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专题 07 数列专题（数学文化）
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、
雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之
和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈＝十尺＝一百寸）（
）．
A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸
【答案】B
【分析】十二个节气日影长构成一个等差数列 ，利用等差数列通项公式、前 项和公式列出方程组，
求出首项和公差，由此能求出芒种日影长．
【详解】由题意知：
从冬至日起，依次小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列 ，设公差为 ，
冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，
，解得 ， ，
芒种日影长为 （寸） 尺5寸．
故选：B
2．（2022秋·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，
现为世界非物质文化遗产之一.某洞窟的浮雕共 层，它们构成一幅优美的图案.若从下往上计算，从第二层
开始，每层浮雕像的个数依次是下层个数的 倍，且第三层与第二层浮雕像个数的差是 ，则该洞窟的浮
雕像的总个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设从上到下第 层的浮雕像个数为 ，分析可知数列 为等比数列，且公比为
，根据已知条件求出 的值，利用等比数列求和公式可求得结果.【详解】设从上到下第 层的浮雕像个数为 ，
由题意可知，数列 为等比数列，且该数列的公比为 ，
由已知可得 ，可得 ，故 ，
因此，该洞窟的浮雕像的总个数为 .
故选：A.
3．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之
一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的
是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．30
【答案】B
【分析】设五个人所分得的面包为 ， ， ， ， ，（其中 ），则由总和为100
可求得 ，再由较大的三份之和的 是较小的两份之和，可得 ，从而可求出 ，进而可求出
【详解】设五个人所分得的面包为 ， ， ， ， ，（其中 ），
则有 ，
∴ ，
由 ，得 ；
∴ ，
∴ ．
∴最少的一份为 .
故选：B
4．（2022·河北邯郸·统考模拟预测）位于丛台公园内的武灵丛台已经成为邯郸这座三千年古城的地标建筑，
丛台上层建有据胜亭，其顶部结构的一个侧面中，自上而下第一层有 块筒瓦，以下每一层均比上一层多
块筒瓦，如果侧面共有 层筒瓦且顶部 个侧面结构完全相同，顶部结构共有多少块筒瓦？（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意知每层筒瓦数构成等差数列 ，由等差数列求和公式可求得每一面的筒瓦总数，由此可
得四个侧面筒瓦总数.
【详解】 一个侧面中，第一层筒瓦数记为 ，自上而下，由于下面每一层比上一层多 块筒瓦，
每层筒瓦数构成等差数列 ，其中 ， .
一个侧面中共有 层筒瓦， 一个侧面筒瓦总数是 ，
顶层四个侧面筒瓦数总和为 .
故选：C.
5．（2023·全国·高三专题练习）如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家
级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2
中的九宫格，将自然数1，2，3，…， 放置在n行n列 的正方形图表中，使其每行、每列、每条
对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n阶幻方”．洛书就是一个3
阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（ ）图1 图2
A．91 B．169 C．175 D．180
【答案】C
【分析】根据“幻和”的定义，将自然数1至 累加除以n即可得结果.
【详解】由题意，7阶幻方各行列和，即“幻和”为 .
故选：C
6．（2022·全国·高三专题练习）斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化
学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：
已知 是该数列的第100项，则m=（ ）
A．98 B．99
C．100 D．101
【答案】B
【分析】根据题意推出 ， ， ， ，利用累加法可得 ，即可求出m的值.
【详解】由题意得， ，因为 ，
得 ，
，
，
，
累加，得 ，
因为 是该数列的第100项，
即 是该数列的第100项，所以 .
故选：B.
7．（2022春·河南南阳·高二校联考阶段练习）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所
示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第
50层球的个数为（ ）
A．1255 B．1265
C．1275 D．1285
【答案】C
【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的个数与层数的关系，得到 ，进而求解结
论．【详解】解：设各层球的个数构成数列 ，
由题意可知， ， ， ， ， ，
故 ，
，
故选：C．
8．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学统考阶段练习）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，
亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间 平均分
成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间 和 ；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三
段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间： ， ， ， ；如此不断的构造下去，最后
剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历 步构造后， 不属于剩下的闭区间，则 的最小值是
（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】根据三分康托集的构造过程可知：经历第 步，每个去掉的开区间以及留下的闭区间的区间长度
都是 ，根据规律即可求出 属于 ，进而根据不等式可求解.
