九省联考模式T19压轴题100题(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_九省联考模式T19压轴题100题（含答案）

九省联考压轴通关 100 题 1．离散对数在密码学中有重要的应用．设p是素数，集合 X 1,2,,p1，若u,vX,mN，记uv为uv除以p的余数， um,为 um 除以p的余数；设aX ， 1,a,a2,,,ap2,两两不同，若 an, b  n0,1,,p2，则称n是以a为底b的离散对数，记为 nlog(p) b． a (1)若p11,a2，求 ap1,； (2)对m,m 0,1,,p2，记m m 为m m 除以p1的余数（当m m 能 1 2 1 2 1 2 1 2 被p1整除时，m m 0）．证明：log(p) bclog(p) blog(p) c，其 1 2 a a a 中b,cX ； (3)已知nlog(p) b．对xX,k1,2,,p2，令y ak,,y  xbk,．证 a 1 2 明：x y  ynp2,． 2 1 2．若有穷数列A:a,a ,,a (n 4)满足：a a ccR,i1,2,,n ，则 1 2 n i n1i 称此数列具有性质 P . c (1)若数列A:2,a ,a ,2,6 具有性质 P ，求a ,a ,c的值； 2 3 c 2 3 (2)设数列A具有性质P ，且a a a ,n 为奇数，当a,a 01i, jn 0 1 2 n i j 时，存在正整数k，使得a a a ，求证：数列 A 为等差数列； j i k n (3)把具有性质 P ，且满足 a a m（kN*,k  ,m为常数）的数列 c 2k1 2k 2 A 构成的集合记作T n,m.求出所有的n，使得对任意给定的m,c， c 当数列AT n,m时，数列 A 中一定有相同的两项，即存在 c a a i j,1i, jn. i j 3．给定正整数n2，对于一个由n个非负整数构成的数列 A ： a,a ,,a ，如果存在非负整数x ，x,x ,,x ，使得x x 0，且 1 2 n 0 1 2 n 0 n a x x k 1,2,,n，则称数列 A 为“F 数列”. k k1 k 第 1 页 共 249 页（Ⅰ）判断数列A：1，2，3，4 和A ：1，3，4，2 是否为“F 数列”； 1 2 n （Ⅱ）若数列 A ：a,a ,,a 为“F 数列”，求证：1k1 a 为定值； 1 2 n k k1 （Ⅲ）求所有正整数n，使得存在 1，2，…，n的一个排列 A ：a,a ,,a ， 1 2 n 且 A 为“F 数列”. 4．已知数列a 是正项等比数列，b 是等差数列，且a 2b 2， n n 1 1 a b ，a 4a ， 2 4 5 3 (1)求数列a 和b 的通项公式； n n  n  (2)  x 表示不超过 x 的最大整数，T 表示数列 1 2   b2的前4n项和， 4n n    T b  集合An 4n n2 ,nN* 共有 4 个元素，求范围；  a n2   4 b  b  n1 n ,n2k1,kN (3)c a  b22b ，数列c 的前2n项和为S ，求证： n n2 n n n 2n  a b ,n2k,kN n n 25 2n 2 S    4n1． 2n 18  3 9 5．已知Q:a,a ,,a 为有穷正整数数列，且a ≤a ≤≤a ，集合 1 2 k 1 2 k X 1,0,1．若存在x X,i1,2,,k，使得xa x a x a t，则称t为 i 1 1 2 2 k k k可表数，称集合T ∣t t  xa x a x a ,x X,i1,2,,k 为 k可表 1 1 2 2 k k i 集． (1)若k 10,a 2i1,i1,2,,k，判定 31，1024 是否为 k可表数，并说 i 明理由； (2)若1,2,,nT ，证明： n 3k 1 ； 2 (3)设a 3i1,i1,2,,k，若1,2,,2024T ，求k的最小值． i 6．已知数列{a }满足a 1,a  f(a ). n 1 n1 n π (1)若 f(x) xAsin( x)，求最小正数 A 的值，使数列{a }为等差数列； 2 n (2)若 f(x)lnxx2，求证：a 2n1； n 第 2 页 共 249 页4 4 4 (3)对于（2）中的数列{a }，求证：[1 ][1 ][1 ]e n (a 1)2 (a 1)2 (a 1)2 2 3 n 7．已知数列 A：a ，a ，…，a N 3的各项均为正整数，设集合 1 2 N T   x xa a ,1i jN ，记 T 的元素个数为PT． j i (1)①若数列 A：1，2，4，5，求集合 T，并写出PT的值； ②若数列 A：1，3，x，y，且3 x y，PT3，求数列 A 和集合 T； (2)若 A 是递增数列，求证：“PTN1”的充要条件是“A 为等差数 列”； (3)请你判断PT是否存在最大值，并说明理由． 8．如果无穷项的数列{a }满足“对任意正整数i, j,i j，都存在正整 n 数 k，使得a a a ”，则称数列{a }具有“性质 P”． k i j n (1)若数列{a }是等差数列，首项a＝2，公差d 3，判断数列{a }是否 n 1 n 具有“性质 P”，并说明理由； (2)若等差数列{a }具有“性质 P”，a 为首项，d为公差．求证：a 0 n 1 1 且 d≥0 ； (3)若等比数列a 具有“性质 P”，公比为正整数，且216,315,414,615这 n 四个数中恰有两个出现在a 中，问这两个数所有可能的情况，并 n 求出相应数列首项的最小值，说明理由． 9．设正整数数列 A:a ，a ，， a (N 3) 满足a a ，其中1i jN . 1 2 N i j 如果存在k{2，3，，N}，使得数列 A 中任意k项的算术平均值 均为整数，则称 A 为“k阶平衡数列” (1)判断数列 2，4，6，8，10 和数列 1，5，9，13，17 是否为“4 阶平衡数列”？ (2)若N为偶数，证明：数列 A:1 ，2，3，，N不是“k阶平衡数列”， 其中k{2,3,,N} 第 3 页 共 249 页(3)如果a 2019，且对于任意k{2,3,,N}，数列 A 均为“k阶平衡数 N 列”，求数列 A 中所有元素之和的最大值． 10．给定正整数N 3，已知项数为m且无重复项的数对序列 A ： x,y ,x ,y ,,x ,y 满足如下三个性质：①x,y 1,2,,N，且 1 1 2 2 m m i i x  y i1,2,,m；②x  y i1,2,,m1；③p,q与q,p不同时在数 i i i1 i 对序列 A 中. (1)当 N 3 ，m3时，写出所有满足x 1的数对序列 A ； 1 (2)当N 6时，证明：m13； (3)当N为奇数时，记m的最大值为TN，求TN. 11．设数列a 的前n项和为S ．若对任意的正整数n，总存在正整 n n 数m，使得S a ，则称a 是“H 数列”． n m n 2,n1 (1)若数列a  ，b 2n1，判断a 和b 是否是“H 数列”； n 2n1,n2 n n n (2)设a 是等差数列，其首项a 1，公差d 0．若a 是“H 数列”， n 1 n 求d的值； (3)证明：对任意的等差数列a ，总存在两个“H 数列”b 和c ， n n n 使得a b c  nN*成立． n n n 12．在数列a 中，若a a 1，且a a a  nN*． n 1 2 n2 n1 n (1)试写出数列a 的前六项． n (2)求出a 中另两个可被 5 整除的项，并指出分别是第几项． n (3)指出a 中可被 5 整除的项出现的规律，并说明理由． n (4)a ,a 能否取其他的自然数的值，使数列a 不出现 5 的倍数？为 1 2 n 什么？ (5)a ,a 取怎样的自然数，才使a 中不出现 5 的倍数？试找出其中 1 2 n 第 4 页 共 249 页a ,a 取数规律，并说明理由． 1 2 13．约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数m m0除 得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的 约数.