文档内容
专题 11 立体几何专题（数学文化）
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析
几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系
起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所
示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点 关于 轴对称的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022春·辽宁大连·高一统考期末）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西
夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径 ，圆柱
体的高 ，圆锥体的高 ，则这个陀螺的表面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·安徽·高二合肥市第八中学校联考期中）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著
作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马” 中，E为 的重心，若 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·河南商丘·高三校联考阶段练习）榫卯是一种中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式，
是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．凸出的部分叫做榫（或叫榫头），凹进部分叫卯
（或叫榫眼、榫槽）．现要在一个木头部件制作一个榫眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么制作
成的榫眼的俯视图可以是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021秋·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾
经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥 的每个顶点都在球 的球面上，底面 ， ，且 ， ，利用张衡的结论可得球 的表面积为（ ）
A．30 B． C． D．
6．（2021春·陕西榆林·高三校考阶段练习）“天圆地方”观反映了中国古代科学对宇宙的认识，后来发展
成为中国传统文化的重要思想.中国古人将琮、璧、圭、璋、璜、琥六种玉制礼器谓之“六瑞”，玉琮内圆
外方，表示天和地，中间的穿孔表示天地之间的沟通，可以说是中国古代世界观很好的象征物.下面是一玉
琮图及其三视图，设规格如图所示（单位：cm），则三视图中 ， 两点在实物中对应的两点在实物玉璧
上的最小距离约为（ ）（ ， ）
A．8.4 B．9.8 C．10.4 D．11.2
7．（2022·全国·高一专题练习）《九章算术》中有这样的图形：今有圆锥，下周三丈五尺，高五丈一尺
（1丈 尺）；若该圆锥的母线长 尺，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2021秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，
半正多面体是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体．如图，某广场的一张石凳
就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为 ，
则该阿基米德多面体的表面积为（ ）A． B．
C． D．
9．（2022秋·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考开学考试）牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现
并采用的一种用于计算球体体积的方法，该方法不直接给出球体的体积，而是先计算牟合方盖的体积.刘徽
通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积关系为 ，并且推理出了“牟合方盖”的八分之一的体积
计算公式，即 ，从而计算出 .如果记所有棱长都为 的正四棱锥的体积为 ，则
（ ）
A． B．1 C． D．
10．（2022秋·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以
立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵
中， 分别是 的中点， 是 的中点，若 ，则
（ ）A． B． C．1 D．
11．（2022秋·江西抚州·高二临川一中校考期中）如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，
工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”
字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约
为40cm，上口直径约为28cm，经测量可知圆台的高约为16cm，圆柱的底面直径约为18cm，则该组合体
的体积约为（ ）（其中 的值取3）
A．11280cm3 B．12380cm3 C．12680cm3 D．12280cm3
12．（2022秋·安徽·高三校联考开学考试）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作， 其第
11卷中将轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为“直角圆锥”.若一个直角圆锥的侧面积为 ，则该圆锥
的体积为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·青海西宁·高三统考期中）我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖
似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底､长方形足､器
内底中部及盖内均铸一“爰”字.通高24cm，口长13.5cm，口宽12cm，底长12.5cm，底宽10.5cm.现估算
其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm，下部分看作台体，则其体积约为（ ）（参考数据：
， ）A． B． C． D．
14．（2022秋·湖北·高二校联考期中）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几
何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所
示的曲池，它的高为4， ， ， ， 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别
为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，
桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如
意、十全十美．下图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积
约为（ ）（参考数据： ，参考公式：
）A． B． C． D．
16．（2022春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考阶段练习）波利亚在其论著中多次提到“你能用不同的方
法推导出结果吗？”，“试着换一个角度探索下去……”.这都属于“算两次”的原理.另外，更广义上讲，
“算两次”也是对同一个问题，用两种及其以上的方法解答出来，即对同一个问题解两次，得到相同的结
果，体现殊途同归，一题多解.试解决下面的问题：四面体ABCD中，AB=CD=6，其余的棱长均为5，则与
该四面体各个表面都相切的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
17．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考开学考试）灯笼起源于中国的西汉时期，
两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形
灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）．