【详解】 不属于剩下的闭区间， 属于去掉的开区间经历第 步，剩下的最后一个区间为 ，经历第 步，剩下的最后一个区间为 ，……，
经历第 步，剩下的最后一个区间为 ，去掉的最后开区间为
由 化简得 ，解得
故选:A
9．（2022春·江苏南通·高二统考期末）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法．
这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下头一个2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数
中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处
理；……，依次进行同样的剔除．剔除到最后，剩下的便全是素数．在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到
30的全部素数过程中剔除的所有数的和为（ ）
A．333 B．335 C．337 D．341
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出2到30的全部整数和，再求出2到30的全部素数和即可计算作答.
【详解】2到30的全部整数和 ，2到30的全部素数和
，
所以剔除的所有数的和为 .
故选：B
10．（2022·全国·高三专题练习）谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，
有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为 的分数（称为埃及分
数）．则下列埃及分数 、 、 、 、 的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用裂项相消法可求得结果.【详解】当 时， ，
因此，
.
故选：C.
11．（2022春·四川资阳·高一统考期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，书中有这样一个问题：九百
九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．
意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子
为止．分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传．据此，前五个孩子共分得的棉花斤数为（ ）
A．362 B．430 C．495 D．645
【答案】C
【分析】设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列 ，由题设求得其首项与公差，即可求得结果．
【详解】解：设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列 ，
由题意知：公差 ，
又 ，解得 ，
故 .
故选：C．
12．（2022秋·江苏淮安·高三校考阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.
十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、
申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，
天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，
以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”
重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（ ）
A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年
【答案】A【分析】将天干和地支分别看作等差数列，结合 ， ，分别求出100年后天干为
壬，地支为午，得到答案.
【详解】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，
由于 ，余数为0，故100年后天干为壬，
由于 ，余数为4，故100年后地支为午，
综上：100年后的2122年为壬午年.
故选：A
13．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算
法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所以论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差
并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为
“垛积术”，现有高阶等差数列，其前6项分别为1，5，11，21，37，61，……则该数列的第8项为（
）
A．99 B．131 C．139 D．141
【答案】D
【分析】根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.
【详解】设该高阶等差数列的第8项为 ，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得
到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：
根据规律补全：
由图可得 ，则 .
故选：D
14．（2023春·广西柳州·高三统考阶段练习）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊、猪食人苗，苗主
责之粟9斗，猪主曰：“我猪食半羊．”羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊、猪吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿9斗粟，猪主人说：
“我猪所吃的禾苗只有羊的一半．”羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所
吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，牛、马、羊、猪的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，
马主人比猪主人多赔偿了（ ）斗．
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】转化为等比数列进行求解，设出未知数，列出方程，求出马主人比猪主人多赔偿了斗数.
【详解】由题意得：猪、羊、马、牛的主人赔偿的粟斗数成等比数列，公比为2，
设猪的主人赔偿的粟斗数为 ，
则 ，解得： ，
故马主人赔偿的粟斗数为 ，
所以马主人比猪主人多赔偿了斗数为 .
故选：B
15．（2021秋·河南商丘·高二校联考期中）《莉拉沃蒂》是古印度数学家婆什迦罗的数学名著，书中有下
面的表述：某王为夺得敌人的大象，第一天行军 由旬（由旬为古印度长度单位），以后每天均比前一天
多行相同的路程，七天一共行军 由旬到达地方城市.下列说法正确的是（ ）
A．前四天共行 由旬
B．最后三天共行 由旬
C．从第二天起，每天比前一天多行的路程为 由旬
D．第三天行了 由旬
【答案】D
【分析】由题意，每天行军的路程 为等差数列，且 ， ，利用基本量 表示可得
，依次分析，即得解
【详解】由题意，不妨设每天行军的路程为数列 ，则又以后每天均比前一天多行相同的路程，故 构成一个等差数列，不妨设公差为
七天一共行军 由旬，即
故 ，解得
，A错误；
，B错误；
由于 ，故从第二天起，每天比前一天多行的路程为 由旬，C错误；
，D正确
故选：D
16．（2022·全国·高三专题练习）“垛积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨
辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等．某仓库中
部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层
是n件． 已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的 ．若这堆货物总价是
万元，则n的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B【分析】先依次求出各层货物总价，再利用裂项抵消法进行求解.