设正整数a共有k个正约数，即为a ,a ,,a ,a a a a . 1 2 k1 k 1 2 k (1)当k 4时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a 的值； (2)当 k4 时，若a a ,a a ,,a a 构成等比数列，求正整数a； 2 1 3 2 k k1 (3)记Aaa a a a a ，求证： Aa2. 1 2 2 3 k1 k 14．设m为给定的正奇数，定义无穷数列 A ： m 1  a  a为偶数 a 1,a 2 n n ,其中nN* .若a 是数列 A 中的项，则记作 1 n1 k m a m  a为奇数  n n a A . k m (1)若数列 A 的前 6 项各不相同，写出m的最小值及此时数列的前 6 m 项； (2)求证：集合B  kN∣* a A ,a 2m 是空集； k m k (3)记集合S  x∣xA  ,S  x∣正奇数m,xS ，求集合 S.（若m为任 m m m 意的正奇数，求所有数列 A 的相同元素构成的集合 S.） m 15．数列a  nN*有 100 项，a a，对任意n[2,100]，存在 n 1 a a d,1in1,若a 与前 n 项中某一项相等，则称a 具有性质 P． n i k k (1)若a =1,d=2，写出a 所有可能的值； 1 4 (2)若a 不是等差数列，求证：数列a 中存在某些项具有性质 P; n n (3)若a 中恰有三项具有性质 P，这三项和为c，请用a、d、c表示 n a a a ． 1 2 100 第 5 页 共 249 页16．若数列a 满足：a {0,1},nN*，且a 1，则称a 为一个 X 数 n n 1 n 列．对于一个 X 数列a ，若数列b 满足：b 1，且 n n 1 a b  a  n1 b,nN*，则称b 为a 的伴随数列． n1 n 2 n n n (1)若 X 数列a 中，a 1,a 0,a 1，写出其伴随数列b 中b ,b ,b 的 n 2 3 4 n 2 3 4 值； (2)若a 为一个 X 数列，b 为a 的伴随数列 n n n ①证明：“a 为常数列”是“b 为等比数列的充要条件； n n ②求b 的最大值． 2023 17．已知a 是无穷数列，a a，a b，且对于a 中任意两项a ， n 1 2 n i a(i j)，在a 中都存在一项 a(jk2j) ，使得a 2a a . j n k k j i (1)若 a3 ，b5，求a ； 3 (2)若 a=b=0 ，求证：数列a 中有无穷多项为 0； n (3)若ab，求数列a 的通项公式. n 18．若存在常数t，使得数列a 满足a aa a a t（ n1 ， nN ）， n n1 1 2 3 n 则称数列a 为“Ht数列”. n (1)判断数列：1，2，3，8，49 是否为“H1数列”，并说明理由； (2)若数列a 是首项为 2 的“Ht数列”，数列b 是等比数列，且a  n n n n 与b 满足a2 aa a a log b ，求t的值和数列b 的通项公式； n i 1 2 3 n 2 n n i1 (3)若数列a 是“Ht数列”，S 为数列a 的前n项和，a 1，t0， n n n 1 试比较lna 与a 1的大小，并证明tS S eSn n. n n n1 n 19．已知三条直线l :y kxm （i1,2,3）分别与抛物线:y2 8x 交于 i i 点A、B，T(t,0)为x轴上一定点，且m m m t，记点 T 到直线l 的 i i 1 2 3 i 距离为d ，△TAB 的面积为S ． i i i i (1)若直线l 的倾斜角为45，且过抛物线的焦点 F ，求直线l 的方 3 3 第 6 页 共 249 页程；   (2)若 OA OB  0 ，且km 0，证明：直线l 过定点； 1 1 1 1 (3)当k1时，是否存在点 T ，使得S ，S ，S 成等比数列，d ，d ， 1 2 3 1 2 d也成等比数列？若存在，请求出点 T 的坐标；若不存在，请说明 3 理由． 20．已知数列a 是首项为 1 的等差数列，数列b 是公比不为 1 n n 的等比数列，满足a a b ，a a b ，a a b ． 1 2 2 2 3 3 4 5 4 (1)求a 和b 的通项公式； n n (2)求数列a b 的前n项和S ； n n n n d (3)若数列d 满足d 1，d d b ，记T  k ．是否存在整数m， n 1 n n1 n n b i1 2k d 使得对任意的 nN* 都有1mT  n 2成立？若存在，求出m的值； n b 2n 若不存在，说明理由． 21．对于项数为m(m3)的有穷数列a ，若 a a  a a  a a ， n 1 2 2 3 m1 m 则称a 为“P 数列”. n (1)已知数列a 、b 的通项公式分别为a n2(1n4)， n n n n b n     1 2    (1n5).分别判断a n 、b n 是否为“P 数列”；（只需给出判断） (2)已知“P 数列”a,a ,,a 的各项互不相同，且 a 20 ，a 2.若 1 2 10 1 10 a ,a ,,a 也是“P 数列”，求有穷数列a 的通项公式； 10 9 1 n (3)已知“P 数列”a 是1,2,3,,m的一个排列（即数列a 中的项不计 n n 先后顺序，分别取1,2,3,,m），且 a a  a a  a a m1，求m 1 2 2 3 m1 m 的所有可能值. 22．设数集 S 满足：①任意 xS ，有 x0 ﹔②对任意 x，yS（x， y 可以取相同值），有x yS或 xy S ，则称数集 S 具有性质 P． 第 7 页 共 249 页(1)判断数集A0,1,3,6和B0,3,6是否具有性质 P，并说明理由； (2)若数集Ba,a ,,a 且a a (i1,2,n1)具有性质 P． 1 2 n i i1 （i）当n4时，判断a,a ,a ,a 是否一定构成等差数列，说明理由； 1 2 3 4 （ⅱ）若 n100 ，数集 B 中的每个元素均为自然数且a 2023，求数 n 集 B 中所有元素的和的所有可能值． 23．设k,m是正整数，如果存在非负整数a,a ,,a ,c,c ,,c使得 1 2 k 1 2 k k m(1)ai2ci ，则称m是 k好数，否则称m是 k坏数．例如： i1 2(1)020(1)020，所以 2 是 2好数． (1)分别判断22,23,24是否为3好数； m (2)若m是偶数且是 k好数，求证：m是k1好数，且 是 k好数； 2 (3)求最少的 2023坏数． a  24．已知数列{a }是等差数列，数列{b }是等比数列，且a 1， n n n 1 b  n 的前 n 项和为S .若2nS 2n1n2对任意的nN*恒成立. n n （1）求数列{a }，{b }的通项公式； n n b ,n是奇数, （2）若数列{c }满足c  n 问：是否存在正整数m，使得 n n a ,n是偶数. n c c c ，若存在求出m的值，若不存在，说明理由； m m1 m187 （3）若存在各项均为正整数､公差为 d的无穷等差数列{d }，满足 n d a ，且存在正整数k，使得d ,d ,d 成等比数列，求 d的所有可 15 2018 1 15 k 能的值. 25．已知A ：a ,a ,,a n4为有穷数列.若对任意的i0,1,,n1， n 1 2 n 都有a a 1（规定a a ），则称A 具有性质 P.设 i1 i 0 n n   T  i, j a a 1,2 jin2i, j1,2,,n . n i j (1)判断数列A ：1，0.1，-0.2，0.5，A ：1，2，0.7，1.2，2 是否 4 5 第 8 页 共 249 页具有性质 P?若具有性质 P，写出对应的集合T ； n (2)若A 具有性质 P ，证明：T ； 4 4 (3)给定正整数n，对所有具有性质 P 的数列A ，求T 中元素个数的 n n 最小值. 26．