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高三数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：高考范围．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知复数z满足 ，则
A．3 B．2 C． D．1
2．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
3．如图是正方体的表面展开图，在原正方体中，直线AB与CD所成角的大小为
A． B． C． D．
4．已知向量 ， ，若 ，则
A． B． C． D．
5．下表统计了2017年～2022年我国的新生儿数量（单位：万人）．
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码x 1 2 3 4 5 6
新生儿数量y 1723 1523 1465 1200 1062 956
学科网（北京）股份有限公司经研究发现新生儿数量与年份代码之间满足线性相关关系，且 ，据此预测2023年新生儿
数量约为（精确到0.1）（参考数据： ）
A．773.2万 B．791.1万 C．800.2万 D．821.1万
6．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以
， 分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白
球，则下列结论错误的是
A． ， 互斥 B． C． D．
7．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、
《论切触》等．尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进
一步提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的
反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线 C： （ ， ）的左、右
焦点分别为 ， ，其离心率 ，从 发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为
EP，若反射光线与入射光线垂直，则
A． B． C． D．
8．若集合 中仅有2个整数，则实数k的取值范围是
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．过抛物线 （ ）的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若 ，则直线l的倾
斜角可能为
A．30° B．60° C．120° D．150°
学科网（北京）股份有限公司10．已知函数 （ ， ， ），若 的图象过 ， ，
三点，其中点B为函数 图象的最高点（如图所示），将 图象上的每个点的纵坐标保
持不变，横坐标变为原来的 倍，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则
A． B．
C． 的图象关于直线 对称 D． 在 上单调递减
11．如图，正方体 的棱长为2，点E是AB的中点，点P为侧面 内（含边界）一
点，则
A．若 平面 ，则点P与点B重合
B．以D为球心， 为半径的球面与截面 的交线的长度为
C．若P为棱BC中点，则平面 截正方体所得截面的面积为
D．若P到直线 的距离与到平面 的距离相等，则点P的轨迹为一段圆弧
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
学科网（北京）股份有限公司12． 的展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
13．已知A为圆C： 上的动点，B为圆E： 上的动点，P为直线
上的动点，则 的最大值为 ．
14．在1，3中间插入二者的乘积，得到13，3，称数列1，3，3为数列1，3的第一次扩展数列，数列1，
3，3，9，3为数列1，3的第二次扩展数列，重复上述规则，可得1， ， ，…， ，3为数列1，3的
第n次扩展数列，令 ，则数列 的通项公式为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节．某科技企业招聘员工，首先要进行
笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，
答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分．
（1）若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布 ，规定 为达标，求进入面
试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）；
（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为 ，后两题答对的概率均为 ，每道题是否答对互不影响，
求该应聘者的面试成绩Y的数学期望．
附 ： 若 （ ） ， 则 ，
， ．
16．（本小题满分15分）
如图，在△ABC中， ，D为△ABC外一点， ，记 ， ．
（1）求 的值；
学科网（北京）股份有限公司（2）若△ABD的面积为 ，△BCD的面积为 ，求 的最大值．
17．（本小题满分15分）
我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草
也．甍，窟盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍的字面意思为茅草屋
顶．”现有一个“刍甍”如图所示，四边形ABCD为矩形，四边形ABFE、CDEF为两个全等的等腰梯形，
EF∥AB， ， ，P是线段AD上一点．
（1）若点P是线段AD上靠近点A的三等分点，Q为线段CF上一点，且 ，证明：PF∥平面
BDQ；
（2）若E到平面ABCD的距离为 ，PF与平面BCF所成角的正弦值为 ，求AP的长．
18．（本小题满分17分）
已知椭圆C： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，右顶点为A，且 ，
离心率为 ．
（1）求C的方程；
（2）已知点 ，M，N是曲线C上两点（点M，N不同于点A），直线AM，AN分别交直线 于
P，Q两点，若 ，证明：直线MN过定点．
19．（本小题满分17分）
已知函数 （ ）．
（1）当 时，求 的最小值；
（2）若 有2个零点，求a的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司高三数学参考答案、提示及评分细则
1．C
因为 ，所以 ，所以 ．故选C．
2．B
由 ，得 ，或 ，所以 ．所以 ，由
，得 ，所以 ．故选B．
3．D
将表面展开图还原为正方体，AB与CD在正方体中的位置如图所示，易证AB⊥平面DCE，所以AB⊥CD，
故直线AB与CD所成角的大小为 ．故选D．
4．C
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ．故
选C．
5．A
由题意得 ， ，所以 ，所以
，当 时， ．故选A．
6．C