【详解】由题意，得第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为 万元，
第三层货物总价为 万元，……，第 层货物总价为 万元.
设这堆货物总价为 万元，
则
，
两式相减，得 ，
即 ，
则 ，
令 ，
得 .
故选：B.
17．（2021秋·吉林松原·高二长岭县第三中学校考阶段练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3
再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈
1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数 ，根据上述
运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出
冰雹猜想的递推关系如下：已知数列 满足： （ 为正整数）， ，则
当 时，则使 需要的雹程步数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B【分析】直接利用递推关系逐步计算可得 使得需要多少步雹程.
【详解】解：根据题意，当 ，根据上述运算法则得出42→21→64→32→16→8→4→2→1，
所以共需经过8个步骤变成1，故使 需要的雹程步数为8.
故选：B
18．（2022·全国·高三专题练习）意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论
的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列 满足 ， ，
.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n
项所占的格子的面积之和为 ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为 ，则其中不正确结论
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】A选项由前 项所占格子组成长为 ，宽为 的矩形即可判断；B选项由
结合累加法即可判断；C选项通过特殊值检验即可；D选项表示出 ，作差即可判断.
【详解】由题意知：前 项所占格子组成长为 ，宽为 的矩形，其面积为
，A正确；
，以上各式相加得，
，化简得 ，即
，B正确；
，C错误；
易知 ， ，D正确.
故选：C.
19．（2023·全国·高三专题练习）如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外
作正方形而得到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以
此类推，记第n代“勾股树”中所有正方形的个数为 ，数列 的前n项和为 ，若不等式
恒成立，则n的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据第1代“勾股树”，第2代“勾股树”中，正方形的个数，以此类推，得到第n代“勾股树”中所有正方形的个数，即 ，从而得到 求解.
【详解】解：第1代“勾股树”中，正方形的个数为 ，第2代“勾股树”中，正方形的个数为
，…，
以此类推，第n代“勾股树”中所有正方形的个数为 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以数列 为递增数列，
又 ， ，
所以n的最小值为9．
故选：C．
20．（2022·海南省直辖县级单位·统考三模）北宋数学家贾宪创制的数字图式（如图）又称“贾宪三角”，
后被南宋数学家杨辉引用、n维空间中的几何元素与之有巧妙联系、例如，1维最简几何图形线段它有2个
0维的端点、1个1维的线段：2维最简几何图形三角形它有3个0维的端点，3个1维的线段，1个2维的
三角形区域；……如下表所示.从1维到6维最简几何图形中，所有1维线段数的和是（ ）
元素维度
0 1 2 3 …
几何体维度
（线段） 2 1
（三角形） 3 3 1
（四面体） 4 6 4 1
… … … … … …
A．56 B．70 C．84 D．28
【答案】A
【分析】根据题意可得 ，可求得 ，即可求解.【详解】设从1维到 维最简几何图形的1维线段数构成数列 ，
由题意可得 ， ， ，…，
以此类推，可得 ，
所以
，
所以 .
故选：A.
21．（2023·全国·高三专题练习）大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”
的推论.其前 项为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，通项公式为 ，若
把这个数列 排成下侧形状，并记 表示第 行中从左向右第 个数，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】确定 在数列 中的项数，结合数列 的通项公式可求得结果.
【详解】由题可知，设数阵第 行的项数为 ，则数列 是以 为首项，公差为 的等差数列，
数列 的前 项和为 ，所以， 是数列 的第 项，因此， .
故选：D.
