2023—2024 年度高二年级下学期期末考试模拟卷
数学参考答案
1.D ∵A={x|0≤x≤2},∴ A={x|x<0或x>2}.∵B={x|x>0},∴( A)∩B={x|x>2}.
∁U ∁U
(i-1)2 -2i -2i(1-i)
2.B = = =-1-i.
1+i 1+i 2
2
3.B 因为a2=4,b2=9,所以a=2,b=3,所以该双曲线的渐近线方程为y=± x,即2x±3y=0.
3
a (1-q3)
4.C 因为S
2
=3a
2
,所以a
1
=2a
2
,所以公比q=1,所以 S 3= 1
1-q
= 1-q3 =7.
2 a q2(1-q)
3 a q2
1
a a-x
5.D f'(x)= -1= (x>0),令f'(x)>0,可得0<x<a.因为f(x)的单调递增区间是(0,2),所
x x
以a=2.
6.B 由散点图可知,y与x成线性相关,设回归方程为y=m+kx,
y m
由题意z= ,所以z= +k,对应B项最适合.
x x
7.C 设F为椭圆的左焦点,连接PF,PF.由椭圆的对称性可知,|PF|=|PF|,|PF|=|PF|,
1 2 1 3 1 2 1 8 3 1 7
所以|PF|+|PF|+|PF|+|PF|=4a=4×5=20.
2 3 7 8
8.A
{ lnx,x≥1,
y=|ln x|= 直线y=kx+2过点A(0,2),设P(t,ln t)(t≥1),
-lnx,0<x<1,
1 1
所以在P点处的y=ln x(x≥1)的切线方程为y-ln t= (x-t),即y= x-1+ln t,将点A(0,2)代
t t
入得2=-1+ln t,t=e3,P(e3,3).
ln e5=5,即Q(e5,5)在函数y=ln x(x≥1)的图象上,
3-2 1 5-2 3
k= = ,k= = .
AP e3-0 e3 AQ e5-0 e5
要使方程|ln x|=kx+2在区间(0,e5)上恰有3个不等实数根,
学科网（北京）股份有限公司则k∈(k,k),即k的取值范围是 3 ,1 .
AQ AP
e5 e3
105×(10×30-20×45)2
9.AD 由表格数据可得χ2= ≈6.1.又6.1>3.841,所以由参考数据
30×75×55×50
知能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效,故A项正确;又6.1>5.024,所以由参
考数据知能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效,故B项错误;又6.1<6.635,
所以由参考数据知不能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效,故C项错误;又
6.1<7.879,所以由参考数据知不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效,故D
项正确.
1 1 5
10.ACD
对于选项A,则P(X=3)=C3
3 1- 2= ,所以选项A正确;
5 2 2 16
对于选项B,因为随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),且P(x<4)=P(x>-2),
4-2
所以正态曲线的对称轴是x= =1,则μ=1,选项B错误;
2
n
对于选项C,由二项分布的方差公式,知D(ξ)=np(1-p)=n(-p2+p)≤ ≤1,故选项C正确;
4
对于选项D,由题意可知E(ξ)=p,D(ξ)=p(1-p)=-p2+p,
1
由一次函数和二次函数的性质知,当0<p< 时,E(ξ)随着p的增大而增大,D(ξ)随着p的增大
2
而增大,故选项D正确.
11.BCD
以D为坐标原点,DA,DC,DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AB=1,则
1
AA=2,A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A(1,0,2),B(1,1,2),C(0,1,2),D(0,0,2).