对于数列a 定义△a a a 为a 的差数列，△2a △a △a为 n i i1 i n i i1 i a 的累次差数列.如果a 的差数列满足△a  △a ， i, jN*,i j ， n n i j 则称a 是“绝对差异数列”；如果a 的累次差数列满足△2a  △2a ， n n i j  i, jN*，则称a 是“累差不变数列”. n (1)设数列A：2，4，8，10，14，16；A ：6，1，5，2，4，3，判 1 2 断数列A和数列A 是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接 1 2 写出你的结论； (2)若无穷数列a 既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且 n a 的前两项a 0，a a，△2a d（d为大于 0 的常数），求数列a  n 1 2 i n 的通项公式； (3)已知数列 B ：b,b ,,b ,b 是“绝对差异数列”，且 1 2 2n1 2n b,b ,,b 1,2,,2n.证明：b b n的充要条件是 1 2 2n 1 2n b ,b ,,b 1,2,,n. 2 4 2n 27．设数列a ,b 的前n项和分别为A ,B ，且 n n n n n2 a 2,A  a ,B 2b ． 1 n 3 n n n (1)求a 和b 的通项公式； n n (2)设c  2,c  a b b b   a  a  a  b n2，数列c  1 n n 1 2 n1 1 2 n n n 的前n项和为S ， n 证明：①S   a  a  a  b b b ； n 1 2 n 1 2 n ②S nn2． n 第 9 页 共 249 页28．已知集合Aa ,a ,a a  N*，其中nN且n3,a a a a， 1 2 3 n 1 2 3 n xy 若对任意的x,yAx y，都有 xy  ，则称集合 A 具有性质M . k k (1)集合A1,2,a具有性质M ，求a的最小值； 3 1 1 n1 (2)已知 A 具有性质M ，求证：   ； 15 a a 15 1 n (3)已知 A 具有性质M ，求集合 A 中元素个数的最大值，并说明理 15 由. 29．对于数集X 1,x,x ,,x （n2为给定的正整数），其中 1 2 n 0 x  x  x ，如果对任意a,bX ，都存在c,dX ，使得 acbd 0 ， 1 2 n 则称 X 具有性质 P． 1  1  (1)若0 x ，且集合1,x, ,1具有性质 P，求 x 的值； 2  2  (2)若 X 具有性质 P，求证： 1X ；且若x 1成立，则x 1； n 1 (3)若 X 具有性质 P，且x 2023，求数列x,x ,,x 的通项公式． n 1 2 n a2 30．已知数列a 满足a a  n1(n 3)，且a a 1 n n n1 a 1 2 n2 (1)求数列a 的通项公式. n 1 1 1 (2)设 f(x)1ex(1 x x2... xn)(x0,nN*)，其中 e 是自然对数的 1! 2! n! xn1 底数，求证：0 f(x) (n1)!  1  (3)设S 为数列   的前n项和，实际上，数列 {S } 存在“极限”，即为： n a  n n 存在一个确定的实数 S，使得对任意正实数 u 都存在正整数 m 满 足当nm时， S S u（可以证明 S 唯一），S 称为数列 {S } 的极限. n n 试根据以上叙述求出数列 {S } 的极限 S. n 31．数列a ：a ，a ，…，a n4满足：a 1，a m，a a 0或 n 1 2 n 1 n k1 k 1（k1，2，…， n1 ），对任意 i，j，都存在 s，t，使得a a a a ， i j s t 其中i,j,s,t1,2,,n且两两不相等． 第 10 页 共 249 页(1)若 m2 ，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的 序号： ①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1， 1，1，2，2，2，2 (2)记S a a a ，若m3，证明：S 20； 1 2 n (3)若 m2022 ，求 n 的最小值． 32．给定正整数 k，m，其中 2mk ，如果有限数列a 同时满足 n 下列两个条件．则称a 为(k,m)数列．记(k,m)数列的项数的最小 n 值为G(k,m)． 条件①：a 的每一项都属于集合1,2,,k； n 条件②：从集合1,2,,k中任取 m 个不同的数排成一列，得到的数 列都是a 的子列． n 注：从a 中选取第i 项、第i 项、…、第i 项（i i …i ）形成的 n 1 2 5 1 2 5 新数列a ,a ,,a 称为a 的一个子列． i3 i2 i5 n (1)分别判断下面两个数列，是否为(3，3)数列．并说明理由！ 数列A :1,2,3,1,2,3,1,2,3； 1 数列A :1,2,3,2,1,3,1． 2 (2)求Gk,2的值； k23k4 (3)求证 G(k,k) ． 2 33．已知有穷数列A:a,a ,,a  NN,N 3 满足a 1,0,1i1,2,,N. 1 2 N i 给定正整数 m，若存在正整数s,t(st)，使得对任意的k{0,1,2,,m1}， 都有a a ，则称数列 A 是 m-连续等项数列. sk tk (1)判断数列A:1,1,0,1,0,1,1是否是 3-连续等项数列，并说明理由； (2)若项数为N的任意数列A都是2-连续等项数列，求N的最小值； 第 11 页 共 249 页(3)若数列A:a ,a ,,a 不是 4-连续等项数列，而数列A :a ,a ,,a ,1， 1 2 N 1 1 2 N 数列A :a ,a ,,a ,0 与数列A :a ,a ,,a ,1都是 4-连续等项数列，且 2 1 2 N 3 1 2 N a 0，求a 的值. 3 N 34．设a 为无穷数列，给定正整数k(k 2)，如果对于任意 nN*， n 都有a a 2a ，则称数列a 具有性质P(k)． n2k n nk n (1)判断下列两个数列是否具有性质P(2)；（结论不需要证明） ①等差数列 A ：5，3，1，…；②等比数列 B ：1，2，4，…． (2)已知数列a 具有性质P(2)，a 1， a 2 ，且由该数列所有项组成 n 1 2 的集合  a nN*  Z，求a 的通项公式； n n (3)若既具有性质P(6)又具有性质P(k)的数列a 一定是等差数列， n 求k的最小值． T 35．正整数数列a 的前n项和为S ，前n项积T ，若 i N*(i1,2,n) ， n n n S i 则称数列a 为“Z 数列”. n (1)判断下列数列是否是 Z 数列，并说明理由；①2，2，4，8；②8， 24，40，56 (2)若数列a 是 Z 数列，且 a 2.求S 和T ； n 2 3 3 (3)是否存在等差数列是 Z 数列？请阐述理由. 36．已知无穷数列a 的各项均为整数．设数列a 的前n项和为S ， n n n 记S ,S ,,S 中奇数的个数为b ． 1 2 n n (1)若a n，试写出数列b 的前 5 项； n n (2)证明：“a 为奇数，且a i2,3,4,为偶数”是“数列b 为严格增数 1 i n 列”的充分非必要条件； (3)若a b （ i 为正整数），求数列a 的通项公式． i i n 37．已知数列a ．给出两个性质： n 第 12 页 共 249 页①对于a 中任意两项a,a  i j ，在a 中都存在一项a ，使得 n i j n k a aa ； k i j ②对于a 中任意连续三项a ，a ，a ，均有 n n n1 n2  1  a a a  a  a a 0． n n1 n2  n 2 n1 n2 (1)分别判断以下两个数列是否满足性质①，并说明理由： （i）有穷数列a ：a 2n1(n1,2,3)； n n （ⅱ）无穷数列b ：b 2n1(n1,2,3,)． n n (2)若有穷数列a 满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数 n m 的最大值； (3)若数列a 满足性质①和性质②，且a 0，a 1，a 2，求a  n 1 2 3 n 的通项公式． 