22．（2022·全国·高三专题练习）在归国包机上，孟晚舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道
“过去的1028天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的
1028天，山重水复，不知归途在何处．”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抹绚丽的中国红，
燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途．”下列数列 中，
其前n项和不可能为1028的数列是（ ）
(参考公式： )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用等差数列、等比数列的前 项和公式以及参考公式求数列 前 项和 ，令 ，看
是否有正整数解即可判定选项A、B、D的正确性；通过分类讨论分别求出 和 ，然后可得到 ，
令 ，看是否有正整数解即可选项C的正确性．
【详解】设数列 的前 项和为 ，
对于A：由等差数列的前 项和公式，得：
，
因为方程无正整数解，即选项A错误；
对于B：不妨令 ， ，
数列 和 的前 项和分别为 和 ，则 ， ，
由参考公式和等差数列的前 项和公式，得：
，
，
所以 ，
解得 ，即选项B正确；
对于C：①当 时，
，故此时 ；
②当 时，
令 ，解得 ，
即 时， ，
即选项C正确；
对于D：由等比数列的前 项和公式可知，
，解得 ，即选项D正确．
故选：A．
23．（2023·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用
于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数
量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、
24、32、40、50，则此数列的第21项是（ ）
A．200 B．210 C．220 D．242
【答案】C
【分析】由数列奇数项的前几项可归纳出奇数项上的通项公式，从而得到答案.
【详解】根据题意，数列的前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，其中奇数项为0、4、
12、24、40，有
故其奇数项上的通项公式为 故 ，
故选：C
24．（2022春·云南红河·高二弥勒市一中校考阶段练习）斐波那契数列（Fibonacci Sequence）又称黄金分
割数列，因数学家列昂纳多，斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子
数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列 满足： ，现
从数列的前2022项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依次写出数列各项除以3所得余数，寻找后可得结论.
【详解】根据斐波那契数列的定义，数列各项除以3所得余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，
2，…，余数数列是周期数列，周期为8， ，所以数列的前2022项中能被3整除的项有
，所求概率为 ，
故选A．
25．（2022·高二课时练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一
个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为 ，则 （ ）
A．55 B．58 C．60 D．62
【答案】A
【分析】 表示第n行中的黑圈个数，设 表示第n行中的白圈个数，由题意可得
，根据初始值，由此递推，不难得出所求.
【详解】已知 表示第n行中的黑圈个数，设 表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的
一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，
∴ ，
又∵ ;
;
;
;
;
,
故选：A.
26．（2022·全国·高三专题练习）如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦
间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 ，第n根弦（ ，从左数第1根弦在y轴上，称为第0根
弦）分别与雁柱曲线和直线 交于点 （ ， ）和 （ ， ），则 ( )
参考数据：取 .
A．814 B．900 C．914 D．1000
【答案】C
【分析】求出 ，用错位相减法求和即可.
【详解】由条件可得 ①，
所以 ②，
－②得：
，
，
所以 .
故选：C.
27．（2022秋·陕西渭南·高二校考期中）图1是中国古代建筑中的举架结构， ， ， ， 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中 ， ， ，
是举， ， ， ， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ， ， ，
，已知 ， ， 成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】B
【分析】设 ，则可得关于 的方程，求出其解后可得正确的选项
【详解】设 ，则 ，
依题意，有 ，且 ，
所以 ，故 ，
故选：B
28．（2022秋·陕西咸阳·高二校考阶段练习）《张邱建算经》记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次
日减半，疾七日，行七百里”，意思是“有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，
连续走了7天，共走了700里”．在上述问题中，此马第二天所走的路程大约为（ ）
A．170里 B．180里 C．185里 D．176里
【答案】D
【分析】根据题意，可知此马每天走的路程形成等比数列，利用等比数列的前 项和公式求得基本量，从而得解.
【详解】由题意得，设这匹马的第 天走的路程为 ，则有 ， ，
所以数列 是 的等比数列，
故 ，解得 ，
所以 ．
故选：D.
29．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）如图所示的三角形叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由
整数的倒数组成，第 行有 个数且两端的数均为 ，每个数是它下一行左右相邻的两数的和，如
，则第8行第4个数（从左往右数）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用“莱布尼兹调和三角形”的性质，依次运算即可.
【详解】设第 行第 个数为 ，则 ， ， ， ，
故 ， ， ，， ， ，
故选：A.
二、多选题
30．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学统考阶段练习）朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著
的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日
差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派
出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升.”则下列结论正
确的有（ ）
A．将这1864人派谴完需要16天
B．第十天派往筑堤的人数为134
C．官府前6天共发放1467升大米
D．官府前6天比后6天少发放1260升大米
【答案】ACD
【分析】记数列 为第n天派遣的人数，数列 为第n天获得的大米升数，依题意可得 是以64为
首项，7为公差的等差数列， 是以192为首项，21为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式及
前 项和公式计算可得；
【详解】解：记数列 为第n天派遣的人数，数列 为第n天获得的大米升数，则 是以64为首项，
7为公差的等差数列，即 ， 是以192为首项，21为公差的等差数列，即 ，所
以 ，B不正确.