1 1 1 1 1
对于A选项, =(1,0,2), =(-1,-1,2),则 · =-1+4=3,故AD与BD不垂直,
⃗DA ⃗BD ⃗DA ⃗BD 1 1
1 1 1 1
进而可知BD与平面ACD不垂直,A选项错误.对于B选项,在正四棱柱ABCD -ABCD中,
1 1 1 1 1 1 1
A
1
B
1
∥CD∥C
1
D
1
且A
1
B
1
=CD=C
1
D
1
,∴四边形A
1
B
1
CD为平行四边形,∴B
1
C∥A
1
D,∵B
1
C⊄平面
ACD,AD 平面ACD,∴BC∥平面ACD,∴点P到平面ACD的距离为定值,又△ACD的面积
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
⊂
学科网（北京）股份有限公司为定值,故三棱锥P -ACD的体积为定值,B选项正确.对于C选项,∵AB∥AB,∴AB与AC所
1 1 1 1 1 1
成的角为∠BAC ,∵四边形ABCD为正方形,∴tan∠BAC=1,C选项正确.对于D选项,
1 1 1 1 1 1 ⃗B C
1
=(-1,0,-2), ⃗A C =(-1,1,0),cos ⃗B C , ⃗A C = ⃗B 1 C·⃗A 1 C 1 = 1 =√10,∴异
1 1 1 1 1 |⃗B C||⃗A C | √5×√2 10
1 1 1
√10
面直线BC与AC所成角的余弦值为 ,D选项正确.
1 1 1
10
12.-2 由题意,不妨取平面ABC的一个法向量n=(1,1,1).因为C(1,0,0),P(x,1,2),所以⃗CP
=(x-1,1,2).因为点P在平面ABC内,所以n· =x-1+1+2=x+2=0,解得x=-2.
⃗CP
13.30 由于线性回归方程＾=0.9x+12一定经过点(−,−),即＾=0.9x+12一定经过点(20,−),代
y x y y y
21+ y +39
入求得 − =30,设丢失的数据为y,由 − = 2 =30,得y=30.
y 2 y 2
3
25 1 1
14. 令y=1,得x= ,即A ,1 .由抛物线的光学性质可知直线AB经过焦点F,设直线AB
4 4 4
1
的方程为y=k(x-1),代入y2=4x,消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,则xx=1,所以x= =4,|AB|
A B B x
A
25
=x+x+p= .
A B
4
15.解:(1)依题意可得2×2列联表如下:
初中学生 高中学生 合计
满意 85 65 150
不满意 15 35 50
合计 100 100 200
200(85×35-15×65)2 32
所以χ2= = ≈10.667>3.841,
100×100×150×50 3
所以有95%的把握认为对兴趣小组的满意度与初、高中学生有关.
150 50
(2)满意的中学生抽取8× =6(人),不满意的学生中抽取8× =2(人),
200 200
依题意,X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)= C 6 0C 2 2 =1 ,P(X=1)= C1 6 C1 2=3,P(X=2)= C 6 2C 2 0 =15,
C2 28 C2 7 C2 28
8 8 8
所以X的分布列如下:
X 0 1 2
学科网（北京）股份有限公司1 3 15
P
28 7 28
1 3 15 3
所以E(X)=0× +1× +2× = .
28 7 28 2
16.解:(1)连接BF,∵点C,F是 ⏜ 的两个三等分点,
AB
∴BF∥OC,∴BF∥平面OCD,又CD、BE均为圆柱的母线,∴BE∥CD,
∴BE∥平面OCD,又BE∩BF=B,∴平面BEF∥平面OCD,
又EF 平面BEF,∴EF∥平面OCD.
(2)连接BC,∵AB是圆O的直径,∴AC⊥BC,
⊂
又CD为圆柱的母线,故CD,CA,CB两两垂直,
建立如图所示的空间直角坐标系,
由条件得D(0,0,4),A(2,0,0),C(0,0,0),O(1, ,0),E(0,2 ,4),M 1,3√3,2 ,
√3 √3
2 2
=(2,0,0), = 1,3√3,2 ,
⃗CA ⃗CM
2 2
设平面ACM的法向量n=(x,y,z),
1
{ n ·⃗CA=2x=0,
1
则
1 3√3
n ·⃗CM= x+ y+2z=0,
1 2 2
取y=4,得n=(0,4,-3 ),显然平面ACD的一个法向量 n=(0,1,0),
1 2
√3
∴cos<n 1 ,n 2 >= n 1 ·n 2= 4 =4√43,
|n||n | √43 43
1 2
4√43
故所求二面角D -AC -M的余弦值为 .