38．设a ,a ,a ,a 是各项为正数且公差为dd 0的等差数列 1 2 3 4 (1)证明： 2a1,2a2,2a3,2a4 依次成等比数列； (2)是否存在a,d ，使得a ,a2,a3,a4依次成等比数列，并说明理由； 1 1 2 3 4 (3)是否存在a,d 及正整数n,k，使得an,ank,an2k,an3k依次成等比数列， 1 1 2 3 4 并说明理由． 39．已知数列a ,b 的项数均为 m(m2)，且a ,b {1,2,,m}, a ,b  n n n n n n 的前 n 项和分别为A ,B ，并规定A B 0．对于k0,1,2,,m，定 n n 0 0 义r max  i∣B  A ,i{0,1,2,,m} ，其中，maxM表示数集 M 中最大的 k i k 数. (1)若a 2,a 1,a 3,b 1,b 3,b 3，求r ,r,r ,r 的值； 1 2 3 1 2 3 0 1 2 3 (2)若a b，且2r r r , j1,2,,m1,，求r ； 1 1 j j1 j1 n (3)证明：存在p,q,s,t0,1,2,,m，满足pq,st, 使得A B  A B ． p t q s 40．如图为一个各项均为正数的数表，记数表中第 i 行第 j列的数 第 13 页 共 249 页为ai, j，已知各行从左至右成等差数列，各列从上至下成公比相 同的等比数列. 1 … 6 20  (1)若ai, j100，求实数对i, j； (2)证明：所有正整数恰在数表中出现一次. 41．悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱 顶部，中间自然下垂所形成的外形．在工程中有广泛的应用，例 如悬索桥、架空电缆都用到了悬链线的原理，经过很长时间的探 究，在 17 世纪末期，莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线 c x  x 的方程是y ec e c ，其中 c 为曲线顶点到横轴的距离．当c1时， 2  ex ex 称 chx 为双曲线余弦函数． 2 (1)解方程chx3； (2)双曲余弦函数的导数成为双曲正弦函数，记作shx．当 x0 时， 求shx3x的最小值； n2 n (3)已知a  3ch  ，求数列a 的最大项．（参考数据：3e 1.4 ） n 2 3 n 42．设数列 a n :1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,,    1k  1  k,  ,  1  k1  k,，即当 k个 k1k n kk1  kN*时， a 1k1k ．记S a a La  nN*． 2 2 n n 1 2 n (1)写出S ， S ，S ，S ； 1 2 3 4 (2)令b k S kk1，求数列b 的通项公式； k 2 第 14 页 共 249 页 S  (3)对于 lN*，定义集合P n n Z,nN*,且1nl ，求集合P 中元 l  a n  2023 素的个数． 43．已知 a 是由非负整数组成的无穷数列．该数列前n项的最大 n 值记为A ，第n项之后各项a ,a ,的最小值记为B ，d A B ． n n1 n2 n n n n (1)若 a 为2,1,4,3,2,1,4,3, ，是一个周期为 4 的数列（即对任意 nN*， n a a ），写出d ，d ，d ，d 的值； n4 n 1 2 3 4 (2)设 d 是非负整数．证明： d d （n1,2,3,）的充分必要条件为 n {a }是公差为 d 的等差数列； n (3)证明：若a 2，d 1（n1,2,3, ），则{a }的项只能是 1 或者 2 ，且 1 n n 有无穷多项为 ． 1 44．给定项数为m  mN*,m3 的数列a ，其中a 0,1i1,2,,m. n i 若存在一个正整数k2km1，若数列a 中存在连续的k项和该 n 数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列a 是“k n 阶可重复数列”，例如数列a :0,1,1,0,1,1,0.因为a ,a ,a ,a 与a ,a ,a ,a 按 n 1 2 3 4 4 5 6 7 次序对应相等，所以数列a 是“4 阶可重复数列”. n (1)分别判断下列数列 ①b :0,0,0,1,1,0,0,1,1,0. n ②c :1,1,1,1,1,0,1,1,1,1. n 是否是“5 阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这 5 项； (2)若项数为m的数列a 一定是“3 阶可重复数列”，则m的最小值 n 是多少？说明理由； (3)假设数列a 不是“5 阶可重复数列”，若在其最后一项a 后再添 n m 加一项 0 或 1，均可使新数列是“5 阶可重复数列”，且 a 1 ，求数 4 第 15 页 共 249 页列a 的最后一项a 的值. n m 45．若数列a 满足 a a 1  k 1,2,3,,n1n2，则称数列a 为 n k1 k n 数列.记S a a a a . n 1 2 3 n (1)写出一个满足a a 1，且S 5的数列； 1 5 5 (2)若a 24,n2000，证明：数列a 是递增数列的充要条件是 1 n a 2023； n (3)对任意给定的整数nn3，是否存在首项为 1 的数列a ，使 n 得S 1？如果存在，写出一个满足条件的数列a ；如果不存在， n n 说明理由. 46．若n、a、b均为正整数，且nab，p为一素数，n、a、b的 s s s p进制表示分别为nn pi，aa pi，bbpi ，其中， i i i i0 i0 i0 0n、a 、b  p1i0,1,,s.证明： i i i s （1）若nd pid 0,i0,1,,s，且对整数 j 0 js均有 i i i0 d i pi p1pi ，则   n    s d pij，其中， x 表示不超过实数x的最 ij ij pj  ij i 大整数. （2）p n! ,p1 ╲ | n!   i a b n i0,1,,s ，其中， A 表示 a!b! a!b! i i i 集合 A 中元素的个数. 47．已知有穷数列A:a，a ，，a (n3)中的每一项都是不大于n的正 1 2 n 整数.对于满足1mn的整数m，令集合Am k a m，k 1，2，，n  . k 记集合A(m)中元素的个数为s(m)（约定空集的元素个数为 0）. (1)若A:6，3，2，5，3，7，5，5，求A(5)及s(5)； 1 1 1 (2)若   n，求证：a ,a ,,a 互不相同； s(a) s(a ) s(a ) 1 2 n 1 2 n (3)已知a a,a b，若对任意的正整数i，j(i j，i jn)都有 i jA(a) 或 1 2 i 第 16 页 共 249 页i jA(a )，求a a a 的值. j 1 2 n 48．已知无穷数列a 满足a maxa ,a mina ,a (n1,2,3,)， n n n1 n2 n1 n2 其中max{x,y}表示 x，y 中最大的数，min{x,y}表示 x，y 中最小的数. (1)当a 1， a 2 时，写出a 的所有可能值； 1 2 4 (2)若数列a 中的项存在最大值，证明：0 为数列a 中的项； n n (3)若a 0(n1,2,3,)，是否存在正实数 M，使得对任意的正整数 n， n 都有a M ？如果存在，写出一个满足条件的 M；如果不存在，说 n 明理由. 49．设为整数．有穷数列a 的各项均为正整数，其项数为 m n （m2）．若a 满足如下两个性质，则称a 为P 数列：①a 1， n n  m a 1, a 为奇数,  n n 且a i 1(i1,2,,m1) ；②a n1   a n , a 为偶数 (n1,2,,m1)  2 n (1)若a 为P数列，且a 5，求 m； n 1 1 (2)若a 为P 数列，求a 的所有可能值； n 1 1 (3)若对任意的P数列a ，均有m2log a d，求 d 的最小值． 