文档内容
2024 年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（三）
数 学
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B铅笔
在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1.设集合 ， ，则
A． B． C． D．
2.在复平面内，复数 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
A．1 B．2 C．4 D．6
4.设 是两个不同平面， 是两条不同直线，则 的一个充分条件是
A． B．
C． D． 与 相交
5.已知双曲线 （ ）的左、右焦点分别为 ， ，且 与抛物线 （ ）
的焦点重合，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于 点，若 ，则双曲线的离心率为
A． B．3 C． D．
6.已知 ， ，且 ，则
数学试卷 第 1 页 （共4页）A． B．
C． D．
7.已知半径为 的球 的球心到正四面体 各个顶点的距离都相等，若正四面体 与球 的球
面有公共点，则正四面体 的棱长的取值范围为
A． B． C． D．
8.在△ 中，角 的对边分别为 ，若 的平分线 的长为 ，则
边上的中线 的长等于
A．
B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知变量 和变量 的一组成对样本数据 的散点落在一条直线附近， ，
，相关系数为 ，线性回归方程为 ，则
A．当 越大时，成对样本数据的线性相关程度越强
B．当 时，
C．当 时，成对样本数据 的相关系数 满足
D．当 时，成对样本数据 的线性回归方程 满足
参考公式： ， .
数学试卷 第 2 页 （共4页）10.设函数 ，则（ ）
A．函数 的单调递增区间为
B．函数 有极小值且极小值为
C．若方程 有两个不等实根，则实数m的取值范围为
D．经过坐标原点的曲线 的切线方程为
数学试卷 第 3 页 （共4页）11.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 , 在 上（ 在第一象限），点 在 上，以
为直径的圆过焦点 ， ，则
A．若 ，则 B．若 ，则
C． 的面积最小值为 D． 的面积大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若 ，则 = ．
13.选手甲和乙进行乒乓球比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，采用五局三胜
制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为 ．
14.已知 ≥ ，若关于 的不等式 有整数解，则 的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
已知数列 的前 项和为 ，数列 是公差为 的等差数列，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若存在 ，使得 ≥ 成立，求实数 的取值范围．
16.（15分）
在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ，三棱
锥 的体积为 ，平面 与平面 的交线为 .
（1）求四棱锥 的体积，并在答卷上画出交线 （注意保留作图痕迹）.
（2）若 ， ,且平面 平面 ，在 上是否存在点 ，使平面
数学试卷 第 4 页 （共4页）与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，求 的长度；若不存在，请说明理由．
17.（15分）
在第二十五届中国国际高新技术成果交易会上，中国科学院的科研团队带来了可以在零下70摄氏度
到零上80摄氏度范围内正常使用的宽温域锂电池，为新能源汽车在冬季等极端温度下的使用提供了技术
支撑．中国新能源汽车也在科研团队的努力下，在世界舞台上扮演着越来越重要的角色．已知某锂电池
生产商对一批锂电池最低正常使用零下温度进行了检测，得到如下频率分布直方图．
（1）求最低正常使用零下温度的第60百分位数；
（2）以抽样检测的频率作为实际情况的概率：
①若随机抽取3块电池，设抽到锂电池最低正常使用零下温度在 的数量为 ，求 的分布列；
②若锂电池最低正常使用零下温度在 之间，则为 类锂电池．若以抽样检测的频率作为实际
情况的概率，从这批锂电池中随机抽取10块，抽到 块为“ 类锂电池”的可能性最大，试求 的值．
18.（17分）
将 上各点的纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），所得曲线为E．记 ，
，
过点 的直线与E交于不同的两点A，B，直线QA，QB与E分别交于点C，D．
（1）求E的方程；
数学试卷 第 5 页 （共4页）（2）设直线AB，CD的倾斜角分别为 ， ，求 的值．
19.（17分）
已知函数 ．
（1）若 ≥ 对于任意 恒成立，求a的取值范围；
（2）若函数 的零点按照从大到小的顺序构成数列 ， ，证明： ；
（3）对于任意正实数 ，证明： ．
数学试卷 第 6 页 （共4页）