设第k天派遣完这1864人，则 ，解得 （负值舍去），A正确；
官府前6天共发放 升大米，C正确，
官府前6天比后6天少发放 升大米，D正确.
故选：ACD31．（2022秋·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考阶段练习）若正整数m．n只有1为公约数，则称
m，n互质，对于正整数k， （k）是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数 （k）以其首名研究
者欧拉命名，称为欧拉函数，例如： ， ， ， ．已知欧拉函数是积性函数，
即如果m，n互质，那么 ，例如： ，则（ ）
A．
B．数列 是等比数列
C．数列 不是递增数列
D．数列 的前n项和小于
【答案】ABD
【分析】根据欧拉函数定义及运算性质，结合数列的性质与求和公式，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】 ，A对；
∵2为质数，∴在不超过 的正整数中，所有偶数的个数为 ，
∴ 为等比数列，B对；
∵与 互质的数为
共有 个，∴
又∵ = ，∴ 一定是单调增数列，C错；
， 的前n项和为，D对.
故选：ABD．
32．（2022·全国·高三专题练习）我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和驽
马发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复
还迎驽马，九日后二马相逢.”其大意为今有良马和驽马从长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每
天比前一天多走13里；驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走 里.良马先到齐国，再返回迎接驽
马，9天后两马相遇.下列结论正确的是（ ）
A．长安与齐国两地相距1530里
B．3天后，两马之间的距离为 里
C．良马从第6天开始返回迎接驽马
D．8天后，两马之间的距离为 里
【答案】AB
【分析】A, 设良马第 天行走的路程里数为 ，驽马第 天行走的路程里数为 ，求出良马和驽马各自
走的路程即得A正确；
B，计算得到3天后，两马之间的距离为 里，即可判断B正确；
C,计算得到良马前6天共行走了 里 里，故C不正确；
D，计算得到8天后，两马之间的距离为390里，故D不正确.
【详解】解：设良马第 天行走的路程里数为 ，驽马第 天行走的路程里数为 ，则
.
良马这9天共行走了 里路程，
驽马这9天共行走了 里路程，
故长安与齐国两地相距 里，A正确.3天后，良马共行走了 里路程，驽马共行走了 里路程，故它们之间的
距离为328.5里，B正确.
良马前6天共行走了 里 里，故良马行走6天还末到达齐国，C不正确.
良马前7天共行走了 里 里，则良马从第7天开始返回迎接驽马，故8天后，
两马之间的距离即两马第9天行走的距离之和，由 ，知8天后，两
马之间的距离为390里，故D不正确.
故选：AB
33．（2022·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）将 个数排成 行 列的一个数阵.如图：该数阵
第一列的 个数从上到下构成以 为公差的等差数列，每一行的 个数从左到右构成以 为公比的等比数
列（其中 ）.已知 ，记这 个数的和为 .下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据 ， ，及等差数列、等比数列通项公式求出 ，即可判断A、C，再利用错位
相减法计算B，根据等比数列和等差数列求和公式计算判断D.
【详解】解： ，
，解得 或 （舍负），即选项A正确；，即选项C错误；
令 ，则 ①
②，
① ②得，
，
，
当 时， ，即选项B正确；
，即选项D正确.
故选：ABD.
34．（2022秋·福建福州·高二校联考期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有
这样的一列数： ， ， ， ， ， ， .该数列的特点如下：前两个数均为 ，从第三个数起，每一个数
都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列 称为斐波那契数列，现将 中的各项除以
所得余数按原顺序构成的数列记为 ，则下列结论中正确的是（ ）A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】写出 的前几项，通过观察可得数列的周期，进而结合数列 的性质以及 的定义，可
判断A、B项；因为 ，可推得 ，逐项代入即可得到C项；
由 ，可得 ，逐项代入即可得到
，从而得到D项错误.
