案】 /
【分析】分别求出 与 的数量积与各自的模，利用数量积公式求解即可.
【详解】由题 是夹角为60°的两个单位向量,
所以
设 夹角大小为 ，
则 ，
所以 .
故答案为：
14．将边长为2的等边 沿 边中线 折起得到三棱锥 ，当所得三棱锥体积最大时，点
到平面 的距离为 ．
【答案】
【分析】当 时，三棱锥体积最大，利用等体积法： ，从而可求解.
【详解】由题意知：当 时，三棱锥 有最大体积，此时： ，所以： ， ，
因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
15．已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，
且 ，则 .
【答案】
【分析】利用正弦定理、诱导公式、和角公式、差角公式、二倍角公式分析运算即可得解.
【详解】解：由题意， ，
则由正弦定理可得 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，则 ，
∴ ，∴ .又由 ，
可得： ，则 ，
∴ ，即 ，则 ，
∴ ，即 ，由 解得： ，
∴由 解得： ， .
∴由正弦定理可得： ，解得： ， ，
∴ .
故答案为：
16．已知函数 的定义域均为 ， 是偶函数， 是奇函数，且
，则 ； ．
【答案】
【分析】①利用 是奇函数，求出 即可；②结合 是偶函数， 是奇函数，以
及 条件求出函数 为周期函数，再利用赋值法，结合 ，求出函数 在一
个周期内的函数值，进而利用周期求出 即.
【详解】因为 是奇函数，所以 即 ，
由
，
又 ，
所以 ，
又 是偶函数，
，
即 ，
，
，
由 ，
所以 ，①
即 ，②
② ①： ，
所以函数 的周期为4，
所以由 ，
则令 时， ，
再令 时， ，所以 ，
由 ，所以由
所以
，
故答案为： ； .
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，当 时， 是4的常数
列.
(1)求 的通项公式；
(2)当 时，设数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当 时， 为等比数列，即 是4的常数列，
故 ，......................................................................................................................................1分
当 时， ，当 时， ，...........................................................3分∴数列 ， 均为公比为4的等比数列，
， ，.......................................................................................5分
.................................................................................................................................................6分
（2） ，........................................8分
∴当 时，数列 的前 项和为
.....................................10分
........................................................................................................................12分
18．（12分）第三十一届世界大学生夏季运动会于2023年8月8日晚在四川省成都市胜利闭幕．来自113
个国家和地区的6500名运动员在此届运动会上展现了青春力量，绽放青春光彩，以饱满的热情和优异的状
态谱写了青春、团结、友谊的新篇章．外国运动员在返家时纷纷购买纪念品，尤其对中国的唐装颇感兴趣．
现随机对200名外国运动员（其中男性120名，女性80名）就是否有兴趣购买唐装进行了解，统计结果如
下：
无兴
有兴趣 合计
趣
男性运动员 80 40 120
女性运动员 40 40 80
合计 120 80 200
(1)是否有99%的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”；
(2)按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，再从中任意抽取2名运动员作进一步采访，求抽取
的两名运动员恰好是一名男性和一名女性的概率．
参考公式：
临界值表：0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】(1)没有 的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”
(2)
【详解】（1）提出假设 外国运动员对唐装感兴趣与性别无关，...........................................1分
由已知 ...............................................................4分
故没有 的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”................................................6分
（2）按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，
则其中男性运动员4名，记为A、B、C、D，女性运动员2名，记为 ，...........................7分
从6人中随机抽取两人，有 ，
共15个基本事件，............................9分
其中满足抽取的两名运动员恰好是一名男性和一名女性的有 ，
，共8个基本事件，............................................................................11分
抽取的两名运动员恰好是一名男性和一名女性的概率为 ....................................................12分
19．（12分）已知四棱锥 中，PA⊥平面ABCD， ， ，E为
PD中点.
(1)求证： 平面PAB；(2)设平面EAC与平面DAC的夹角为 ，求三棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：
取 中点 ,连 ,........................................................................................................................1分
是 中点,∴ 且 ,
又∵ 且 .∵ 且 ,.........................................................................3分
∴四边形 为平行四边形， ,..........................................................................................4分
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．.........................................................5分
（2）取 中点 ，连 ⊂，过 作 交 于 ，连 ,.........................................6分
∵ 分别是 中点，∴ ，又∵ 平面 ．
∴ ⊥平面 , 平面 ,
∴ ，又∵ ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ， 平面 ，..........................................................................................8分
∴ ，∴ 是平面 与平面 的夹角的平面角................................................9分
∴ .