43
17.解:(1)X的所有取值为0,1,2,由题意知,
学科网（北京）股份有限公司P(X=0)= C2 4 C 2 0 =2,P(X=1)= C1 4 C1 2=8 ,P(X=2)= C0 4 C 2 2 =1 ,
C2 5 C2 15 C2 15
6 6 6
∴X的分布列为
X 0 1 2
2 8 1
Y
5 15 15
2 8 1 2
∴E(X)=0× +1× +2× = .
5 15 15 3
(2)对y=menx(m>0)两边取自然对数,得ln y=ln m+nx,设t=ln y,
6 − −
∑x t -6x t
i i 31.89-6×3.5×1.16
∴t=ln m+nx,∵n=i=1 = ≈0.43,
6 91-6×3.52
∑x2-6x2
i
i=1
−=ln m+n− ln m=−-0.43−=1.16-0.43×3.5≈-0.35,
t x t x
⇒
又e-0.35≈0.7047,∴m≈0.70,∴y=0.70·e0.43x.
{x2 y2
18.解:(1)由方程组 + =1,消去y并整理得4x2+6tx+3t2-12=0.
12 4
x- y+t=0
因为直线l与椭圆没有公共点,所以Δ=36t2-4×4×(3t2-12)<0,
解得t>4或t<-4,所以实数t的取值范围为(-∞,-4)∪(4,+∞).
(2)点P到直线l距离的最大值等价于与直线l平行且与椭圆C相切的直线与直线l间的距离.
由(1)知,直线l:x-y+4=0与直线l:x-y-4=0与椭圆C相切.
1 2
当l与l之间的距离为6 时,得 t-4 =6 ,解得t=-8或t=16(舍去);
1 √2 √2
√2
当l与l之间的距离为6 时,得 t+4 =6 ,解得t=8或t=-16(舍去).
2 √2 √2
√2
综上所述,所求直线l的方程为x-y-8=0或x-y+8=0.
学科网（北京）股份有限公司19.解:(1)f'(x)=(x-a)·ex-1,令f'(x)=0,得x=a或x=0.
ex
当a>0时,由f'(x)>0,得x>a或x<0,由f'(x)<0,得0<x<a.
所以f(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增;在(0,a)上单调递减.
当a=0时,由f'(x)=x(ex-1)>0,得x∈R,
ex
所以f(x)在R上单调递增.
当a<0时,由f'(x)>0,得x<a或x>0;由f'(x)<0,得a<x<0.
所以f(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减.
综上所述,当a>0时,f(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减;当a=0时,
f(x)在R上单调递增;
当a<0时,f(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减.
(2)(i)当a∈(0,1)时,g(x)=f(x)-f(0)=f(x)+a-1,
g(x)与f(x)的单调性相同,
由(1)知,当a∈(0,1)时,g(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,
所以g(a)<g(0)=f(0)-f(0)=0,
a+3
g(2a+2)=f(2a+2)-f(0)= +2a+2>0,
e2a+2
所以函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的零点.
x 1
(ii)设h(x)=ex- -1,则h'(x)=ex- .
1-a 1-a
由h'(x)>0,得x>-ln(1-a);由h'(x)<0,得0<x<-ln(1-a).
所以h(x)在(0,-ln(1-a))上单调递减,在(-ln(1-a),+∞)上单调递增.
x
又因为h(0)=0,所以要证明当x∈(0,x)时,ex< +1,即证h(x)<h(0),
0 1-a
只要证明h(x)≤0,即证 ≤ x +1,即证x +1-a≥1-a.
0 ex
0
0 0
1-a ex
0
学科网（北京）股份有限公司因为f(x)=f(0),即1 -ax+x +1-a=1-a,
0 x2 0 0
2 0 ex
0
所以只要证明1 -ax+x +1-a≤x +1-a,即证x≤2a.
x2 0 0 0 0
2 0 ex
0
ex
0
因为f(x)在(a,+∞)上单调递增,所以只需证明f(x)≤f(2a).
0
因为f(x)=f(0),所以只需证明f(2a)≥f(0).
0
a+1 a+1
因为f(2a)-f(0)= -(1-a),设φ(a)= -1,a∈(0,1),
e2a (1-a)e2a
则φ'(a)=
2a2
>0,所以φ(x)在(0,1)上单调递增,
(1-a)2e2a
所以φ(a)>φ(0)=0,所以f(2a)>f(0),得证.
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