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榆林市 2023—2024 年度高三第二次模拟检测
数学试题（理科）
考生注意：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第I卷
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.若集合 ，则（ ）
A. B. C. D.
2.若向量 ，则 （ ）
A.-4 B.-3 C. D.-2
3.若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
4.某工厂要对1110个零件进行抽检，这1110个零件的编号为 .若采用系统抽样的方法抽
检30个零件，且编号为0005的零件被抽检，则下列编号是被抽检的编号的是（ ）
A.0040 B.0041 C.0042 D.0043
5.若 满足约束条件 则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.甲､乙､丙､丁四人计划一起去陕西省榆林市旅游，他们从榆林古城､镇北台､红石峡､榆林沙漠国家森林公园､
红碱淖､白云山､易马城遗址这7个景点中选4个游玩（按照游玩的顺序，最先到达的称为第一站，后面到达
的依次称为第二､三､四站），已知他们第一站不去榆林沙漠国家森林公园，且第四站去红碱淖或白云山，则
他们这四站景点的选择共有（ ）
A.180种 B.200种 C.240种 D.300种
学科网（北京）股份有限公司7.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.已知定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，则
（ ）
A.1 B.2 C. D.-2
9.如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗实线绘制的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（ ）
A. B.
C. D.
10.已知 为双曲线 的两个焦点， 为 上一点，若 ，且 为等腰三角形，则
的离心率为（ ）
A. B.2 C. 或 D.2或3
11.已知曲线 与曲线 的公共点为 ，则曲线 在点 处的切线与
坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数 在 上单调， 的图象关于点 中心
学科网（北京）股份有限公司对称且关于直线 对称，则 的取值个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
第II卷
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.在 中， ，则 __________.
14.已知抛物线 经过点 ，写出 的一个标准方程：__________.
15.过球 外一点 作球 的切线，若切线长为5，且 ，则球 的体积为__________.
16.已知函数 恰有3个零点，则 的取值范围是__________.
三､解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
蓝莓富含花青素，具有活化视网膜的功效，可以强化视力，防止眼球疲劳，是世界粮农组织推荐的五大健康
水果之一.截至2023年，全国蓝䔦种植面积达到110万亩，其中云南蓝莓种植面积达到17.6万亩，产量达到
10.5万吨，是蓝莓鲜果产量第一省.已知甲农户种植了矮丛蓝莓､高丛蓝莓､兔眼蓝莓3种蓝莓，这3种蓝莓年
产量各自达到1000斤的概率分别为 .
（1）求这3种蓝莓年产量都达到1000斤的概率；
（2）求这3种蓝莓中至多有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率.
18.（12分）
已知数列 满足 .
（1）证明： 为等差数列.
（2）记 为数列 的前 项和，求 .
19.（12分）
如图，在底面是正方形的四棱柱 中， 平面 ， .
学科网（北京）股份有限公司（1）证明：四棱柱 为正四棱柱.
（2）设二面角 为 ，求 .
20.（12分）
已知 为函数 的导函数.
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，证明：当 时， .
21.（12分）
已知椭圆 的左､右焦点分别为 过点 ，且 .
（1）求 的方程.
（2）设 的右顶点为点 ，过点 的直线 与 交于 两点（异于 ），直线 与 轴分
别交于点 ，试问线段 的中点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个
题目计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为 （
为参数 .
（1）求曲线 与曲线 的交点坐标；
学科网（北京）股份有限公司（2）求曲线 的普通方程.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
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数学试题参考答案（理科）
1.C 依题意可得 .
2.A 若 ，则 ，即 ，解得 .
3.D 因为 ，所以 解得 所以 .
4.C 因为组距为 ，所以由 ，得被抽检的编号可以是0042.
5.A 作出约束条件表示的可行域，如图所示，当直线 经过点 时， 取得最大值12，所以
的取值范围是 .
学科网（北京）股份有限公司6.B 依题意可得他们这四站景点的选择共有 种.
7.A 因为 ，所以 ，
.
8.B 因为 ，所以 ，所以 是以4为周期的周期函数，
所以 .
9.D 由三视图可知，该几何体由一个棱长为2的正方体和一个底面半径为 ，高为2的圆柱拼接而成，故
该几何体的表面积为 .
10.C 因为 ，所以可设 ，依题意可得
或 ，故 的离心率 或
.
11.B 由 得 ，设 ，则 为增函数，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以方程 的解为 ，所以点 的横坐标为 .
设 ，则 ，则 ，又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
令 ，得 ；令 ，得 .所以所求三角形的面积为 .
12.B 由题意可得 则 ，即
.因为 在 上单调，所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 .因为 ，所以 或 1或 .当 时，
，则 ，此时 在 上单调递增，故 符合题意；
当 时， ，此时 在 ， 上不单调，故 不符合题意；当
时， ，则 ，此时 在 上单调递增，故
符合题意.综上， 或 .
13. 由余弦定理，得 ，所以 .
14. （或 ） 依题意可得 的标准方程可设为 或 ，将点
学科网（北京）股份有限公司的坐标代入得 ，则 的标准方程为 或 .
15. 设切点为 ，则 ，所以 ，则球 的半径为 ，所以
球 的体积为 .
16. 令 ，
得 或 .作出 的大致图象，
如图所示，这两个函数图象的交点为 ，因为 ， ，所以由图可知 的取值
范围是 .
17.解：（1）这3种蓝莓年产量都达到1000斤的概率为 .
（2）这3种蓝莓中没有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为 ，
这3种蓝莓中恰有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为
，
则这3种蓝莓中至多有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为 .
18.（1）证明：因为 ，所以 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 为公差是8的等差数列.
（2）解：因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 或 .
19.（1）证明：因为 ，
所以 ，则 .
又 平面 ，所以
因为 ，所以 平面 .
又底面 为正方形，所以四棱柱 为正四棱柱.
（2）解：以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
.
设平面 的法向量为 ，
则
令 ，得 .
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，
则
令 ，得 .
由 ，
得 .
20.（1）解：因为 ，所以 .
令 ，则 .
当 ，即 时，则 在 上恒成立，
所以 单调递增.
当 ，即 时，令 ，解得 ，则当 时， ，
单调递减，当 时， 单调递增.
综上，当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；当 时， 的单调递增区
间为 ，单调递减区间为 .
（2）证明：因为 ，所以 ，
则欲证 ，只需证 ，
只需证 ，即证 .
令 ，则 在
学科网（北京）股份有限公司上恒成立，则 在 上单调递增，故当 时， ，从而
，则结论成立.
21.解：（1）因为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
则 ，所以 的方程为 .
（2）易知 ，则直线 的斜率存在，设其方程为
联立 得 ，
.
因为点 在直线 上，所以 ，
，
直线 ，令 ，得 ，
直线 ，令 ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司，
所以线段 的中点为 ，为定点.
22.解：（1）由曲线 的参数方程，得 ，
由 ，得 ，
则
故曲线 与曲线 的交点坐标为 .
（2）由 得 ，
则 ，代入 ，得 ，
整理得 ，
因为 ，
所以曲线 的普通方程为 .
23.解：（1）当 时， 可化为 .
当 时， 解得 ；
当 时， 解得 ；
当 时， 解得 .
学科网（北京）股份有限公司故当 时，不等式 的解集为 .
（2）因为 ，
所以 等价于 .
因为 ，
所以 的最小值为 ，所以 ，
解得 或 ，故 的取值范围是 .
学科网（北京）股份有限公司
