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数学（文）答案
一． 选择题：（每小题5分,共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C D B A D B B A C C B
二：填空题：（每小题5分,共20分）
3π 2
13、 14、 15、 ±❑√15 16、 3
4 5
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．(本小题满分12分)
解 (1)由题意知，样本中仅乘坐 A的员工有 27＋3＝30(人)，仅乘坐 B的员工有 24＋1＝
25(人)，A，B两种交通工具都不乘坐的员工有5人．
故样本中A，B两种交通工具都乘坐的员工有100－30－25－5＝40(人)．
40
估计该公司员工中上个月A，B两种交通工具都乘坐的人数为 ×1 000＝400.
100
. …………………………4分
(2)记事件C为“从样本仅乘坐B的员工中随机抽取1人，该员工上个月的交通费用大于 600
1
元 ” ， 则 P(C) ＝ ＝ 0.04.
25
…………………………7分
(3)记事件E为“从样本仅乘坐 B的员工中随机抽查 1人，该员工本月的交通费用大于 600
元”．
假设样本仅乘坐B的员工中，本月的交通费用大于600元的人数没有变化，
则由(2)知，P(E)＝0.04. …………………………10分
答案示例1：可以认为有变化．理由如下：
P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月交通费
用大于600元的人数发生了变化．所以可以认为有变化． …………………………12
分
答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确
学科网（北京）股份有限公司定有没有变化． …………………………12
分
18.(本小题满分12分)
解:(1)设BC=a, …………………………2分
…………………4分
…………………………6分
(2)
,
因为 ,所以BD=2,即BC=4…………………………9分
,.…………………………11分
所以 ，即∆ABC的周长的最大值为 ………………………12分
19.(本小题满分12分)
P
(1)证明:连结AC,BD,设AC∩BD=O,
因为底面ABCD为平行四边形,则O为AC,BD的中点.
E
D C
因为PA=PC所以AC⊥PO…………………2分
O
A B
学科网（北京）股份有限公司又AC⊥PB,PB∩PO=P,PO⊆平面PBD,PB⊆平面PBD
所以AC⊥平面PBD.…………………4分
又BD⊆平面PBD,所以AC⊥BD,
所以四边形ABCD为菱形…………………6分
方法一：（反正法）假设AE∥面PDC,
(2)
因为AB∥CD, ,所 以A∥B平面PDC,…………………8分
又
所以 平面PAB∥平面PDC. …………………10分
这显然与平面PAB与平面PDC有公共点P所矛盾.
所以假设错误,即AE不可能与面PCD平行.…………………12分
方法二：
又
…………………8分
…………………10分
…………………11分
学科网（北京）股份有限公司AE不可能与平面PCD平行…………………12分
20.(本小题满分12分)
解:(1) …………………1分
…………………4分
…………………5分
(2)
, …………………7分
………………9分
学科网（北京）股份有限公司…………………11分
…………………12分
21.(本小题满分12分)
( ❑√3)
解:(1)易知抛物线 的焦点为A(0,-1)则b＝1，将 1, 代入椭圆C的方程，
2
解得a＝2. 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.…………………………3分
(2)ⅰ).当直线PQ的斜率不存在时可设P(x ，y ), Q(x ，-y ),又A(0,-1)
1 1 1 1
由 得 ,而这与 矛盾
所以直线PQ的斜率存在．
设直线PQ的方程为y＝kx＋m，P(x ，y )，Q(x ，y )．
1 1 2 2
{y＝kx+m
由 X2 消去y，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
+ y2＝1
4
当Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)＝16(4k2－m2＋1)>0时，
x ＋x ＝－， x x ＝. ①
1 2 1 2
则y y ＝(kx ＋m)(kx ＋m)＝k2x x ＋km(x ＋x )＋m2＝－＋m2＝. ②
1 2 1 2 1 2 1 2
y y ＝k(x ＋x )＋2m= ③
1+ 2 1 2
由 得 ④.…………………………6分
将①②③式代入④解得m= -1,或m=3
因为直线PQ不能经过点A，所以m=3.…………………………7分
所以直线PQ方程为y＝kx＋3，所以直线PQ经过定点(0，3).…………………………8分
ⅱ) 设直线PQ经过的定点为M(0，3)
此时由Δ＝16(4k2－m2＋1)＝16(4k2－8)>0，得k2>2
学科网（北京）股份有限公司当 时 ， , （ 由 向 量 平 行 的 充 要 条 件 得 出 此 结 论 ， 亦
可）…………………………9分
由 解得 满足k2>2..…………………………11分
此时直线PQ的方程为: …………………………12分
(二）选考题:共10分.请考生 在第22ˎ23题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计
分.作答时请先涂题号.
22.(选项4-4 坐标系与参数方程）（本小题满分10分）
(1) .…………………………2分
解得: 或
.…………………………3分
则曲线 与曲线 的交点的极坐标为 .…………………………4分
所以 与曲线 的交点的直角坐标为 …………………5分
注：本题其它做法按步骤酌情给分.
(2)设 为曲线 上的点,则 必在曲线 上, .…………………………7分
学科网（北京）股份有限公司将 代入曲线 的极坐标方程
,化为直角坐标方程为
得
所以曲线 的直角坐标方程为 .…………………………10分
23. (选项4-5 不等式选讲）（本小题满分10分）
解:(1)
所以 的最小值为3 .…………………………5分
y
(2)
3
x
O
做出其图象如图,
因为 图像与Y轴交点的纵坐标为3,且各部分直线斜率最大值为4,
所以当且仅当 时 在 恒成立
所以 .…………………………10分
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