【详解】因为 ， ， ， ， ， ，根据数列 的性质以及 的定
义可得， ， ， ， ， ， .同理可推得，当 时，有 ，
， ， ， ， ，所以 是以 为周期的周期数列，所以
，所以A项错误；
由周期性可知 ， ， ，故B正确；
因为 ，可推得 ，逐项代入，可得
，所以C正确；因为
，所以
D错误
故选：BC．
三、填空题
35．（2022·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁
殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数
列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图
所示：
大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代
物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用．设斐波那契数列为 ，其中 ，有以下几个命
题：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中正确命题的序号是________．
【答案】①②③
【分析】根据斐波那契数列的知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案.
【详解】斐波那契数列从第 项起，每一项都是前 项的和，所以 ，①正确.，②正确.
，
所以③正确.
当 时， ， ，所以④错误.
故答案为：①②③
36．（2022秋·江苏南京·高三校联考阶段练习）数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算
曾提出猜想：形如 的数都是质数，这就是费马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧
拉算出第5个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想．现设： ， 为常
数， 表示数列 的前 项和，若 ，则 _______.
【答案】
【分析】根据对数定义可得 ，再结合等比数列的前 项和公式求 ，进而求 .
【详解】∵ ，则
显然 ，则
∴数列 是以首项为 ，公比 的等比数列
又∵ ，则
∴
故答案为：32.
37．（2022秋·福建漳州·高二校联考期中）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,…,即从第三项开始,每一项都等于它前两项的和.后人为了纪念他,就把这
列数称为“斐波那契”数列.已知数列 为“斐波那契”数列,数列 的前 项和为 ,若 ,则
______（用含 的式子表示）.
【答案】 ##
【分析】根据数列 每一项都等于它前两项的和规律,从第1项写出到第2023项,各式左、右两边分别相
加,即可得到 之间的关系,即可得出 .
【详解】解:由已知得 , ,…, ,
以上各式左、右两边分别相加,
得 ,
即 ,
又 , ,
所以 .
故答案为：m+1
38．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特
点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为 ，则 ______，表中的数2021共出现______次．
2 3 4 5 6 7 …
3 5 7 9 11 13 …
4 7 10 13 16 19 …
5 9 13 17 21 25 …
6 11 16 21 26 31 …
7 13 19 25 31 37 …… … … … … … …
【答案】 57 12
【分析】根据数表归纳出各行各列的规律，然后利用整数的知识求解.
【详解】由数表可知每行、每列的数都成等差数列，第一行和第一列都是以2为首项1为公差的等差数列，
第 行和第 列的公差都是 ，因此 ,
,
，
，
，
相应
共12组解，所以表中2021共出现12次.
故答案为：57；12.
39．（2022·江苏南京·高三金陵中学校考学业考试）龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的
图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，
使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙
曲线（图1）是以 为斜边画出等腰直角三角形的直角边 、 所得的折线图，图2、图3依次为
第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）. 、 、 为第一代龙曲线的顶点，设第 代龙曲线
的顶点数为 ，由图可知 ， ， ，则 ___________；数列 的前 项和
___________.【答案】
【分析】推导出数列 是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得 的通项公式，可求得 的
值，再利用裂项相消法可求得 .
【详解】解：由题意可知，第 代龙曲线是在将 个第 代龙曲线的首尾顶点相接，
则 ，所以， ，
所以，数列 是等比数列，且首项为 ，公比为 ，则 ，
，则 ，
，
因此， .
故答案为： ； .
40．（2022·陕西·统考模拟预测）我国古代数学家已经会借助三角数表来计算二阶等差数列的和，例如计
算 ，把第一个数表逆时针旋转两次，得到后两个数表，再把3个数表叠在一起，每一个
位置的和都是5，所以 ，我们使用类似的想法计算：
，三个数表叠加之后每一个位置的和都是___________；推广可得 的求和公式 __________．
【答案】 14
【分析】根据3个数表的特点，可求得三个数表叠加之后每一个位置的和是1+1+12=14，同理可知：
，三个数表叠加之后每一个位置的和是1+1+n=n+2，而一共有
个这样的位置，进而求和.
【详解】 ，三个数表叠加之后每一个位置的和是1+1+12=14，又
，三个数表叠加之后每一个位置的和是1+1+n=n+2，而一共有
个这样的位置，故 .
