文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专用）
黄金卷05
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解分式不等式、指数函数值域求集合，再由集合的交运算求结果.
【详解】由题设 ， ，
所以 .
故选：C
2．设复数 对应的点在第四象限，则复数 对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由 的周期性化简 ，计算后判断所求复数对应点的象限.
【详解】由复数 对应的点在第四象限，
则设 ，
由
得 ，
由 ，得复数 对应的点在第二象限.
故选：B.
3．在平行四边形 中， 是 的中点， 是 的中点， 与 相交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知： 为 的重心，结合向量的线性运算结合重心的性质分析求解.
【详解】设 ，
由题意可知： 为 的重心，且 为 的中点，
可知 四点共线，且 ，
所以 .
故选：A.
4．某地投资 亿元进行基础建设， 年后产生的社会经济效益为 亿元，若该地投资基础建设4
年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，且再过 年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的16倍，
则 （ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】由 求出 的值，再令 求出 ，从而求出 .
【详解】依题意 ，显然 ，即 ，所以 ，则 ，所以 ，令 ，即 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以该地投资基础建设 年后产生的社会经济效益是投资额的 倍，
所以 .
故选：C
5．某大学强基测试有近千人参加，每人做题最终是否正确相互独立，其中一道选择题有5个选项，假设若
会做此题则必能答对.参加考试的同学中有一部分同学会做此题；有一半的同学完全不会，需要在5个选项
中随机蒙一个选项；剩余同学可以排除一个选项，在其余四个选项中随机蒙一个选项，最终统计该题的正
答率为30%，则真会做此题的学生比例最可能为（ ）
A．5% B．10% C．15% D．20%
【答案】B
【分析】设测试总人数为 ，真会做此题的学生人数为 ，再由已知列式计算得解.
【详解】设测试总人数为 ，真会做此题的学生人数为 ，
依题意， ，解得 .
故选：B
6．设函数 ，且 在 上单调，则下列
结论不正确的是（ ）
A． 是 的一个对称中心
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 在区间 上的值域为
D．先将 的图象的横坐标缩短为原来的 ，然后向左平移 个单位得到 的图象
【答案】C
【分析】先求得 ，然后根据三角函数的对称性、值域、三角函数图象变换等知识求得正确答案.【详解】依题意， ， ， ，
，
并化简得 ， ， 是偶数，
由③得 ，所以 ，
代入①得 ，
而 ，所以 ，所以 .
A选项， ，所以 是 的一个对称中心，A选项正确.
B选项， ，所以函数 的图象关于直线 对称，B选项正确.
C选项， ，
所以 ，所以C选项错误.
D选项，先将 的图象的横坐标缩短为原来的 ，得到 ，
然后向左平移 个单位得到 ，
所以D选项正确.
故选：C7．已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对 平方可得 ，再构造 ，对 求导，得出 的单调性可
知 ，所以 时, ，即可得比较 的大小，即可得出答案.
【详解】 ，
，∴ .
在B，C中选，比较a，b大小，
令 ，
，
令 ， 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，所以 ，所以 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
所以 时, ，则 ，即 ，故 .
故选：C.
8．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开
展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为 时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底
端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意先求得短半轴长 ，再根据正弦定理求得 ，进而根据离心率的公式求解
即可
【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，
由图可知，椭圆的短半轴长 ，
在 中， ，
由正弦定理得：
，
所以 ，故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在棱长为2的正方体 中， 分别是棱 的中点，则（ ）
A． 与 是异面直线
B．存在点 ，使得 ，且 平面
C． 与平面 所成角的余弦值为
D．点 到平面 的距离为
【答案】BC
【分析】A选项，建立空间直角坐标系，根据 得到 与 平行；B选项，先求出 ，
得到平面 的法向量 ，根据数量积为0得到 ，得到 平面 ；C选项，先求
出 与平面 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D选项，求出平面 的法向量，根据点到平面
距离公式求出答案.