因为每次只取一球，故 ， 是互斥的事件，故 A 正确；由题意得 ， ，
， ， 故 B ， D 均 正 确 ； 因 为
学科网（北京）股份有限公司，故C错误．故选C．
7．B
设 ， ， ， 由 题 意 知 ， ， ， 所 以
， ， ，所以 ，又 ，所以
，解得 ，所以 ．故选B．
8．A
原不等式等价于 ，设 ， ，则
，令 ，得 ．当 时， ， 单调递增；当 时，
， 单调递减．又 ， 时， ，因此 与 的图象如
图，
当 时，显然不满足题意；当 时，当且仅当 ，或 ．
由第一个不等式组，得 ，即 ，
由第二个不等式组，得 ，该不等式组无解．
学科网（北京）股份有限公司综上所述， ．故选A．
9．BC
当l的倾斜角为锐角时，如图所示，由抛物线 （ ）的焦点为F，准线方程为 ，分别
过A，B作准线的垂线，垂足为A＇，B＇，直线l交准线于C，作BM⊥AA＇，垂足为M，则 ，
， ，所以 ， ，所以 ，则l的倾
斜角 ，同理可得当直线l的倾斜角为钝角时，其大小为120°．故选BC．
10．BC
由题意得 ， ， ，所以 ， ．由
， ，得 ， ，所以 ， ，所以 ．
又 ，只可能 ，所以 ，所以 ， ，故A错
误，B正确；因为 ，所以 的图象关于直线 对称，故C正确；
令 （ ），解得 （ ），令 ，得
学科网（北京）股份有限公司，又 包含 但不是其子集，故D错误．故选BC．
11．ABC
由正方体的性质，易证 平面 ，若点P不与B重合，因为 平面 ，则 ，
与 矛盾，故当 平面 时，点P与B重合，故A正确；
由题意知三棱锥 为正三棱锥，故顶点D在底面 的射影为 的中心H，连接DH，由
，得 ，所以 ，因为球的半径为
，所以截面圆的半径 ，所以球面与截面 的交线是以H为圆心，
为 半 径 的 圆 在 内 部 部 分 ， 如 图 所 示 ， ， 所 以
． ，所以 ，同理，其余两弦所对圆心
角也等于 ，所以球面与截面 的交线的长度为 ，故B正确；
学科网（北京）股份有限公司对于C，过E，P的直线分别交DA、DC的延长线于点G，M，连接 、 ，分别交侧棱 于点N，
交侧棱 于点H，连接EH和NP，如图所示：
则 截 面 为 五 边 形 ， 易 求 ， ， ， ，
，故 ，所以 ，
， 所 以 五 边 形 的 面 积
，故C正确；因为 平面 ，所以 ．
因为平面 平面 ，故点P到平面 的距离为点P到 的距离，由题意知点P到点
的距离等于点P到 的距离，故点P的轨迹是以 为焦点，以 为准线的抛物线在侧面 内
的部分，故D错误．故选ABC．
12．
学科网（北京）股份有限公司，令 ，解得 ，故常数项为 ．
13．
设 关于直线 的对称点为 ，则 ，解得 ，故 ．要
使 的值最大，则P，A，B＇（其中B＇为B关于直线 的对称点）三点共线，且该直线过
C，E＇两点，如图，其最大值为 ．
14．
因为 ，所以
，所以 ，又 ，所以
，所以 是以 为首项，3 为公比的等比数列，所以 ，所以
．
学科网（北京）股份有限公司15．解：
（1）因为X服从正态分布 ，所以 ， ， ，
所以 ．
进入面试的人数 ， ．
因此，进入面试的人数大约为16．
（2）由题意可知，Y的可能取值为0，2，4，6，8，10，
则 ；
；
；
；
；
．
所以 ．
16．解：
（1）在△ABD中，由余弦定理，得 ，
在△BCD中，由余弦定理，得 ，
所以 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ．
（2）由题意知 ， ，
所以
，
由（1）知 ，
所以 ， ，
所以
，
所以当 时， 取得最大值，最大值为 ．
17．
（1）证明：连接CP交BD于点H，连接HQ，
因为AD∥BC，且 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以PF∥HQ，
学科网（北京）股份有限公司因为 平面BDQ， 平面BDQ，
所以PF∥平面BDQ．
（2）解：分别取AD，BC的中点I，J，连接EI，IJ，FJ，则IJ∥AB，且 ，
因为四边形ABFE与四边形CDEF为全等的等腰梯形，所以 ，四边形EIJF为等腰梯形，
且EF∥IJ， ，
EI⊥AD，FJ⊥BC，又AD∥BC，所以FJ⊥AD，
因为EI， 平面EIJF，且EI，FJ为两条相交直线，
所以AD⊥平面EIJF，所以平面ABCD⊥平面EIJF．
过E在平面EIJF内作IJ的垂线，垂足为M，则EM⊥平面ABCD，
， ．
过M作MK∥AD，易得MK，MJ，ME两两垂直，以M为坐标原点，MK，MJ，ME所在直线分别为x轴，y
轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），
则 ， ， ，
设 （ ），所以 ， ， ．
设平面BCF的一个法向量 ，则 ，即 ，
令 ，解得 ， ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司设PF与平面BCF所成角的大小为 ，则
，
解得 ，且满足题意，
所以 ，或 ．
18．
（1）解：设C的半焦距为c，由题意得 ，
解得 ，
故C的方程为 ．
（2）证明：设MN的方程为 （ ），代入 ，得 ，
由 ，得 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，
．
直线AM的方程为 ，令 ，得 ，故 ，
学科网（北京）股份有限公司同理可求 ，
所以 ， ，
由 ，得 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以直线MN的方程为 ，故直线MN过定点 ．
19．解：
（1） 的定义域为 ．
当 时， ， ．
令 （ ），则 ，
所以 在上 单调递增，
又 ，所以当 时， ， ；
当 时， ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
学科网（北京）股份有限公司（2）由题意知 （ ）．
①当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，所以 至多有一个零
点，不合题意；
②当 时，令 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以存在唯一 ，使得 ，所以 ．
当 时， ， ；当 时， ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
（a）当 时，由（1）知 ，即 时， ，且 ， 只有一个零
点1，不合题意；
（b）当 时，因为 ，则 ，又 在 上单调递减，
所以 ，
而 ，
令 ，则 ．
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减，所以 ；
当 时， ，即 ．
又 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 ，
由 的单调性及零点存在定理，知 在 上有且仅有一个零点．
又 在 上有且仅有一个零点1，
所以，当 时， 存在两个零点；
（c）当 时，由 ，得 ，又 在 上单调递增，
所以 ．
取 ，则 ，所以 ．
当 时， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
又 ，所以 ，
由 的单调性及零点存在定理，知 在 上有且有一个零点，又1为 在 内的唯一
零点，所以当 时， 存在两个零点．
综上可知，a的取值范围是 ．
学科网（北京）股份有限公司