1 n 2 1 50．已知等比数列a 的公比为 q（q1），其所有项构成集合 A， n 等差数列b 的公差为 d（d 0），其所有项构成集合 B．令C  AB， n 集合 C 中的所有元素按从小到大排列构成首项为 1 的数列c ． n (1)若集合C {1,3,4,5,6,7,9}，写出一组符合题意的数列a 和b ； n n (2)若a 2n1 nN*，数列b 为无穷数列，AB，且数列c 的 n n n 前 5 项成公比为 p 的等比数列．当b a 时，求 p 的值； 1 5 (3)若数列b 是首项为 1 的无穷数列，求证：“存在无穷数列a ， n n 使AB”的充要条件是“d 是正有理数”． 第 17 页 共 249 页51．已知数列A:x ,x,x ,,x .设集合A  i x k,i0,1,2,,n k 0,1,2,,n， 0 1 2 n k i 如果对任意的整数k0kn都有集合A 的元素个数等于x ，则称 A k k 为“完美数列” (1)分别判断数列A :2,0,2,0和A :1,2,0,1是否为“完美数列”，直接写出 1 2 结论： (2)若 A 是“完美数列”，求证：x 2x 3x n1x 2n2； 0 1 2 n (3)若 A 是“完美数列”，且x 2023，求出所有满足条件的数列 A. 0 52．对于一个有穷单调递增正整数数列 P，设其各项为a ，a ，L， 1 2 a n5，若数列 P 中存在不同的四项a ，a ，a ，a 满足a a a a ， n p q s t p q s t 则称 P 为等和数列，集合M   a ,a ,a ,a 称为 P 的一个等和子集， p q s t 否则称 P 为不等和数列． (1)判断下列数列是否是等和数列，若是等和数列，直接写出它的 所有等和子集；A：1，3，5，7，9；B：2，4，6，7，10； (2)已知数列 P：a ，a ，a ，a ，a 是等和数列，并且对于任意的 1 2 3 4 5 i, j1i j5，总存在 P 的一个等和子集 M 满足集合 a,a  M ，求 i j 证：数列 P 是等差数列； n2n9 (3)若数列 P：a ，a ，L，a 是不等和数列，求证： a  ． 1 2 n n 4 53．若无穷数列a 满足 nN， a a n1，则称a 具有性质 n n n1 n P．若无穷数列a 满足 nN，a a 1a2 ，则称a 具有性质P． 1 n n n4 n2 n 2 (1)若数列a 具有性质P，且a 0，请直接写出a 的所有可能取值； n 1 1 3 (2)若等差数列a 具有性质P，且a 1，求a2a2的取值范围； n 2 1 2 3 (3)已知无穷数列a 同时具有性质P和性质P，a 3，且 0 不是数列 n 1 2 5 a 的项，求数列a 的通项公式． n n 54．对于每项均是正整数的数列A :a 、a 、L、a ，定义变换T ，T 1 1 2 n 1 1 第 18 页 共 249 页将数列 A 变换成数列T A:n、a 1、a 1、L、a 1．对于每项均是 1 1 2 n 非负整数的数列B:b 、b 、L、b ，定义变换T ，T 将数列 B 各项从 1 2 m 2 2 大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T B；又定义 2 SB2b 2b mb b2b2b2．设A 是每项均为正整数的有穷 1 2 m 1 2 m 0 数列，令A T  T A k 0,1,2, ． k1 2 1 k (1)如果数列A 为 5 、 1 、3，写出数列A、A ； 0 1 2 (2)对于每项均是正整数的有穷数列 A ，证明S  TASA； 1 (3)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A ，存在正 0 整数 K ，当k K时，SA SA ． k1 k 55．数列a 项数为N，我们称p为a 的“映射焦点”，如果p满足： n n ①2p2,4,,N； ②对于任意n1,p，存在kp1,N，满足a a ，并将最小的k记 n k 作k ； n (1)若 N 9 ，判断a  n5 时，4 是否为映射焦点？5 是否为映射焦 n 点？ (2)若N 40,a  log nlog 6 时，p是映射焦点，证明：p的最大值为 4； n 2 2 (3)若a N*,a a 1,1(1i N),nk 2p1n p，N 2p100,a 5， n i1 i n p 求a a a 的最小值. 1 2 100 56．给定整数n3，由n元实数集合 S 定义其相伴数集 T   ab∣a､bS,ab ，如果minT1，则称集合 S 为一个n元规范数 集，并定义 S 的范数 f 为其中所有元素绝对值之和. (1)判断A0.1,1.1,2,2.5、B1.5,0.5,0.5,1.5哪个是规范数集，并说 明理由； (2)任取一个n元规范数集 S，记m、 M 分别为其中最小数与最大数， 第 19 页 共 249 页求证： minS maxSn1； (3)当S a,a ,L,a 遍历所有 2023 元规范数集时，求范数 f 的最小 1 2 2023 值. 注：minX、maxX分别表示数集 X 中的最小数与最大数. x 57．（1）xR  ,nN*，且 1 至x之间的整数中，有  n   个是n的倍数． n  n   n  （2）在 n! 中，质数p的最高方次数是p(n!)          ． p p2 p3  1  2  n1 （3）x为实数，n为正整数，求证：x x  x  x  nx ．        n  n  n  58．设n是正整数，一个有限整数数列a ,a ,a ,,a ，定义它的差集 0 1 2 n A 为 a a (1kn)构成的集合. k k1 (1)求下列数列的差集 A； ①1，2，3，4，5，6，7，8； ②1，2，4，8，16，32 (2)若 n2021 ，A  1,2,22,,22020，求 a a 的最大值和最小值; 2021 0 (3)若0 a  a  a ，并且A  1,3,32,,3n2,3n1，求满足上述要求的 0 1 n 整数列的个数F(n). 59．对于数列 {u } ，若存在常数M 0，对任意的 nN*，恒有 n |u u ||u u ||u u |M ，则称数列 {u } 为 B数列． n1 n n n1 2 1 n (1)首项为1，公比为1 的等比数列{a }是否为 B数列？请说明理由； 2 n (2)设S 是数列{a }的前n项和，若数列 {S } 是 B数列，那么数列{a }是 n n n n 否为 B数列？若是，请说明理由；若不是，请举出一个例子； (3)若数列{a }，{b }都是 B数列，求证：数列{a b }是 B数列． n n n n 60．已知数列a 的通项公式是a 2n1，数列b 是等差数列，令集 n n n 合Aa ,a ,,a , ，Bb,b ,,b ,  nN*，将集合 AB 中的元素按 1 2 n 1 2 n 第 20 页 共 249 页从小到大的顺序排列构成的数列记为c . n (1)若c n  nN*，写出一个符合条件的b 的通项公式，并说明理 n n 由； 2n (2)若 b n  2n,d n 3n1n    b n n    ,  nN*，且数列d n 在 nN*上严格单 调递增，求实数的取值范围； (3)若AB，数列c 的前 5 项成等比数列，且c 1,c 8，试求出 n 1 9 所有满足条件的数列b . n 61．设满足以下两个条件的有穷数列a ,a ,…,a 为nn2,3,4, 阶“Q 1 2 n 数列”： ①a a a  0；② a  a  a 1． 1 2 n 1 2 n (1)分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“Q 数列”； (2)若 2018 阶“Q 数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式； (3)记 n 阶“Q 数列”的前 k 项和为S k 1,2,3,,n，求证 S  1． k k 2 62．