文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）
黄金卷04
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合 ，若 ，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 对应的向量分别是 ，则复数 对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．某校在开展“深化五育并举、强大核心素养”活动中，选派了 名学生到 三个劳动实践点去
劳动，每个劳动实践点至少1人，每名学生只能去一个劳动实践点，不同的选派方法种数有（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 在 上单调，且 ，则 的取值共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，若输出的y的值为2，则输入的x的值为（ ）A． 或4 B．2或6 C． 或6 D．6或4
7．在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情
况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．
按照 的分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间
内的人数为16．则下列结论正确的是（ ）
A．样本容量
B．该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此
称号
C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分
D．图中
8．已知各项均为正数的等比数列 ， ， ， 成等差数列，若 中存在两项 ， ，使得 为
其等比中项，则 的最小值为（ ）
A．4 B．9 C． D．9．已知三棱锥 的四个顶点在球O的球面上， ， ，E，
F分别是 ， 的中点， ，则球O的体积为（ ）
A．8 B． C． D．
10．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内
的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆 的半径2，点 是圆 内的定点，且
，弦 均过点 ，则下列说法错误的是（ ）
A． 为定值
B．当 时， 为定值
C． 的取值范围是
D． 的最大值为12
11．已知 分别为双曲线 的左、右焦点，过 与双曲线的一条渐近线平行的直线
交双曲线于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．2
12．已知函数 ，（其中 是自然对数的底数），若 在 上恒成立，
则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第 II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知函数 在 处的切线方程为 ，则 ．
14．抛物线 上的动点M到两定点 的距离之和的最小值为 ．
15．如图，在棱长为4的正方体 中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含
边界），且 ，则线段 的长度的取值范围是 ．
16．若锐角 的内角 所对的边分别为 ，其外接圆的半径为 ，且
，则 的取值范围为 .
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知数列 ， 满足 ， ， .
(1)证明： 为等差数列.
(2)设数列 的前 项和为 ，求 .18．（12分）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一
个生产周期中的100件产品的关键指标（单位： ），经统计得到下面的频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数 和方差 ．（用每组的中点代表该组的均值）
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布 ，用直方图的平均数估计值 作为
的估计值 ，用直方图的标准差估计值 作为 估计值 ．
（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出
现了 之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个
生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83
利用 和 判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ⅱ）若设备状态正常，记 表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在 之外的零件
个数，求 及 的数学期望．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
19．（12分）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
， 是 的中点，点 在线段 上．(1)当 是 中点时，求点 到平面 的距离；
(2)当二面角 的正弦值为 时，求 的值．
20．（12分）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，右焦点为 ，过点 且斜率为 的
直线 交椭圆 于点 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若圆 是以 为圆心，1为半径的圆，连接 ，线段 交圆 于点 ，射线 上存在一点 ，使得
为定值，证明：点 在定直线上．
21．（12分）已知函数 ，其中 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明： ．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）（ 2023·四川宜宾·统考一模）在平面直角坐标系 中，射线l的方程为 ，曲线
C的方程为 ．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求射线l和曲线C的极坐标方程；
(2)若射线l与曲线C交于点P，将射线 绕极点按逆时针方向旋转 交C于点Q，求 的面积．
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 恒成立，求实数m的取值范围．