故答案为：14， .
41．（2022·全国·高三专题练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步
起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，1，1，2，
3，5，8，13，21，34，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组
成的数列称为“斐波那契数列”，现有与斐波那契数列性质类似的数列 满足： ， ，且
（ ），记数列 的前n项和为 ，若 ，则 ___________.
【答案】7
【分析】根据递推关系写出 的前面若干项，利用并项求和法求得 ，从而确定 的值.【详解】∵ ，∴ ， ，
则数列 中的项依次为2，4，6，10，16，26，42，68，…，
又 ， ，
， ，…，
，
将上面的式子相加，可得 ，又 ，
∴ .
故答案为：
42．（2022·全国·高三专题练习）“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六
题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九
韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性
的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.已知问题中，一个数被 除余 ，被 除余 ，被 除余 ，
则在不超过 的正整数中，所有满足条件的数的和为___________.
【答案】
【分析】找出满足条件的最小整数值为 ，可知满足条件的数形成以 为首项，以 为公差的等差数列，
确定该数列的项数，利用等差数列的求和公式可求得结果.
【详解】由题意可知，一个数被 除余 ，被 除余 ，被 除余 ，则这个正整数的最小值为 ，
因为 、 、 的最小公倍数为 ，
由题意可知，满足条件的数形成以 为首项，以 为公差的等差数列，
设该数列为 ，则 ，
由 ，可得 ，所以， 的最大值为 ，
所以，满足条件的这些整数之和为 .
故答案为： .
43．（2022春·山东日照·高二校联考期中）“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成9个边长为 的小正方形，保留靠角的
4个小正方形，记4个小正方形面积之和为 ：然后，将剩余的4个小正方形分别继续9等分，分别保留
靠角的4个小正方形，记16个小正方形面积之和为 ；…；操作过程不断进行下去，以至无穷，保留的图
形称为康托尔尘埃.若 ，则操作次数 的最小值为____________.
【答案】3
【分析】由已知得 ，再由等比数列的求和公式建立不等式，由函数 的单调性即可得
答案.
【详解】解： 是边长为 的4个正方形的面积之和，故 ；
是边长为 的 个正方形的面积之和，故 ；
以此类推得：
从而 ，
所以 ，函数 关于 单调递减，且 时， ， 时， ，故 最小值取3.
故答案为：3.
44．（2022·全国·高三专题练习）提丟斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，
它是1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，
即数列 ：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以
天文单位A．U.为单位）.现将数列 的各项乘以10后再减4得数列 ，可以发现 从第3项起，每
一项是前一项的2倍，则 ______， ______.
【答案】
【分析】由题意可写出数列 的前面几项，确定数列从第二项起是等比数列，由此可求得其通项公式；
继而可得 的通项公式，求得 .
【详解】数列 各项乘10再减4得到数列 ：0，3，6，12，24，48，96，192，…，
故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：； ；
45．（2022秋·辽宁抚顺·高三校联考期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除
的问题．现将正自然数中，能被3除余1且被2除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则 __________．
【答案】115
【分析】结合叙述，将两数列表示出来，找出公共项，求出通项公式，进而得解.
【详解】被2除余1的数可表示为 ， ，
被3除余1的数列可表示为 ，则 ，
故公共项为 ，则 为以首项为1，公差为6的等差数列，
， ，则 .
故答案为：115.
46．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉
姆（Sundaram）发现了“正方形筛子如下图，则其第10行第11列的数为__________.
【答案】241
【分析】由观察可知，第一列的数字成以3为公差，4为首项的等差数列，于是可得第10行的第一个数为
31，每行数字也成等差数列，且行与行的公差也成等差数，其首项为3，公差为2，所以第10行的数字的
公差为21，进而可得第10行第11列的数字.
【详解】解：观察可知，这个“正方形筛子”的每一行的数字成等差数列，且行与行的公差也组成等差数
列，每一列的数字成等差数列，且列与列的公差也组成等差数列；
第一列的数字为 ，可得为等差数列，公差 ，
则 ，故第10行的第一个数为 ，
再看行，第一行的数字是以3公差的等差数列，第二行是以5为公差的等差数列，依此类推，则第10行是
以 为公差的等差数列，所以第10行第11列的数是 .