如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球
的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积 ．已知该灯笼的高为46cm，圆柱的高为3cm，圆柱的
底面圆直径为30cm，则围成该灯笼所需布料的面积为（ ）A． B． C． D．
18．（2022秋·湖北武汉·高二武汉市第十一中学校考阶段练习）端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗，
粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明，且形状各异，裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子，
是用当地特有的冬叶､水草包裹糯米､绿豆､猪肉､咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子，现将裹蒸粽看作一
个正四面体，其内部的咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的体积为 时，该裹蒸粽的高的最小值为
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
19．（2023·全国·高三专题练习）鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯
结构．如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班
锁的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
20．（2022秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）刍(chú)甍(méng)是中国古代算数中的一种几何体，其结构
特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．
已知一个刍甍底边长为 ，底边宽为 ，上棱长为 ，高为 ，则它的表面积是（ ）A． B．
C． D．
二、多选题
21．（2021秋·重庆沙坪坝·高二重庆市天星桥中学校考阶段练习）三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今
约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉
器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长 ，外径长
，筒高 ，中部为棱长是 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则
（ ）
A．该玉琮的体积为 ( ) B．该玉琮的体积为 ( )
C．该玉琮的表面积为 ( ) D．该玉琮的表面积为 ( )
22．（2022·全国·高三专题练习）“端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产
名录，吃粽子便是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为 的正四
面体状的三角粽，也可做成底面半径为 ，高为 （不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若
一个碗的容积等于半径为 的半球的体积，则（ ）（参考数据： ）A．这两碗馅料最多可包三角粽35个
B．这两碗馅料最多可包三角粽36个
C．这两碗馅料最多可包竹筒粽21个
D．这两碗馅料最多可包竹筒粽20个
23．（2022·全国·高三专题练习）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒
尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮
廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为 ，侧棱长为 米，则该
正四棱锥的（ ）
A．底面边长为 米 B．侧棱与底面所成角的余弦值为
C．侧面积为 平方米 D．体积为 立方米
24．（2022秋·湖北襄阳·高二校考阶段练习）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为
“鳖臑”.在鳖臑 中， 底面 ，则（ ）
A． 可能成立 B． 可能成立
C． 一定成立 D． 可能成立
25．（2022春·广东广州·高一广州科学城中学校考期中）唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它
的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2)，当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑，
表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的
取值可能为( )A． B． C． D．
26．（2022·海南·统考模拟预测）素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘
画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯
穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个
四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，
另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长
为2，高为6的正四棱柱构成，则（ ）
A．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直
B．该“十字贯穿体”的表面积是
C．该“十字贯穿体”的体积是
D．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点 出发，沿表面到达顶点 的最短路线长为
27．（2022·全国·高三专题练习）祖暅（公元5—6世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提
出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截
面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为 ，高皆为 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面 上，用平行于平面 且与 距离为 的平面截两个几何体得到 及 两
截面，可以证明 总成立，若椭半球的短轴 ，长半轴 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．椭半球体的体积为30π
B．椭半球体的体积为15π
C．如果 ，以 为球心的球在该椭半球内，那么当球 体积最大时，该椭半球体挖去球 后，
体积为
D．如果 ，以 为球心的球在该半球内，那么当球 体积最大时，该椭半球体挖去球 后，体
积为
三、填空题
28．（2022秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中，定义
了三个特别重要而基本的多面体，它们是：（1）“堑堵”：两个底面为直角三角形的直棱柱；（2）“阳
马”：底面为长方形，且有一棱与底面垂直的棱锥；（3）“鳖臑（biēnào）”：每个面都为直角三角形的
四面体.魏晋时期的大数学家刘徽进一步研究发现：任何一个“堑堵”都可以分割成一个“阳马”和一个
“鳖臑”且“阳马”和“鳖臑”的体积比为定值.则此定值为______.
29．（2022秋·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）我国古代将四个面都是直角三角形的四面
体称作鳖臑，如图，在鳖臑 中， 平面 ， 是等腰直角三角形，且 ，则异面
直线 与 所成角的正切值为______．（写出一个值即可，否则有两个答案）30．（2022春·浙江宁波·高二校考学业考试）宁波老外滩天主教堂位于宁波市新江桥北堍， 建于清同治十
一年（公元 1872 年）. 光绪二十五 （1899年） 增建钟楼， 整座建筑由教堂、钟楼、偏屋组成， 造型
具有典型罗马哥特式风格. 其顶端部分可以近似看成由一个正四棱锥和一个正方体组成的几何体， 且正四
棱锥的侧棱长为 ， 其底面边长与正方体的棱长均为 ， 则顶端部分的体积为__________.