已知A:a,a ,L,a 为正整数数列，满足a a a ．记 1 2 n 1 2 n S a a a ．定义 A 的伴随数列T (1k n1)如下： 1 2 n k ①T 0； 1 1,T 0, ②T T a (1k n)，其中  k (k 1,2,,n)． k1 k k k k 1,T 0 k (1)若数列 A：4，3，2，1，直接写出相应的伴随数列T (1k 5)； k (2)当n2时，若S 2n2，求证：a a 1； n1 n (3)当n2时，若S 2n2，求证：T 0． n1 63．设有限数列 A ：a ,a ,,a  nN*，定义集合M   a a 1i jn 为 1 2 n i j 数列 A 的伴随集合. (1)已知有限数列 P ：-1，0，1，2 和数列Q：1，2，4，8.分别写出 第 21 页 共 249 页P 和Q的伴随集合； (2)已知有限等比数列 A ：4,42,,4n nN*，求 A 的伴随集合 M 中各 元素之和 S； 50 11 (3)已知有限等差数列 A ：a ,a ,,a ，判断 0， ， 是否能同时 1 2 2022 7 100 属于 A 的伴随集合 M，并说明理由. 64．已知无穷数列a 满足：a 0，a 1，且当n3时，总存在 n 1 2 i 1,2,,n1 ，使得a  a i a i1 a n1 ． n ni (1)求a 的所有可能值； 4 (2)求a 的所有可能值中的最大值； 2023 1 (3)求证：当n3时，a a  ． n1 n n 65．数列{a }的前n项和为S ，若对任意的正整数n，总存在正整数 n n m，使得S a ，则称数列{a }是“E 数列”. n m n (1)数列{a }的前n项和S 3n(nN*)，判断数列{a }是否为“E 数列”， n n n 并说明理由； (2)数列{b }是等差数列，其首项b 1，公差d 0，数列{b }是“E 数列”， n 1 n 求d的值； (3)证明：对任意的等差数列{a }，总存在两个“E 数列”{b }和{c }， n n n 使得a b c  nN成立. n n n 66．设数集 S 满足：①任意 xS ，有 x0 ；②任意 x，yS，有x yS 或 xy S ，则称数集 S 具有性质 P. (1)判断数集A 0,1,2,4 和B0,2,4是否具有性质 P ，并说明理由； (2)若数集C a,a ,,a 且a a i1,2,,n1具有性质 P. 1 2 n i i1 （i）当 n5 时，求证：a ，a ，…，a 是等差数列； 1 2 n （ii）当a ，a ，…，a 不是等差数列时，求n的最大值. 1 2 n 第 22 页 共 249 页67．定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入 这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列 的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列， 以此类推可以得到n阶和数列，如2,4的一阶和数列是2,6,4，设 n 阶和数列各项和为S ． n (1)试求数列2,4的二阶和数列各项和S 与三阶和数列各项和S ，并 2 3 猜想S 的通项公式（无需证明）； n S 32n1 2025 (2)设b  n ，b 的前m项和T ，若T  ，求m的 n log S 3log S 3 n m m 2 3 n 3 n1 最小值 68．记|A|表示集合 A 中的元素个数，AB{ab∣aA,bB}．若 1 |AA| |A|(|A|1)，则称集合 A 有“性质 T”． 2 (1)设Aa ,a ,,a ,a 为等比数列且各项为正有理数，证明集合 A 1 2 n n 有“性质 T”． (2)已知集合 A，B 均有“性质 T”，且|A||B|n，求|AB|的最小值． 69．已知数列 A ：a,a ,,a N 4，其中a,a ,,a Z，且a a a ． 1 2 N 1 2 N 1 2 N 若数列 A:a ,a ,a 满足a a,a a ，当i2,3,N1时，a a 1或 1 2 N 1 1 N N i i1 a i a i1 1，则称 A：a 1 ,a 2 ,a N 为数列 A 的“紧数列”． 例如，数列 A ：2，4，6，8 的所有“紧数列”为 2，3，5，8；2，3， 7，8；2，5，5，8；2，5，7，8． (1)直接写出数列 A：1，3，6，7，8 的所有“紧数列”A ； (2)已知数列 A 满足：a 1，a 2N，若数列 A 的所有“紧数列”A 均 1 N 为递增数列，求证：所有符合条件的数列 A 的个数为N1； (3)已知数列 A 满足：a 0， a 2 ，对于数列 A 的一个“紧数列”A ， 1 2 第 23 页 共 249 页  定义集合S    A ˜     a i a ˜ i i  2,3,,N 1 ，如果对任意xS  A，都有 xS  A，那么称A 为数列 A 的“强紧数列”．若数列 A 存在“强紧数 列”，求a 的最小值．（用关于 N 的代数式表示） N 70．设q,d 为常数，若存在大于 1 的整数k，使得无穷数列a 满足 n  n a d, N* a     n k ，则称数列a  nN*为“M(k)数列”. n1  qa , n N* n  n k (1)设d 3，q0，若首项为 1 的数列a 为“M(3)数列”，求a ； n 2022 (2)若首项为 1 的等比数列b 为“M(k)数列”，求数列b 的通项公 n n 式，并指出相应的k,d,q的值； (3)设d 1，q=2，若首项为 1 的数列c 为“M(10)数列”，求数列c  n n 的前10n项和S . 10n 71．已知数列{a }中a 1，前n项和为S ，若对任意的 nN*，均有 n 1 n S a k （k是常数，且 kN*）成立，则称数列{a }为“H(k)数列”. n nk n (1)若数列{a }为“H(1)数列”，求数列{a }的前n项和S ； n n n (2)若数列{a }为“H(2)数列”，求证：a2 a2 a a a a  n 3,n N* ； n n1 n n1 n1 n n2 (3)若数列{a }为“H(2)数列”，且a 为整数，试问：是否存在数列{a }， n 2 n 使得|a2a a |40 对一切n2， nN*恒成立？如果存在，求出这样 n n1 n1 数列{a }的a 的所有可能值，如果不存在，请说明理由. n 2 72．已知集合M＝{x|1x m，xZ}（ Z 是整数集，m 是大于 3 的正整 数）．若含有 m 项的数列a 满足：任意的i，jM ，都有a M，且 n i 当i j时有a a ，当im时有|a -a |=2或|a -a |=3，则称该数列为 P i j i1 i i1 i 数列． (1)写出所有满足 m=5 且a 1的 P 数列； 1 (2)若数列a 为 P 数列，证明：a 不可能是等差数列； n n 第 24 页 共 249 页(3)已知含有100项的P数列a 满足a，a ，，a ，，a k 1，2，3，，20 n 5 10 5k 100 是公差为dd 0等差数列，求 d 所有可能的值． 73．记实数a、b中较小者为mina,b，例如min1,21，min1,11， 对于无穷数列a ，记h mina ,a .若对任意 kN*均有h h ，则 n k 2k1 2k k k1 称数列a 为“趋向递增数列”. n (1)已知数列a n 、b n 的通项公式分别为a n cos n 2  ， b n      1 2    n ，判断 数列a 、b 是否为“趋向递增数列”？并说明理由； n n (2)已知首项为 1 ，公比为q的等比数列c 是“趋向递增数列”，求公 n 比q的取值范围； (3)若数列d 满足d 、d 为正实数，且d  d d ，求证：数列d  n 1 2 n n2 n1 n 为“趋向递增数列”的必要非充分条件是d 中没有 0. n 74．