,
∴ ..........................................................11分∴ .........................................................................12分
20．（12分）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆 的标准方程.
(2)已知过右焦点 的直线 与 交于 两点，在 轴上是否存在一个定点 ，使 ？若存在，
求出定点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）因为 ，所以
所以椭圆 的方程为 .......................................................................................................2分
因为点 在椭圆 上，所以 ，解得 ，
所以 ............................................................................................................................................4分
所以椭圆 的标准方程为 .................................................................................................5分
（2）存在定点 ，使 .理由如下：..................................................................6分
由（1）知， ，则点 .
设在 轴上存在定点 ，使 成立.
当直线 斜率为 时，直线右焦点 的直线 即 轴与 交于长轴两端点，
若 ，则 ，或 .....................................................................................7分当直线 斜率不为 时，设直线 的方程为 ，.
由 消去 并整理，得 ，
则 ....................................................................................................9分
因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
所以 ，
即 ，
恒成立，
即对 ， 恒成立，则 ，即 ................................................................11分
又点 满足条件 .
综上所述，故存在定点 ，使 .........................................................................12分
21．（12分）（2023·青海西宁·统考二模）设函数 ．
(1)若函数 在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
(2)当 时，设函数 ，若在[ 上存在 ， 使 成立，求实数a的取值范
围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为函数 在其定义域上为增函数，即 在 上恒成立， .......1分
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，....................................3分
又 （仅当x＝1时取等号），...............................................................................4分
故a的取值范围为 ；.................................................................................................................5分
（2）在 上存在 ， ，使 成立，即当 时 ，............6分
又 ，所以当 时， ，
即函数 在区间 上单调递增，故 ，
由（1）知 ，
因为 ，又 的判别式 ，............................................7分
①当 时 ，则 恒成立，即 在区间 上单调递增，
故 ，故 ，即 ，得 ，
又 ，所以 ；......................................................................................................9分
②当 时 ， 的两根为 ， ，
此时 ， ，故函数 在区间 上是单调递增．由①知 ，所以 .....11分
综上，a的取值范围为 ．.....................................................................................................12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知曲线 的参数方程分别为 （ 为参数）， （ 为参
数）．
(1)将 的参数方程化为普通方程；
(2)以坐标原点 为极点，以 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．若射线 与曲线 分别
交于 两点（异于极点），点 ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）利用消参法与完全平方公式求得 的普通方程，利用 得到 的普通方程；
（2）分别求得 的极坐标方程，联立射线，从而得到 ， ，进而利用三角形面积公式即可得解.
【详解】（1）因为曲线 的参数方程为 （t为参数），
则 ， ，.....................................................................................................2分
两式相减，得 的普通方程为： ；
曲线 的参数方程为 （ 为参数），
所以 的普通方程为： ............................................................................................5分
（2）因为 ，
所以曲线 的极坐标方程为 ，即 ，联立 ，得 ，
所以射线 与曲线 交于A ，.........................................................................7分
而 的普通方程 ，可化为 ，
所以曲线 的极坐标方程为 ，即 ，
联立 ，得 ，
所以射线 与曲线 交于B ，.........................................................................8分
又点 ，所以 ，
则 ．.......................................................10分
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）已知a、b均为正数，设 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 的最小值为6，求 的值，并求 的最小值.
【答案】(1) ；
(2)1
【分析】（1）根据经验值性质分类讨论去掉绝对值符号求解；
（2）同经验值性质求最小值得 ，再利用“1”的代换求最小值.
【详解】（1）由已知不等式 为 ，
时，不等式为 ， ，所以 ；..........................................................1分时，不等式为 ， ，不成立；.........................................................2分
时，不等式为 ， ，所以 ，............................................3分
综上，不等式的解集为 ；......................................................................................5分
（2） ，即 的最小值是 ，..6分
所以 ，又 ，所以 ，.........................................................................7分
所以 ，当且仅当 时等号成立. 9分
所以所求最小值为1..............................................................................................................................10分
