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2023—2024 学年度下学期高三第二次模拟考试试题
数学
命题人：抚顺二中 孙振刚 旅顺中学 王莹
时间：120分钟 试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.若复数 为实数，则实数 等于（ ）
A. B. C. D.2
2.已知集合 . .若 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3.下表为某地春节假期某日游客抽取的100人样本的出行方式统计数据
出行方式 高铁 自驾 飞机 客车
频数 27 16 28 29
某实验点从这批游客中抽取25人，当中选择飞机出行的人数大约为（ ）
A.8 B.7 C.6 D.4
4.在矩形 中， ， 为 中点， 为平面 内一点， .则 的
取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5.数列 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A. B. C.3 D.
6.已知函数 的定义域为 ， 是偶函数， 是奇函数，则 最小值为
学科网（北京）股份有限公司（ ）
A. B. C. D.
7.某同学笔袋里有10支笔，其中8支黑色，2支红色.被甲同学借走2支.已知甲借走的有一支是红色，则另
一支也是红色的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知 是椭圆 上的动点，若动点 到定点 的距离 的最小值为
1，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知 ，下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.若 的展开式中第4项的二项式系数最大，则二项展开式中的有理项（ 项中 是整
数）可以是（ ）
A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项
11.已知正四棱台 的各个顶点都在球 的表面上， ， ，
， 是线段 上一点，且 ，下列选项正确的（ ）
A.当 时，过点 作球 的截面的最小面积
B.当 时，多面体
C. 到平面 距离是2
D. 与平面 的夹角正弦值是
学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.过点 与圆 相切的切线方程为________.
13.已知公比 大于1的等比数列 满足 ， .设 ，则当 时数列
的前 项和 ________.
14.若集合 ， ， ， 满足 ， ， 都是 的子集，且 ， ， 均只有一个元素，
且 ，称（ ， ， ）为 的一个“有序子集列”，若 有5个元素，则有多少个“有
序子集列”________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的面积.
16.（15 分）如图，已知多面体 的底面 为正方形，四边形 是平行四边形，
， ， 是 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若 是等边三角形，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17.（15分）已知函数 ，
（1）求 的最小值；
学科网（北京）股份有限公司（2）证明： .
18.（17分）（1）利用双曲线定义证明：方程 表示的曲线是焦点在直线 上的双曲线，记为曲
线 ；
（2）设点 在曲线 上， 在曲线 上，且满足 ，求 方程；
（3）点 在 上，过点 的直线 与 的渐近线交于 ， 两点，且满足 ，求 （
为坐标原点）的面积.
19.（17分）某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知这种动物 拥
有两个亚种（分别记为 种和 种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区
域中捕捉100个动物 ，统计其中 种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这
个试验共20次，记第 次试验中 种的数目为随机变量 .设该区域中 种的数目为 ，
种的数目为 （ ， 均大于100），每一次试验均相互独立.
（1）求 的分布列；
（2）记随机变量 .已知 ，
（i）证明： ， ；
（ii）该小组完成所有试验后，得到 的实际取值分别为 .数据 的平
均值 ，方差 .采用 和 分别代替 和 ，给出 ， 的估计值.
（已知随机变量 服从超几何分布记为： （其中 为总数， 为某类元素的个数， 为抽
取的个数），则 ）
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