设p为实数，定义p生成数列a(p) 和其特征数列b(p) 如下： n n （i）a(p) 0； 1 1 1,a(p)  p, （ii）a(p) a(p)  b(p) n1,2, ，其中b(p)  n n1,2, . n1 n n n n 1,a(p)  p n (1)直接写出 1生成数列的前 4 项； (2)判断以下三个命题的真假并说明理由； ①对任意实数p0，都有a(2p) 2a(p) n1,2, ； n n ②对任意实数p0，都有a(p) a(p) n1,2, ； n n ③存在自然数p､qpq和正整数N ，对任意自然数nN ，有 a(p) a(q) C，其中C为常数. n n (3)从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的 无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为原数列的一个无穷递 增子列.求证：对任意正实数p,p生成数列a(p) 存在无穷递增子 n 第 25 页 共 249 页列. 75．已知数列{a }为有限项数列，项数为 m（m3，mN*），若对任 n 意2km1且 kN*都有|a a  a a |，则称{a }是“Ω数列” k1 1 k 1 n (1)判断数列 3，2，4，1，5，6 和 2，4，1，5，6 是否是“Ω数列” （无需说明理由）； (2)已知{a }为项数 m2022 的等比数列，a 1，若{a }是“Ω数列”， n 1 n 求其公比 q 的取值范围； (3)已知{a }是 1，2，3，……，2022 的一个排列，令b a （1k2021）， n k k1 若{a }和{bn}都是“Ω数列”，求a 的所有可能值. n 1 76．已知数列 A:a ， a ，…，a 的各项均为整数，且对任意的 i1 ， 1 2 N 2，…，N 1，都有 a a 1．将 A 的所有项之和记为SA． i1 i (1)若N=5，a 2，求SA的最大值； 1 (2)若 N 2022 ，求证：SA0； (3)设 N 15 ．将所有符合题意且SA0的数列 A 的总个数记为 M， 判断 M 是否为 4 的倍数，并说明理由． 77．给定有穷数列A:a 、 a 、、a  n3,nN，定义数列 A 的绝对 1 2 n 差分数列B:b、b 、、b  n3,nN，其中 1 2 n1 b  a a  1kn1,kN．若数列 B 是单调不减的，即b b b ， k k1 k 1 2 n1 则称数列 是 数列． A X (1)直接写出下面两个数列的绝对差分数列，并判断其是否为 X 数 列： ①A :1、 2 、 4 、5； 1 ②A :2、2 、8、 0 ； 2 (2)已知各项均为整数的 X 数列A:a 、 a 、、a 满足a a a ， 1 2 10 1 2 10 第 26 页 共 249 页并且其差分数列是等差数列，若a =3，a 6，求a 的所有可能值； 1 4 10 (3)已知 X 数列A:a 、 a 、、a 是 1 、 2 、 3 、、n  n3,nN的一 1 2 n 个排列，若其差分数列B:b、b 、、b 满足b b b n 2， 1 2 n1 1 2 n1 求n的所有可能值． a a a 78．设数列 A:a,a ,L,a 中每一项都是正整数，如果 1 , 2 ,, n1 两两不 1 2 n a a a 2 3 n 同，则称数列 A 为 L数列.设GA a∣1in ，并且记GA中的元素 i 个数为GA . (1)判断数列A :1,3,1,4与数列A :1,2,2,4是否为 L数列，并说明理由； 1 2 (2)若数列 A 为 L数列，且 n9 ，求证：GA 的最小值为 4； (3)若数列A:a ,a ,,a 为 L数列，且GA 6，求证：a a a 132. 1 2 32 1 2 32 79．对于给定的奇数mm3，设 A 是由mm个实数组成的m行m列 的数表，且 A 中所有数不全相同， A 中第 i 行第 j列的数a 1,1， ij 记ri为 A 的第 i 行各数之和，cj为 A 的第 j列各数之和，其中 i, j1,2,,m.记 f A m2 r1r2rm .设集合H i, j a ri0 ij 2 或a cj0,i, j1,2,,m，记HA为集合 H 所含元素的个数. ij (1)对以下两个数表A，A ，写出 f A，HA， f A ，HA 的值； 1 2 1 1 2 2 (2)若r1,r2,,rm中恰有s个正数，c1,c2,,cm中恰有t个正数. 求证：HAmtms2ts； HA (3)当m5时，求 的最小值. f A 第 27 页 共 249 页80．已知Q:a,a ,,a 为有穷整数数列．给定正整数 m，若对任意的 1 2 k n{1,2,,m}，在 Q 中存在a,a ,a ,,a (j0)，使得 i i1 i2 ij a a a a n，则称 Q 为m连续可表数列． i i1 i2 ij (1)判断Q:2,1,4是否为5连续可表数列？是否为6连续可表数列？ 说明理由； (2)若Q:a,a ,,a 为 8连续可表数列，求证：k 的最小值为 4； 1 2 k (3)若Q:a,a ,,a 为20连续可表数列，且a a a 20，求证：k7． 1 2 k 1 2 k 81．对于数列 A:a ，a ，…，a (n3)，定义变换 T ， T 将数列 A 变换 1 2 n 成数列T(A):a ，a ，…，a ，a ，记 T1(A)T(A) ，Tm(A)T  Tm1(A) ，m2．对 2 3 n 1 于数列 A:a ，a ，…，a 与B:b ，b ，…，b ，定义ABab a b a b ．若 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n 数列 A:a ，a ，…，a (n3)满足a {1,1}(i1,2,,n) ，则称数列 A 为 1 2 n i n 数列． (1)若A：1,1,1,1,1,1，写出T(A)，并求 AT2(A) ； (2)对于任意给定的正整数n(n3)，是否存在 数列 A ，使得 n AT(A)n3?若存在，写出一个数列 A ，若不存在，说明理由： (3)若 数列 A 满足 Tk(A)Tk1(A)n4(k 1,2,,n2) ，求数列 A 的个数． n 82．已知集合 M  N*，且 M 中的元素个数 n 大于等于 5.若集合 M 中存在四个不同的元素 a，b，c，d，使得 abcd ，则称集合 M 是“关 联的”，并称集合{a,b,c,d}是集合 M 的“关联子集”；若集合 M 不存 在“关联子集”，则称集合 M 是“独立的”. (1)分别判断集合{2,4,6,8,10}与{1,2,3,5,8}是“关联的”还是“独立的”？ (2)写出（1）中“关联的”集合的所有的“关联子集”； (3)已知集合M a,a ,a ,a ,a 是“关联的”，且任取集合 a,a  M ， 1 2 3 4 5 i j 总存在 M 的“关联子集”A，使得 a,a   A.若a a a a a ，求证： i j 1 2 3 4 5 第 28 页 共 249 页a ，a ，a ，a ，a 是等差数列. 1 2 3 4 5 83．若数列a 满足“对任意的正整数 i，j，i j，都存在正整数 k， n 使得a a a ”，则称数列a 具有“性质 P”． k i j n (1)判断数列a 1和b n是否具有“性质 P”，并说明理由； n n 1 (2)若公比为 的无穷等比数列a 具有“性质 P”，求首项a 的取值 3 n 1 集合； (3)若首项a 3的无穷等差数列a 具有“性质 P”，求公差 d 的取值 1 n 集合． 84．从一个无穷数列a 中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个 n 新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为a 的一个无穷递 n 增子列．已知数列b 是正实数组成的无穷数列，且满足b  b b ． n n n1 n2 (1)若b 1，b 2，写出数列b 前 4 项的所有可能情况； 1 2 n (2)求证：数列b 存在无穷递增子列； n (3)求证：对于任意实数 M ，都存在 kN*，使得b M ． k 85．