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3.2.1 双曲线
思维导图常见考法
考点一 双曲线的定义
【例1】（1）（2020·日喀则市拉孜高级中学高二期末（文））到两定点 的距离之差的
绝对值等于6的点 的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段
（2）（2020·甘肃省民乐县第一中学高三其他（理））已知双曲线 的上、下焦点分别为
， ，点P在双曲线C上，若 ，则 （ ）
A．38 B．24 C．38或10 D．24或4
【答案】（1）B（2）B
【解析】（1）∵到两定点F（﹣3，0）、F（3，0）的距离之差的绝对值等于6，
1 2
而|FF|＝6，∴满足条件的点的轨迹为两条射线．故选B．
1 2
（2）由题意可得 ， ， ，因为 ，所以点P在双曲线C的下支上，
则 ，故 ．故选：B.
【一隅三反】
1．（2020·广东濠江.金山中学高三三模（文））已知 ，则动点 的轨
迹是（ ）A．一条射线 B．双曲线右支 C．双曲线 D．双曲线左支
【答案】A
【解析】因为 ，故动点 的轨迹是一条射线，其方程为： ，故选A.
2（2020·浙江杭州.高二期末）已知平面中的两点 ，则满足 的
点M的轨迹是 （ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．一条线段 D．两条射线
【答案】B
【解析】由题意得： ，且 =4,因为 ，因此符合双曲线的定义，故点M的轨迹是
双曲线，故选：B.
3．（2020·浙江瓯海.温州中学高二期末）双曲线 的左右焦点分别为 ， ，点在 双曲线上，
若 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【解析】双曲线 的 ，
点在 双曲线的右支上，可得 ，
点在 双曲线的左支上，可得 ，
由 可得 在双曲线的左支上，可得 ，即有 . 故选：B.
考点二 双曲线定义的运用
【例2】（1）（2020·江西高二期末（文））已知双曲线 ，直线l过其左焦点 ，交双曲线左支于A、B两点，且 ， 为双曲线的右焦点， 的周长为20，则m的值为 （ ）
A．8 B．9 C．16 D．20
(2)（2020·四川南充.高二期末（理））设 分别是双曲线 的两个焦点，P是该双曲线上的
一点，且 ，则 的面积等于
A． B． C． D．
【答案】（1）B(2)D
【解析】（1）由已知，|AB|+|AF|+|BF|＝20，又|AB|＝4，则|AF|+|BF|＝16．
2 2 2 2
据双曲线定义，2a＝|AF|﹣|AF|＝|BF|﹣|BF|，所以4a＝|AF|+|BF|﹣（|AF|+|BF|）＝16﹣4＝12，
2 1 2 1 2 2 1 1
即a＝3，所以m＝a2＝9，故选B．
(2)设 ，则由双曲线的定义可得
故 ，又 ，
故 ，故 ，
所以 的面积为 .故选：D.
求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)方法一：
①根据双曲线的定义求出||PF|－|PF||＝2a；
1 2
②利用余弦定理表示出|PF|，|PF|，|FF|之间满足的关系式；
1 2 1 2
③通过配方，利用整体的思想求出|PF|·|PF|的值；
1 2
④利用公式 ＝×|PF|·|PF|sin∠FPF求得面积．
1 2 1 2
(2)方法二：利用公式 ＝×|FF|×|y|(y为P点的纵坐标)求得面积．
1 2 P P
【一隅三反】1．（2020·宁夏兴庆.银川九中）已知 是双曲线 的两个焦点，点 为该双曲线上
一点，若 ，且 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【解析】双曲线 化为标准方程可得 即
由双曲线定义可知 ,所以 ,
又因为 ,所以 ,
由以上两式可得 ,由 得 ,
所以 ,解得 ,故选:A.
2．（2020·武威第八中学高二期末（理））已知双曲线 : 的左右焦点分别为 , 为 的
右支上一点,且 ,则 的面积等于
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵双曲线 中 ∴∵ ∴
作 边上的高 ，则 ∴
∴ 的面积为 故选C
3．（2020·吉林松原）已知点 是双曲线 上一点， ， 分别为双曲线的左､右焦点，若
的外接圆半径为4，且 为锐角，则 （ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【解析】依题意， .
在三角形 中， ，由正弦定理得 ，
即 ，由于 为锐角，所以 .
根据双曲线的定义得 .
在三角形 中，由余弦定理得 ，即 ，
即 ，
即 ，所以 .
