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绝密★启用前 【山西专版】
天一大联考
2023—2024 学年高三年级阶段性测试（定位）
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设全集 ，集合 ， ，则 =
A． B． C． D．
2． 的展开式中常数项为
A．112 B．56 C．28 D．16
3．已知函数 若对任意 ，，曲线 在点
和 处的切线互相平行或重合，则实数a=
A．0 B．1 C．2 D．3
4．干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、
辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以
一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第
一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新
开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年
是甲辰年，则2124年为
A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年
5．将一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧长为 4π，外弧长为8π，外弧半径与内弧半径之差为m，若
该圆台的体积为 ，则m=
学科网（北京）股份有限公司A．4 B．3 C．2 D．1
6．设非零复数 和 在复平面内对应的向量分别为 和 ，其中O为原点，若 为纯虚数，
则
A． B．
C． D．
7 ． 已 知 α ， β ， γ 均 是 锐 角 ， 设 的 最 大 值 为 ， 则
=
A． B． C．1 D．
8．已知实数a，b，c满足 ， ， ，则
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知抛物线C： 的焦点为F，点 在C上，若∠MOF=45°（O为坐标原点），则
A． B． C． D．
10．函数 的部分图象如图所示，则
A．
B．
C． 的图象关于点 对称
学科网（北京）股份有限公司D．不等式 的解集为
11 ． 在 四 棱 锥 中 ， 已 知 ， ， 且
，则
A．四棱锥 的体积的取值范围是
B． 的取值范围是
C．四棱锥 的外接球的表面积的最小值为8π
D．PB与平面PAD所成角的正弦值可能为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知圆C经过点 ，且有一条直径的两个端点分别在 x，y轴上，则圆C的面积的最小值为
______．
13．甲、乙两名足球运动员进行射门比赛，约定每人射门3次，射进的次数多者赢，一样多则为平局．若
甲每次射门射进的概率均为 ，乙每次射门射进的概率均为 ，且每人每次射门相互独立．现已知甲第一
次射门未射进，则乙赢的概率为______．
14．已知椭圆C： 的左、右焦点分别是 ， ，斜率为 的直线l经过点 且
交C于A，B两点（点A在第一象限），若 的面积是 的面积的3倍，则C的离心率为
______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
某学校准备订做新的校服，有正装和运动装两种风格可供选择，为了解学生和家长们的偏好，学校随机调
查了200名学生及每名学生的一位家长，得到以下的2×2列联表：
更喜欢正装 更喜欢运动装
家长 120 80
学生 160 40
（Ⅰ）根据以上数据，判断是否有99%的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异；
（Ⅱ）若从家长中按不同偏好的人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2
学科网（北京）股份有限公司人，记这2人中更喜欢正装的家长人数为X，求X的分布列和数学期望．
附： ．
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
16．（15分）
如图，A 是以 BC 为直径的圆 O 上的点，PA⊥平面 ABC，D，E 分别是线段 PA，PB 上的点，且满足
， ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若二面角 的正弦值为 ，求λ的值．
17．（15分）
已知双曲线C： 的渐近线与圆 的一个交点为 ．
（Ⅰ）求C的方程．
（Ⅱ）过点A作两条相互垂直的直线 和 ，且 与C的左、右支分别交于B，D两点， 与C的左、右支
分别交于E，F两点，判断 能否成立．若能，求该式成立时直线 的方程；若不
能，说明理由．
18．（17分）
已知函数 ， ， ．
（Ⅰ）若 ， ，讨论 在区间 上的单调性；
（Ⅱ）设t为常数，若 ”’是“ 在R上具有单调性”的充分条件，求t的最小值．
19．（17分）
学科网（北京）股份有限公司对于数列 ，若存在 ，使得对任意 ，总有 ，则称 为“有界变差数
列”．
（Ⅰ）若各项均为正数的等比数列 为有界变差数列，求其公比q的取值范围；
（Ⅱ）若数列 满足 ，且 ，证明： 是有界变差数列；
（Ⅲ）若 ， 均为有界变差数列，且 ，证明： 是有界变差数列．
天一大联考
2023—2024 学年高三年级阶段性测试（定位）
数学（山西专版）答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．答案 C
命题意图 本题考查集合的表示与运算．
解析 由已知易得 ，所以 ．
2．答案 A
命题意图 本题考查二项式定理的应用．
解析 常数项为 ．
3．答案 C
命题意图 本题考查导数的几何意义和函数的奇偶性．
解析 由题意知 为偶函数，则 ．
4．答案 D
命题意图 本题考查等差数列的应用．
解析 天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于 ，
故100年后天干为甲，由于 ，余数为 4，故100年后地支为“辰”后面第四个，即
“申”，所以2124年为甲申年．
5．答案 B
命题意图 本题考查圆台的有关计算．
学科网（北京）股份有限公司解析 易知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为m．设圆台的高为h，根据题意可知该圆台