【详解】A选项，以 作坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
，
则 ，由于 ，故 与 平行，A错误；B选项，设 ，因为 ，所以 ，
即 ，解得 ，故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，则 ，
因为 ，故 ， 平面 ，
故存在点 ，使得 ，且 平面 ，B正确；
C选项，平面 的法向量为 ，
故 与平面 所成角的正弦值为 ，
则 与平面 所成角的余弦值为 ，C正确；
D选项，设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，故 ，
则点 到平面 的距离为 ，D错误.故选：BC
10．已知函数 ，则（ ）
A． B． 恰有5个零点
C． 必有极值点 D． 在 上单调递减
【答案】BCD
【分析】代入求值判断A，根据零点定义结合余弦函数方程根判断B，利用导数研究函数的极值点、单调
性判断CD.
【详解】对于A， ，错误；
对于B， ，
令 得 ，所以 或 ，又 ，
所以 或 或 或 或 ，
解得 或 或 或 或 ，即 恰有5个零点，正确；
对于C，因为 ，所以 ，因为 ， ，
由零点存在性定理知 在 上存在异号零点，
则 在 必有极值点，正确；
对于D，当 时， ， ，
所以 ，
当 时， ， ，
所以 ， ，所以 ，
所以 时，所以 ，所以 在 上单调递减，正确.
故选：BCD
11．已知 为坐标原点， 为抛物线 的焦点，过点 的直线交 于 、 两点，直线 、
分别交 于 、 ，则（ ）
A． 的准线方程为 B．
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用抛物线的方程求出准线方程，可判断A选项；设出直线 的方程，将该直线的方程与抛物
线的方程联立，结合韦达定理结合平面向量数量积的坐标运算可判断B选项；利用抛物线的焦半径以及基
本不等式可判断C选项；利用韦达定理结合基本不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，对于抛物线 ， ，可得 ，
所以，抛物线 的准线方程为 ，A对；对于B选项，若直线 与 轴重合，此时，直线 与抛物线 只有一个公共点，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 ，可得 ， ，
所以， ， ，
则 ，则 ，B对；
对于C选项， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，故 的最小值为 ，C错；
对于D选项，设点 、 ，
设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
判别式为 ，由韦达定理可得 ， ，同理可得 ，，同理可得， ，
所以，
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
所以， 的最小值为 ，D对.
故选：ABD.
12．在平面直角坐标系xOy中，将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转 后，所得曲
线仍然是某个函数的图象，则称 为“ 旋转函数”，则（ ）
A．存在“90°旋转函数”
B．“70°旋转函数”一定是“80°旋转函数”
C．若 为“45°旋转函数”，则
D．若 为“45°旋转函数”，则
【答案】ACD
【分析】对A，举例说明即可；对B，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“ 旋转函数”的定义逐
个判断即可；对CD，将 旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线
的方程，分析零点个数判断即可．
【详解】对于A，如 ，旋转90°后为 满足条件，故A正确；
对于B，如倾斜角为 的直线是 旋转函数，不是 旋转函数，故B错误；
对与C，若 为 旋转函数，
则根据函数的性质可得， 逆时针旋转 后，不存在与 轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点．
故不存在倾斜角为 的直线与 的函数图象有两个交点．
即 与 至多1个交点．
联立 ，可得 ．
当 时， 最多1个解，满足题意；
当 时， 的判别式 ，
对任意的 ，都存在 使得判别式大于0，不满足题意，故 ．故C正确；
对与D，同C， 与 的交点个数小于等于1，
即对任意的 ， 至多1个解，故 为单调函数，
由 ，故 恒成立，即 恒成立．
即 图象在 上方，故 ，即 ．
当 与 相切时，可设切点 ，
对 求导有 ，故 ，解得 ，此时 ，故 ．故D正确．
故选：ACD．
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进
行再迁移.第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 ，且 ，若 的展开式中存在常数项，则展开式中 的系数为 .
【答案】6
【分析】根据展开式通项公式及存在常数项确定 ，再求出展开式中含 的项即可得解.
【详解】 展开式的通项公式为 ，
因为存在常数项，所以 ，故只有当 时满足题意，
即求 展开式中含 的项的系数，
令 ，即 ，
所以展开式中含 的项为 ，
所以展开式中 的系数为6.