故选：B
【例2-2】（2020·安徽贵池。池州一中高二期末（理））方程 表示双曲线的充分
不必要条件是（ ）
A． 或 B． C． D． 或
【答案】C
【解析】方程 表示双曲线，可得 ，解得 或 ；
记集合 或 ；所以方程 表示双曲线的充分不必要条件为集合 的真子集，
由于 ，故选： ．
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）若m为实数，则“ ”是“曲线C： 表示双曲线”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若方程 表示双曲线，
则 ，得 ，
由 可以得到 ，故充分性成立；
由 推不出 ，故必要性不成立；则“ ”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件，故选： ．
2．（2020·辽宁高三其他（理））若 ，则 是方程 表示双曲线的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为方程 表示双曲线，
所以 ，解得 ，
因为 ，
所以 是方程 表示双曲线的必要不充分条件，
故选：B
3．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二期末（文））若曲线 表示焦点在 轴上
的双曲线，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】把曲线 转化为 ，
因为曲线表示焦点在 轴上的双曲线，
所以 ，即 ，解得 .
故选：B.
考点三 双曲线标准方程【例3】（2019·吴起高级中学高二期末（理））在下列条件下求双曲线标准方程
（1）经过两点 ；
（2） ，经过点 ，焦点在 轴上.
(3)过点(3，－ )，离心率e＝ ；
(4)中心在原点，焦点F，F 在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－ )．
1 2
【答案】（1） ;（2） （3） ； （4） .
【解析】（1）由于双曲线过点 ，故 且焦点在 轴上，设方程为 ，代入 得
，解得 ，故双曲线的方程为 .
（2）由于双曲线焦点在 轴上，故设双曲线方程为 .将点 代入双曲线方程得
，解得 ，故双曲线的方程为 .
(3)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为 (a＞0，b＞0)．
因为双曲线过点(3，－ )，则 .①
又e＝ ，故a2＝4b2.②由①②得a2＝1，b2＝ ，故所求双曲线的标准方程为 .
若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为 (a＞0，b＞0)．
同理可得b2＝－ ，不符合题意．
综上可知，所求双曲线的标准方程为 .
(4)由2a＝2b得a＝b，所以 e＝ ，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．因为双曲线
过点P(4，－ )，所以 16－10＝λ，即λ＝6.
所以 双曲线方程为x2－y2＝6.所以 双曲线的标准方程为 .
用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：
【一隅三反】
1．（2019·重庆大足）焦点在 轴上，实轴长为4，虚轴长为 的双曲线的标准方程是( )A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为双曲线的实轴长是 ，虚轴长是 所以 ， 所以
所以双曲线的标准方程是 故选：A
2．（2020·四川高二期末（文））已知离心率为2的双曲线 与椭圆
有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 双曲线 与椭圆 有公共焦点由椭圆 可得
双曲线离心率 ，
双曲线的方程为： 故选：C
3．（2020·河南林州一中高二月考（理））已知双曲线 的一条渐近线方程为
， 为该双曲线上一点， 为其左、右焦点，且 ， ，则该双曲线的
方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则由渐近线方程为 ， ，
又 ，
所以
两式相减，得 ，
而 ，所以 ，
所以 ，所以 ， ，
故双曲线的方程为 .
故选：D
4．（2020·全国）已知 是双曲线 的左焦点，过 作一条渐近线的垂线
与右支交于点 ，垂足为 ，且 ，则双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】设双曲线右焦点为 ，连接 ，
左焦点 到渐近线 的距离为 ，
故 ，
在 中， ，由双曲线定义得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，即 ，
又 ，解得 ， ，
双曲线方程为 .
故选：D.
考点四 渐近线
【例4】（2020·湖南开福）已知 、 分别为双曲线 的左、右焦点，点 在 上，
，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意， 、 分别为双曲线 的左、右焦点，点 在 上，
且满足 ，可得 ， ， ，
由双曲线的定义可知 ，即 ，又由 ，所以双曲线的渐近线方程为 .故选：C.
【一隅三反】
1．（2020·浙江柯桥）双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线 的渐近线方程满足 ，整理可得 .故选：A.
2．（2020·邢台市第八中学高二期末）双曲线 的顶点到渐近线的距离是__________.
【答案】
【解析】双曲线的标准方程为 ，故双曲线顶点为 ，渐近线方程为 .点 到
直线 的距离为 .故填 .
3．（2020·云南省下关第一中学）已知双曲线 以椭圆 的焦点
为顶点，左右顶点为焦点，则 的渐近线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知 的焦点坐标为 ，顶点为 ，故渐近线方程为 .故选:A.
5．（2020·全国高三三模（文））已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线 的右支上，点 ．若 周长的最小值为 ，则双曲线
的渐近线方程为________．
【答案】
【解析】 的周长为
，
故 ，而 ，故 ，所以双曲线 的渐近线方程为 ．
故答案为：
