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2024届新高考二轮复习第一讲：集合与简单逻辑用语
12. 已知集合 ，若 ，则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由 可得 ，解出集合 后结合集合的关系计算即可得.
【详解】由 ，故 ，
由 ，得 ，
故有 ，即 ，即 ，
的
即 最小值为 .
故答案为： .更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
题型一：不等式在集合中的应用
【典例例题】
例1.（2024春·1月佛山市）已知集合 ， ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合 后可求 .
【详解】由题可知： ，
所以 ．
故选：B．
【变式训练】
1.（2024春·广东省深圳市） 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过解不等式分别计算出集合 与集合 ，计算出 即可.
【详解】因为 ， ，所以 ；因为 ，
，解得 ，所以 ，所以
.
故选：C.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
2.（2024春·新疆）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对数的单调性、一元二次不等式的解法，结合并集的定义进行求解即可.
【详解】由 ，
由 ，
所以 ，
故选：C
3.（2024春·重庆）已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，解得 或 ，
所以 或 .
，解得 或 ，
所以 或 .
所以 ，B选项正确，其它选项错误.
故选：B
4．（2024春·江西）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知 ， ，
所以 ，故C正确.
故选：C.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
题型二：函数在集合中的应用
【典例例题】
例1.（2024春·湖北省）已知集合 ， ，则 ___________
【答案】
【解析】
【详解】因为 ， ，
所以 .
故答案为：
【变式训练】
1.（2024春·陕西）已知函数 的定义域为 ，函数 的值域为B，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，则 且 ，
可得 的值域 ．
故选：B.
题型三：韦恩图在集合中的应用
【典例例题】
例1.（2024春·山东聊城）已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影
部分所表示的集合为（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，所以 ，
，所以 ，所以 ，
图中阴影部分是由在B中不在A中的元素构成的集合，所以为 ，
故选：D.
【变式训练】
1.（2024春·全国·模拟）设集合 ，则图中阴影部分可表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意知 ，图中阴影部分表示为 ，
所以 .
故选：D.
2.（2024春·广东）已知全集 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【详解】因为 或 ，所以 ，
又 ，
所以题图中阴影部分表示的集合为 .
故选：C.
3．（2024春·四川南充）已知全集 ，集合 则能表示
关系的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，
，
所以 ，
对于A， ，错误；
对于C， ，错误；
对于D， 错误；B选项符合题意，
故选：B.
4．（2024春·河北）已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合
为（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，故 ，
所以 ，又 ，
所以题图中阴影部分表示的集合 .
故选：C.
题型四：充分、必要条件
【典例例题】
例1.（2024春·江西省）若 是 的一个充分不必要条件，请写出满足条件的一个 为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【详解】由 ，解得 或 ，故 ，
因为 是 的一个充分不必要条件，
写出一个范围比 小的即可，
故 .
故答案为： （答案不唯一）
【变式训练】
1.（2024春·重庆）已知直线 和直线 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若直线 和直线 平行，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
则 ，解得 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件，
故选：A
2.（2024春·内蒙古鄂尔多斯）已知符号函数 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若 ，则 同号，
所以 或 ，
即 或 ，即 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：A
3.（2024春·浙江湖州）记 是数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；设乙： ，则
（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【详解】若 为等差数列，则数列 的前 项和为 ，
若数列 的前 项和为 ，
则 时， ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以 ， ，
两式相减得 ， ，
所以 为等差数列；
综上所述，甲是乙的充要条件.
故选：C.
4.（2024春·浙江温州）已知x， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】A
【详解】设 ，则 ，
令 ，所以函数 在 上单调递增.
当 时，则 ，即 ，充分性成立；
当 时，有 ，得 ，
所以 不一定成立，即必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
题型六：简单逻辑用语
【典例例题】
例1.（2024春·广东省）已知命题p： ， ，请写出一个满足“p为假命题”的整数m
的值： .
【答案】 （答案不唯一）
【详解】由命题p： ， 为假命题，
则 恒成立，
得 ，解得 ，
所以整数m的值可为 ，0，1（答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）.
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1.（2024 春·新高考）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是
.
【答案】
【详解】 ， ，
因为 ，所以 ，所以 的范围是 ，
故答案为： ．
2.（2024·福建漳州）若 ， 为真命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】若 ， 为真命题，则 .
因为 在 上的最小值为 ，所以 ，
故选：D.
3.（2024春·湖南邵阳）命题“ ”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据全称命题或者特称命题的否定，
所以 的否定为 ，
故选：D.
4.（2024春·浙江宁波）命题“ ， ”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】若命题“ ， ”为假命题，
则命题的否定“ ， ”为真命题，
即 ， 恒成立，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
， ，当 ，取得最大值 ，
所以 ，选项中只有 是 的真子集，
所以命题“ ， ”为假命题的一个充分不必要条件为 .
故选：D
一、单项选择
1．（2024春·江西）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，得 或 ，所以 或 ，
所以 .
由 得 ，所以 ，
所以 .