故答案为：6
14．已知圆 和两点 ， .若圆 上存在点 ，使得
，则 的最大值为 ．
【答案】11
【分析】首先判断点 在以 为直径的圆上（不能是 两点），将问题化为两圆有交点求参数范围，
即可得最大值.
【详解】由题意得：圆 的圆心 ，半径 ，
∵ ，则点 在以 为直径的圆上（不能是 两点），
以 为直径的圆的圆心为 ，半径 ，
注意到圆心 到y轴的距离为 ，即y轴与圆 相离，由题意得：圆 与圆 有公共点（由于y轴与圆 相离，公共点不可能为 ），且 ,
则 ，即 ，解得 ，故 的最大值为11.
故答案为：11
15．已知 是定义域为 的奇函数.若以点 为圆心，半径为2的圆在x轴上方的部分恰好是
图像的一部分，则 的解析式为 .
【答案】
【分析】求出给定圆的方程，再根据给定条件结合奇函数的定义求出 的解析式.
【详解】以点 为圆心，半径为2的圆的方程为 ，
则该圆在x轴上方的部分的方程为 ，
由 是奇函数，得 ，当 时， ，
，
所以 的解析式为 .故答案为：
16．如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角 ，使得对于曲线G上的任意两个不同
的点 恒有 成立，则称角 为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为
曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C： （其中e是自然对数的底数），点O
为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为 ，则 .
【答案】1
【分析】求过原点曲线的两条切线，求解两切线的夹角即可.
【详解】函数 ，
因为 ，
所以该函数在 单调递减，在 单调递增.
过原点作 的切线，设切点 ，
由 ，则切线 的斜率为 ，
直线 过 ，∴ ，∴ ，
即 ，由函数 与 的图象在 有且只有一个交点，
且当 时满足方程，故方程有唯一解 ，则 ；
过原点作 的切线，设切点 ，
由 ，得切线 的斜率 ，
则切线 过原点 ，
则有 ，∴ ，
则 ，则有 ，
∴两切线垂直，曲线C的相对于点O的“确界角”为 ，
则 ， .
故答案为：1.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前2n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 即可求解，
（2）根据分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，因为 也符合上式．
所以 ．
（2）由（1）可知 ，
所以．
18．（12分）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且向量 ，
， .
(1)求角A的大小；
(2)若 为 上一点，且 ， ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量垂直得到 ，计算化简得到 ，根据余弦定理得到答案.
（2）根据余弦定理得到 ，再利用均值不等式得到 ，计算面积得到最值.
【详解】（1） ，故 ，
即 ，故 ，
整理得到 ，即 ， ，故 .
（2） ， ，故 为等边三角形，即 ，
中： ，即 ，
即 ，当且仅当 时等号成立.
.
19．（12分）如图，已知四边形 和 都是直角梯形， ， ， ， ，
， ，且二面角 的大小为 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的大小为 ，若存在，请求出点的位置；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点 ，使得二面角 的大小为 ， ．
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的定义，结合空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）因为四边形 和 都是直角梯形，
所以 ， ，且 平面 ，
所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）过点 、 分别作直线 、 的垂线 、 垂足为 、 ．
由已知和平面几何知识易知， ， ，
则四边形 和四边形 是矩形，所以在 和 中， ，
假设在 上存在点 ，使得二面角 的大小为 ．
由（1）知 平面 ，则 是二面角 的平面角，
所以 ，所以 是正三角形．取 的中点 ，则 ，又 平面 ，
所以 平面 ，过点 作 平行线 ，
则以点 为原点， ， 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
设 ，则 ， ， ， ，
则 ，则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，取 ，
又平面 的法向量 ，所以 ，
整理化简的 ，解得 或 （舍去）．
所以存在点 ，使得二面角 的大小为 ，且 ．
20．（12分）已知 ， .
(1)函数 有且仅有一个零点，求 的取值范围.
(2)当 时，证明： （其中 ），使得 .
