文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）
黄金卷04
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A C D C C B D D D C D
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13． 14．4 15． 16．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.【详解】（1）由题意得 ， ，......................................1分
则 ，........................................3分
所以 是首项 ，公差为1的等差数列. ...................................................................5分
（2）由（1）得 ，则 ，.......................................................7分
当 为偶数时，
..............................................................................9分当 为奇数时， 为偶数，
则 .......................................................................11分
综上， .....................................................................................................................12分
18.【详解】（1）由频率分布直方图，得 ． 2分
．........4分
（2）（i）由（1）可知 ， ，.....................................................................5分
所以 ， ，...........................................................6分
显然抽查中的零件指标 ，故需停止生产并检查设备．................................................7分
（ii）抽测一个零件关键指标在 之内的概率为 ，
所以抽测一个零件关键指标在 之外的概率为 ，
故 ，.........................................................................................................................9分
所以 ，..................................................11分
X的数学期望 ．.......................................................................................12分
19.【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ．
在平面 内作 ，又 ，所以 两两垂直，......................................1分
以B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．............................................................................................................2分
因为 ， ， ，N是 中点，
则 ， ， ， ， ， ，
， ， ．
设平面 的法向量 ，
则 即 取 ．................................................................4分
所以点N到平面 的距离 ．...................................................................5分
（2）因为M是 的中点，所以 ，设 ，
则 ， ， ．.......................................................6分
设平面 的法向量 ，
则 即 取 ．...........................................7分
设平面 的法向量 ，
则 即 取 ．..............................9分设二面角 的大小为 ，则 ．
设 ，因为二面角 的正弦值为 ，
所以 ，解得 ，此时 ，..........................................................................11分
所以 ．.......................................................................................................................................12分
20.【详解】（1）依题意可得 ，可设 ， ，
由 ，消去 整理得 ，............................................2分
， ，
， ，
，.......................................................................................................................4分
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ...............................................................................................................................................4分
（2）由（1）知 ， ，
若直线 斜率存在，则 ， 直线 ，由 得 ，又点 在线段 上，.......................................................5分
所以 ，即 ，又 ，
，...............................................................................................................7分
设 ，则 ，
；
当 时， 为定值，此时 ，则 ，此时 在定直线 上；
当 时， 不为定值，不合题意；.............................................................................9分
若直线 斜率不存在，由椭圆和圆的对称性，不妨设 ，从而有 ， ，
此时 ，则直线 ，
设 ，则 ， ， ，
则 时， ，满足题意；..............................................................................................11分
综上所述：当 为定值，点 在定直线 上................................................................12分21.【详解】（1）因为 ，所以 ，......................................1分
当 时， ，函数 在 上单调递增；...................................................2分
当 时，由 ，得 ，
函数 在区间 上单调递增，
由 ，得 ，函数 在区间 上单调递减．.......4分
（2）要证 ，即证 ，
即证 ，...........................................................................5分
设 ，
故 在 上单调递增，又 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，...................................................................7分
①当 时，因为 ，所以 ；............................8分
②当 时，令 ，则 ，
设 ，则 ，设 ，则 ，因为 ，所以 ，
所以 即 在 上单调递增，..........................................................................................10分
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增， ，
即 ．
综上可知，当 时， ，
即 ．.......................................................................................................................12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22.【详解】（1）将 代入 得 ，
所以 ，所以射线l的极坐标方程为 ,.................................................................2分
将 代入 得 ,
所以曲线C的极坐标方程为 ;....................................................................................4分
（2）由题可知，可以设 ， ，..............................................................................5分
则 ， ，...............................................................................7分
所以 ,.............................................................................................................................8分
所以 ................................................................................................................10分
选修4-5：不等式选讲23.【详解】（1）由题知，当 时，原不等式即 ，
当 时，不等式为 ，解得 ；.............................................................1分
当 时，不等式为 ，恒成立；...................................................................2分
当 时，不等式为 ，解得 ，........................................................................3分
综上，不等式 的解集为 ；..................................................................................5分
（2）因为 ，...........................................................................7分
当且仅当 时不等式取等号，即 ，
所以 ，解得 ，..........................................................................................9分
所以 的取值范围是 .........................................................................................10分