故选：B
2．（2024·广东广州）已知集合 ， ，则 的真子集的
个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【详解】由题意
，
，故 ，
故 ，则 的真子集的个数为 ，
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3．（2024春·河北秦皇岛）下列说法正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
C．“ ”是“函数 的最小正周期为2”的充分不必要条件
D． 的充要条件是
【答案】C
【详解】对于 ，“若 ，则 ”是假命题，因为 ，而 ；
“若 ，则 ”是假命题，因为 ，而 ，
即“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，A错误；
对于B，命题“ ， ”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此它的否定是“ ， ”，B错误；
对于D，当 ， 时， 成立，
因此 成立，不一定有 ，D错误；
对于C，当 时，函数 的最小正周期为2；
当函数 的最小正周期为2时， 或 ．
所以“ ”是“函数 的最小正周期为2”的充分不必要条件．C正确．
故选：C
4．（2024春·广东）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由 可知： ，即 ，故 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以 .
故选：D.
5．（2024春·河南焦作）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
，
显然 ，则 ，解得 或 ．
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
6．（2024春·湖南娄底）已知函数 的定义域为 ，对任意 ，有 ，则“ ”
是“ "的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】设 ，该函数的定义域为 ，
则 ，所以 在 上单调递增.
由 可得 ，
即 ，又 在 上单调递增，所以 ，解得 ，
显然集合 是集合 的真子集，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
7．（2024春·四川成都）下列叙述错误的是（ ）
A．命题“ ， ”的否定是“ ， ”更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
B．若幂函数 在 上单调递增，则实数 的值为
C． ，
D．设 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
【答案】D
【详解】对于A，命题“ ， ”的否定是“ ， ”，A正确；
对于B，由 ，解得 ，B正确；
对于 C，当 时，函数 的图象在直线 上方，函数 的图象在直线 下方，则
，C正确；
对于D，由 ，得 或 ，因此“ ”不是“ ”的充分不必要条件，D错误.
故选：D
8．（2024春·北京丰台）已知 是两个不共线的单位向量，向量 （ ）．“ ，且
”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当 ，且 时，
，充分性满足；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
当 时，
，当 ， 时，
是可以大于零的，
即当 时，可能有 ， ，必要性不满足，
故“ ，且 ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A.
9．（2024春·北京房山）已知函数 满足 ，且在 上单调递减，对于实数a，b，
则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由函数 满足 ，得函数 是R上的偶函数，而 在 上单调递减，
因此 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
10．（2024春·福建漳州）已知集合 ， ，若 ，且 ，则集合 可以为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，所以集合 .
对于A选项， ，则 ，所以A选项不合题意；
对于B选项， ，则 ，所以B选项符合题意；
对于C选项， ，则 ，所以C选项不合题意；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
对于D选项，不等式 等价于 解得 ，则 ，所以D选项不合题意.
故选:B.
11．（2024春·山西临汾）已知集合 ， ，且 ，则实
数 的所有取值构成的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 解得 ，所以 .
对于集合 ，若 ，则 ，满足 .
若 ，则 ，要使 成立，则 ，
所以 或 ，解得 或 ，
所以 的所有取值构成的集合是 .
故选：D
12．（2024春·江苏苏州）设集合 ，集合 ，则集合
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意 ，
所以 ， ，
， .
故选：D.
13．（2024春·广东广州）已知首项为 ，公比为q的等比数列 ，其前n项和为 ，则“ ”
是“ 单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】在等比数列 中， ，则 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
当 时， ，所以 单调递增，故充分性成立；
当 单调递增时， 时， 单调递增，但是推不出 ，故必
要性不成立.
故选：A.
14．（2024春·甘肃兰州） ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，
，
所以 .
故选：A.
二、多选题
15．（2024春·重庆）已知函数 ，则 在 有两个不同零点的充分不必要
条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】因为 ，
令 ，则 ，
令 ，
则 ，
注意到 ，令 ，解得 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
则 ，且当 趋近于 或 时， 都趋近于 ，
若 在 有2个不同零点的充要条件为函数 与 图象在第一象限有2个交点，
所以 ，即 有2个零点的充要条件为 ，
若符合题意，则对应的取值范围为 的真子集，
结合选项可知：A错误，BCD正确；
故选：BCD.
三、填空题
16．（2024春·江苏南通）集合 ，若A中元素至多有1个，则a的取值范围
是 ．
【答案】 或
【详解】当 时， ，解得 ，故A中元素只有1个，符合要求；
当 时，对 ，需 ，即 ；
故答案为： 或 .
17．（2024春·全国·模拟预测）“函数 的图象关于 中心对称”是“ ”的 条件．
【答案】充分必要
【详解】函数 图象的对称中心为 ，
所以由“函数y=tanx的图象关于(x0,0)中心对称”等价于“ ”．
因为 等价于 ，即 ．
所以“函数 的图象关于 中心对称”是“ ”的是充分必要条件．
故答案为：充分必要
18．（2024春·湖北武汉）若命题“ ， ”是假命题，则实数 的取值范围是
．
【答案】
【详解】若命题“ ， ”是真命题，可得 即可；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
易知 在 上单调递增，
所以 ，可得 ；
又因为该命题是假命题，所以可得 ，
即实数 的取值范围是 .
故答案为：