的 体 积 为 ， 解 得 ， 则
．
6．答案 D
命题意图 本题考查复数的几何意义以及平面向量的运算．
解析 设 ， ， ，其中a，b，c，d， ，且a，b不同时为0，c，d不同时
为 0 ， ， 由 题 意 ， 所 以
，所以 ．
7．答案 B
命题意图 本题考查三角恒等变换及基本不等式的应用．
解 析 由 基 本 不 等 式 可 得 ， ，
，三式相加，可得 ，当且仅当α，
β ， γ 均 为 时 等 号 成 立 ， 所 以 ， 则
．
8．答案 C
命题意图 本题考查指数函数和对数函数的综合性质．
解 析 由 已 知 得 ， ， ． 令 ， 则
， 显 然 ， 即 单 调 递 减 ， 所 以 ， 即
，亦即 ， ．由 ，可得 ，而
学科网（北京）股份有限公司，所以 ，所以 ．综上可知 ．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分．
9．答案 AC
命题意图 本题考查抛物线的方程与性质．
解析 若∠MOF=45°，则 ，又 ，解得 或 ，故A正确，B
错 误 ； 由 抛 物 线 的 定 义 ， 得 ， 故 C 正 确 ； 由 余 弦 定 理 得
，故D错误．
10．答案 ABD
命题意图 本题考查三角函数的图象与性质．
解析 设 的最小正周期为 T，由图象可知 ， 解得 ，故
，则 ，将 代入解析式，得 ，所以
，所以 ，故A，B正确； ，故C
错 误 ； 即 为 ， 得 ， 得
，得 ，故D正确．
11．答案 BCD
命题意图 本题考查棱锥的结构以及棱锥与球的综合问题．
解析 由已知可得，四边形 ABCD 是上底为 1，下底为 2，底角为 60°的等腰梯形，所以
， ．
学科网（北京）股份有限公司对于A，当PD⊥底面ABCD时，四棱锥 的体积最大，最大体积为 ，故A错
误；对于B，在 中， ， ， ，用余弦定理可知 的取值
范围是 ，故B正确；
对于C，当PD⊥平面ABCD时，四棱锥 的外接球的半径等于 的外接圆的半径，此时外
接球的半径最小，为 ，故外接球的表面积的最小值为 ，故C正确；
对于D，设PB与平面PAD所成角为θ，当PD⊥平面ABCD时，计算可得 ，当
P靠近平面ABCD时，θ趋向于0，所以存在某个P点，使得 ，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．答案 25π
命题意图 本题考查圆的方程与性质．
解析 因为圆 C 的一条直径的两个端点分别在 x，y 轴上，所以该圆一定过原点 O．又圆 C 经过点
，所以当OM为圆C的直径时，圆C的面积最小，又 ．所以圆C的面积
最小值为 ．
13．答案
命题意图 本题考查概率的乘法公式．
解析 若乙射进1次，则他赢的概率为 ；若乙射进2次，则他赢的概率
为 ；若乙射进3次，则他赢的概率为 ．故乙赢的概率
为 ．
学科网（北京）股份有限公司14．答案
命题意图 本题考查椭圆与直线的位置关系．
解析 因为 的面积是 的面积的3倍，所以 ．设C的半焦距为 ，则直
线 l： ，联立方程可得 消去 x 得 ，则
， ， 又 ， 即
，化简可得 ，得 ，解得
．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．命题意图 本题考查独立性检验的应用以及超几何分布．
解析 （Ⅰ）由题可知 ，
因为 ，所以有99%的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异．
（Ⅱ）座谈的家长中更喜欢正装的人数为 ，更喜欢运动装的人数为 ．
由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，
则 ， ， ，
故X的分布列为
X 0 1 2
学科网（北京）股份有限公司P
所以X的数学期望 ．
16．命题意图 本题考查空间位置关系的推理与证明、二面角的计算．
解析 （Ⅰ）因为A是以BC为直径的圆O上异于B，C的点，所以 ，
因为PA⊥平面ABC，所以 ．
又 ，所以AB⊥平面PAC，
因为 ，所以 ，所以DE⊥平面PAC，
因为 平面PAC，所以 ．
（Ⅱ）分别以AC，AB，AP所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设 ， ， 则 点 ， ， ， ，
， 则 ， ， ，
设平面CDE的法向量为 ，
则 取 ．
设平面BCE的法向量为 ，
则 取 ．
学科网（北京）股份有限公司因为二面角 的正弦值为 ，
所以 ，
解得 或 （舍去）．
17．命题意图 本题考查双曲线的性质，双曲线与直线的位置关系．
解析 （Ⅰ）由题可知 ，
， ，
故C的方程为 ．
（Ⅱ）不能成立．
显 然 直 线 ， 的 斜 率 均 存 在 ， 设 直 线 的 方 程 为 ， 直 线 的 方 程 为
， ， ．（6分）
联立 与C的方程可得 得 ，
因为 与C的左、右支分别相交，所以 ，
同理 ，解得 或 ．（*）
因为 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司同理可得 ．
若 ，则 ，
只需 即可，解得 ， ，
显然 ， 都不符合（*）．
所以 不能成立．
18．命题意图本题考查利用导数研究函数的单调性．
解析由题可知 ，
即 ．
（I） ， ，则 ．
由 得 ， 即 或 ； 由 得 ， 即
．
因此 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．
（Ⅱ）若 具有单调性，则 不变号．
设 ，则 ，即 不变号，由于 ，因此 是二次函数．
若 在 恒成立，则 即 由于 ， ，所以该情形不成立．
若 在 恒成立，则 或
学科网（北京）股份有限公司即 或a ．
由于 ，因此 恒成立
当 时 ， （ 当 时 等 号 成 立 ） ， 当 时 ，
，因此 ，
故t的最小值为 ．
19．命题意图 本题考查数列的综合问题．
解析 （Ⅰ）因为 的各项均为正数，所以 ， ，
，
当 时， ， ，任取 即可，所以 为有界变差数列．
当 时， ，
若 ，则 ，令 即可，所以 为有界变差数列，
若 ，则 ，当 时， ，显然不存在符合条件的
M，故 不是有界变差数列．
综上，q的取值范围是 ．
（Ⅱ）由 ，可得 ，易知 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司因此 是首项为 ，公差为1的等差数列，
所以 ，即 ．
所以 ，
，
所以 是有界变差数列．
（Ⅲ）由有界变差数列的定义可知，
，
．
因 为
，
所以 ．
因此 ，
所以 是有界变差数列．
学科网（北京）股份有限公司