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】（1）根据题意转化为方程 仅有一个实数根，设 ，求得 ，得到函
数的单调性和极值，作出函数的图象，结合图象，即可求解；
（2）设 ，转化为 在 存在极值点，求得 的值，即可求解.
【详解】（1）由函数 ，可得 ，所以 不是函数的零点，
因为函数 有且仅有一个零点，即方程 仅有一个实数根，
即方程 仅有一个实数根，即方程 仅有一个实数根，
设 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递减，
所以函数 的极小值为 ，
又由当 且 时， ；当 且 时， ，
所以函数 的图象如图所示，
要使得函数 有且仅有一个零点，则满足 或 ，
即实数 的取值范围是 .（2）解：设 ，即 ，
当 ，令
满足 ，且 ，
若 在区间 单调递增，此时 ，不满足题意；
若 在区间 单调递减，此时 ，不满足题意；
所以函数 在区间 上不是单调函数，所以函数 在区间 上必有极值点，
即存在 ，使得 ，即 ，
即 ，使得 .
【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
21．（12分）已知动点P到定点 的距离和它到直线 距离之比为2；
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)直线l在x轴上方与x轴平行，交曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.设OD的中点为M，是否存
在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N， ， 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）设 ，由 化简可求轨迹C的方程；
（2）设直线PQ的方程为 ，与双曲线联立得出韦达定理，结合两个向量共线的坐标表示
求得m，得到直线l的方程.
【详解】（1）设 ，由动点P到定点 的距离和它到直线 距离之比为2，
可得 ，化简得 ，即 ，
故点P的轨迹C的方程为 ；
（2）设l的方程为 ，则 ，故 ，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为 ，故 .
与双曲线方程联立得： ，
由 对应渐近线方程为： ，易判断 ，
得 ，设 ， ，
则 ， ①，
由 ， 得：，
，
即 ， ，
消去 得： ，
即 ②
由①②得： ，化简得 ，由已知 ，
故存在定直线l： 满足条件.
22．（12分）某种植物感染病毒 极易死亡，当地生物研究所为此研发出了一种抗病毒 的制剂．现对20
株感染了病毒 的该植株样本进行喷雾试验测试药效．测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果
进行统计，并对植株吸收制剂的量（单位：毫克）进行统计．规定植株吸收在6毫克及以上为“足量”，
否则为“不足量”．现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下
表．已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株．
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
吸收量（毫克） 6 8 3 8 9 5 6 6 2 7
1 1 1 1
编号 11 13 15 17 19 20
2 4 6 8
吸收量（毫克） 7 5 10 6 7 8 8 4 6 9
(1)补全列联表中的空缺部分，依据 的独立性检验，能否认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？
吸收足
吸收不足量 合计
量
植株存活 1
植株死亡
合计 20
(2)现假设该植物感染病毒 后的存活日数为随机变量 （ 可取任意正整数）．研究人员统计大量数据
后发现：对于任意的 ，存活日数为 的样本在存活日数超过 的样本里的数量占比与存活日数
为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．试推导
的表达式，并求该植物感染病毒 后存活日数的期望 的值．
附： ，其中 ；当 足够大时， ．
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
【答案】(1)表格见解析，可以认为 成立，即认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”无关．
(2) ， ．
【分析】（1）根据独立性检验先求出 ，再将 与对应 比较大小即可.
（2）先根据递推关系得到 与 的关系，进而利用等比数列得到通项公式，推导出
的表达式，最后得到 的表达式，应用错位相减法求和即可.
【详解】（1）填写列联表如下：
吸收足
吸收不足量 合计
量植株存活 12 1 13
植株死亡 3 4 7
合计 15 5 20
零假设为 ：“植株的存活”与“制剂吸收足量”无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到： ，
依据 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，因此可以认为 成立，即认为“植株的存
活”与“制剂吸收足量”无关．
（2）由题意得 ．
又 ，故 ．
把 换成 ，则 ．
两式相减，得 ，
即 ．
又 ，
故 对任意 都成立，
从而 是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，因此 ．
由定义可知 ，
而 ，下面先求 ．
，
，
作差得．
所以 ，当 足够大时， ， ，故
，可认为 ．