31．（2022·全国·高三专题练习）蹴鞠，2006年5月20日，已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一
批国家非物质文化遗产名录．蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠
就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．已知某鞠（球）的表面上有四个点(不共面)
, ，则该鞠（球）的体积为__________．
32．（2022春·福建泉州·高一泉州五中校考期中）“牟合方盖”（图①）是由我国古代数学家刘徽创造的，
其构成是由一个正方体从纵横两侧面作内切圆柱（圆柱的上下底面为正方体的上下底面，圆柱的侧面与正
方体侧面相切）的公共部分组成的（图②），假设正方体的棱长为2，则其中一个内切圆柱的表面积为
___________；该正方体的内切球也是“牟合方盖”的内切球，所以用任一平行于正方体底面的平面去截
“牟合方盖”，截面均为正方形，根据祖暅原理（夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平
行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等）可得“牟合方
盖”的体积为____________．33．（2023·全国·高三专题练习）佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、
驱虫、开窍的．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平
行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．
那么在图2这个六面体中内切球半径为__________，体积为__________.
34．（2022·高二单元测试）《九章算术》第五卷中涉及一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈，深
三尺，末广八尺，无深，袤七尺．该羡除是一个多面体 ，如图，四边形 ， 均为等腰
梯形， ，平面 平面 ，梯形 ， 的高分别为3，7，且 ，
， ，则 ______， ______．
35．（2021秋·四川广安·高二四川省武胜烈面中学校校考开学考试）《九章算术》中记载：将底面为直角
三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有
一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）在如图所示的堑堵
中， 且有鳖臑 和鳖臑 ，现将鳖臑 的一个面沿 翻折 ，使 点翻折到 点，求形成的新三棱锥 的外接球的表面积是_________.
36．（2022·全国·高三专题练习）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只
由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，
即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2
（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 ________.
37．（2022秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）阿波罗尼斯（约公元前262－190年）证明过这样一个命
题：平面内到两定点距离之比为常数 且 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在
棱长为6的正方体 中，点 是BC的中点，点 是正方体表面 上一动点（包括边
界），且满足 ，则三棱锥 体积的最大值为______．
38．（2022·全国·高三专题练习）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.即：夹在两个平行平面之间的两
个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体
的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，利用祖暅原理可求
得该球形瓷碗的体积为______．
四、解答题39．（2022·全国·高三专题练习）自古以来，斗笠是一个防晒遮雨的用具，是家喻户晓的生活必需品之一，
主要用竹篾和一种叫做棕榈叶染白后编织而成，已列入世界非物质文化遗产名录．现测量如图中一顶斗笠，
得到图中圆锥 模型，经测量底面圆 的直径 ，母线 ，若点 在 上，且
， 为 的中点．证明： 平面 ；
40．（2022秋·贵州遵义·高三统考阶段练习）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿
顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿.由于屋
顶有四面斜坡,故又称四阿顶.如图，某几何体 有五个面，其形状与四阿顶相类似.已知底面
为矩形， ， 底面 ，且 ， ， 分别为 ， 的中
点.
(1)证明： ，且 平面 .
(2)若 与底面 所成的角为 ，过点 作 ，垂足为 ，过 作平面 的垂线，写出
作法，并求 到平面 的距离.
41．（2022秋·上海浦东新·高二上海师大附中校考期中）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解
堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”
刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.”
如图，在鳖臑ABCD中，侧棱 底面BCD；
(1)若 ， ， ， ，求证： ；
(2)若 ， ， ，试求异面直线AC与BD所成角的余弦.
(3)若 ， ，点P在棱AC上运动.试求 面积的最小值.
42．（2022秋·北京·高二北京一七一中校考期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫
尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段 是欧式空间中定义的两点最短距离，但
在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离
用 表示，又称“曼哈顿距离”，即 ，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若
， ，则(1)①点 ， ，求 的值．
②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．
(2)已知点 ，直线 ，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；
(3)设三维空间4个点为 ， ，且 ， ， ．设其中所有两点“曼哈顿距
离”的平均值即 ，求 最大值，并列举最值成立时的一组坐标．