故答案为：241.
47．（2022秋·江苏连云港·高二期末）我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？通过计算可知，塔顶的灯数为_____________．
【答案】3
【分析】设第 层塔的红灯盏数为 ，由题意知 为公比为 的等比数列，根据 求出首项得通
项公式，再计算 可得答案.
【详解】设第 层塔的红灯盏数为 ，由题意知， 为公比为 的等比数列，
且 ，则 ，即 ，解得 ，
则 ，
从而可知塔顶有3盏灯．
故答案为：3.
48．（2022·全国·高三专题练习）“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，
其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段 ，取 的中点 ，以 为边作等边三角形（如
图①），该等边三角形的面积为 ，在图①中取 的中点 ，以 为边作等边三角形（如图②），图
②中所有的等边三角形的面积之和为 ，以此类推，则 ___________； ___________.
【答案】 ； ．
【分析】依题可知，各等边三角形的面积成等比数列，公比为 ，首项为 ，即可求出 以及 ，再根据分组求和法以及错位相减法求出 ．
【详解】依题可知，各等边三角形的面积形成等比数列，公比为 ，首项为 ，所以
，即 ；
，而 ，设
，
，作差得：
，所以 ，所以
．
故答案为： ； ．
49．（2022秋·湖北襄阳·高二校考阶段练习）如图是瑞典数学家科赫 在 年构造的能够描述
雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底
边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原三角形（图 ）的边长为 ，把图 ，图 ，图 ， 中的图形依次记为 ， ， ， ， ， ，
则 的边数 __________， 所围成的面积 __________．
【答案】
【分析】记 的边数为 ，三角形边长为 ，面积为 ，由图形变化规律可直接得到 ，从
而得到 ；根据 ，采用累加法可求得 .
【详解】记 的边数为 ，三角形边长为 ，面积为 ，
由图形变换规律可知： ， ，则 ；
由图形可知： 是在 每条边上生成一个小三角形（去掉底边），
则 ，
由 ， ，…， ；
左右分别相加得： ；
数列 是公比为 的等比数列，数列 是公比为 的等比数列，，
.
故答案为： ； .
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的综合应用问题，解题关键是根据图形的变化规律确定 的边数的
变化规律符合等比数列的变化；并得到图形面积变化所满足的递推关系式，采用累加法表示出图形面积.
四、解答题
50．（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算
法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在
此图中，从第三行开始，首尾两数为 ，其他各数均为它肩上两数之和．
(1)把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列： ， ， ， ， ，…，写出 与
的递推关系，并求出数列 的通项公式；
(2)设 ，证明： .
【答案】(1) ， （ ）；
(2)证明见解析.【分析】（1）根据已知写出 与 的递推关系，再利用累加法求出数列 的通项公式；
（2）先求出 ，再利用错位相减法求出 ，即得证.
【详解】（1）解：由“杨辉三角”的定义可知： ，
时， 所以有
，
故 ,该式对a=1也成立.
1
所以 （ ）
（2）解：由题得 ，所以 ，
设 ，
所以 ，（1）
所以 ，（2）
（1） （2）得 ，
所以 ，
所以
所以
所以
故 .51．（2022·全国·高三专题练习）2022北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，
最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典
数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成
三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一
个“雪花”状的图案．设原正三角形（图①）的边长为3，把图二中的①，②，③，④，……图形的周长
依次记为 ， ， ， ，…，得到数列 ．
(1)直接写出 ， 的值；
(2)求数列 的通项公式．
【答案】(1) ， ；
(2) .
【分析】（1）由图形直接可得.（2）先求出第 个图形的边数为 ，第 个图形的边长为 ，从而求出数列 的通项公式.
（1）
， .
（2）
由图形的作法可知：
从边数看，后一个图形的边数是前一个图形的边数的 倍，所以，从一个正三角形开始，“雪花”图案的
作法所得图形的边数是
以 为首项， 为公比的等比数列，所以，第 个图形的边数为 ，
从边长看，后一个图形的边长是前一个图形的边长的 倍，所以，从一个正三角形开始，“雪花”图案的
作法所得图形的边长是
以 为首项， 为公比的等比数列，所以，第 个图形的边长为 ，
所以， .