已知a 为各项均为正数的数列且对满足2n pq的正整数 p， n 2a a a q，n 都有等式(*) n  p q 成立. 1a 2  1a  1a  n p q 3n 1 (1)判断数列 a  是否满足等式（*）； n 3n 1 (2)证明a (0,1)的充要条件为a ， a (0,1) ； n 1 2 (3)证明：存在与a 有关的常数，使得对于每个正整数 n，都有 1 1 a .  n 86．如果无穷数列a 是等差数列，且满足：①i、 jN*， kN*， n 使得a i a j a k ；② kN*，i、 jN*，使得a i a j a k ，则称数列a n 是“H 数 列”. 第 29 页 共 249 页(1)下列无穷等差数列中，是“H 数列”的为___________；（直接写 出结论） a :1、3、 5 、 n b :0、 2 、 4 、 n c :0、 0 、 0 、 n d :1、 0 、 1 、 n (2)证明：若数列a 是“H 数列”，则a Z且公差 dN ； n 1 (3)若数列a 是“H 数列”且其公差 dN*为常数，求a 的所有通项 n n 公式. 87．设数列A:a,a ,,a n2.如果a 1,2,,ni1,2,,n，且当i j时， 1 2 n i a a 1i, jn，则称数列 A 具有性质 P.对于具有性质 P 的数列 A， i j 1,a＜a , 定义数列TA:t ,t ,,t ，其中t  k k1 k 1,2,,n1. 1 2 n1 k 0,a＞a k k1 (1)对TA:0,1,1，写出所有具有性质 P 的数列 A； (2)对数列E:e,e ,,e n2，其中e 0,1i1,2,,n1，证明：存在 1 2 n1 i 具有性质 P 的数列 A，使得TA与 E 为同一个数列； (3)对具有性质 P 的数列 A，若 a a 1n5且数列TA满足 1 n 0,i为奇数, t  i1,2,,n1，证明：这样的数列 A 有偶数个. i 1,i为偶数 88．对于项数为m（mN，m2的有穷正整数数列{a }，记 n b maxa,a ,,a (k 1,2,,m)，即b 为a ，a ，……a 中的最大值， k 1 2 k k 1 2 k 称数列{b }为数列{a }的“创新数列”.比如 1，3，2，5，5 的“创新 n n 数列”为 1，3，3，5，5. (1)若数列{a }的“创新数列”{b }为 1，2，3，4，4，写出所有可能 n n 的数列{a }； n 第 30 页 共 249 页(2)设数列{b }为数列{a }的“创新数列”，满足 n n a b 2022k 1,，2,，,，m，求证：a b k 1,，2，,,，m k nk1 k k (3)设数列{b }为数列{a }的“创新数列”，数列{b }中的项互不相等 n n n 且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{a }. n 89．设m为正整数，若无穷数列a 满足 a  a i (i1,2,,m;k1,2,)， n iki ik 则称a 为P 数列. n m (1)数列n是否为P数列？说明理由； 1 s,n2k 1,k Z (2)已知a  1 1 其中s,t为常数.若数列a 为P数列，求s,t； n t,n2k ,k Z n 2 2 2 (3)已知P数列a 满足a 0，a 2， a a (k1,2,) ，求a . 3 n 1 8 6k 6k6 n 90．已知数列A:a,a ,L,a 为有穷正整数数列.若数列 A 满足如下两个 1 2 n 性质，则称数列 A 为 m 的 k 减数列： ①a a a m ； 1 2 n ②对于1i jn，使得a a 的正整数对(i, j)有 k 个. i j (1)写出所有 4 的 1 减数列； (2)若存在 m 的 6 减数列，证明： m6 ； (3)若存在 2024 的 k 减数列，求 k 的最大值. 91．对于有限数列a ，nN ，N 3， NN*，定义：对于任意的kN， n kN*，有： （i ）S*(k) a  a  a  a 1 2 3 k （ii ）对于 cR ，记L(k) a c  a c  a c  a c .对于 kN*，若 1 2 3 k 存在非零常数c，使得 L(k)S*(k) ，则称常数c为数列a 的k阶系数. n (1)设数列a 的通项公式为 a 2n，计算 S*(4) ，并判断 2 是否为数 n n 列的 4 阶系数； 第 31 页 共 249 页(2)设数列a 的通项公式为a 3n39，且数列a 的m阶系数为 3， n n n 求m的值； (3)设数列a 为等差数列，满足-1，2 均为数列a 的m阶系数， n n 且 S*(m)507 ，求m的最大值. 92．设集合M 1,2,3,,n，其中n3，nN，在 M 的所有元素个数 为 K（ KN ，2≤K≤n）的子集中，我们把每个 K 元子集的所有元 素相加的和记为T （ KN ，2≤K≤n），每个 K 元子集的最大元素之 K 和记为a （ KN ，2≤K≤n），每个 K 元子集的最小元素之和记为b K K （ KN ，2≤K≤n）． (1)当 n＝4 时，求a 、b 的值； 3 3 (2)当 n＝10 时，求T 的值； 4 b (3)对任意的 n≥3，nN，给定的 KN ，2≤K≤n， K 是否为与 n 无 a K 关的定值？若是，请给出证明并求出这个定值：若不是，请说明 理由． 93．给定正整数 n6 ，定义 M 数列：m ，m ，…，m ，如下：m（k 0， 0 1 n k 1，2，…n）等于m ，m ，…，m 中 k 出现的次数. 0 1 n (1)若n6，M 数列为：3，m ，m ，1，0，0，0，求m ，m ； 1 2 1 2 (2)证明：存在 M 数列，且满足m m m n1； 0 1 n (3)证明：M 数列是唯一的. 94．对于数列A:a ，a ，a ，定义“T 变换”： T 将数列 A 变换成数列 1 2 3 B:b ，b ，b ，其中b  a a (i1,2)，且b  a a ，记作BT(A)．继 1 2 3 i i i1 3 3 1 续对数列 B 进行“T 变换”，得到数列C:c ，c ，c ，依此类推．当且 1 2 3 仅当得到的数列各项均为 0 时变换结束． (1)直接写出A:2，6，4 经过 1 次“T 变换”得到的数列 B ，及 B 再经 第 32 页 共 249 页过 3 次“T 变换”得到的数列 E ； (2)若 A 经过n次“T 变换”后变换结束，求n的最大值； (3)设A:a,a ,a a N,i1,2,3，BT(A)．已知B:2，a，b，且 B 的各项 1 2 3 i 之和为 2022，若 B 再经过k次“T 变换”得到的数列各项之和最小， 求k的最小值． 95．已知数列a 满足以下条件：①a N*，且1a 100；②共有 n n n 100 项，且各项互不相等．定义数列A :a,a ,a ,,a i1,2,3,,91为 i i i1 i2 i9 数列a 的一个“10 阶连续子列”． n (1)若a 的通项公式为a n，写出a 的一个“10 阶连续子列”，并 n n n 求其各项和； (2)求证：对于每个a ，都至少有一个 10 阶连续子列的各项和不 n 小于 505； (3)若对于每个a ，都至少有一个 10 阶连续子列的各项和不小于 n 正整数 ，求 的最大值． M M 96．已知正实数列a 满足a a ，当n3时，记集合 n 1 2 A  a a ∣1k n1,kZ ，且集合A 中的最大元素为a . n k nk n n (1)若a 1, a 2，求数列a 的通项公式； 1 2 n (2)记数列前 n 项和为S ，证明：存在正实数b,b ，对于任意的正实 n 1 2 a a S a a  数a ,a 与整数 n>1，都有 1 2  n max 1, 2.注：对于任意实 1 2 b b n(n1) b b  1 2 1 2 a,ab 数 a，b，定义maxa,b . b,ab 97．数列a 是等差数列，若a 2,a ,a 4成等比数列，记S 为数列a  n 3 4 6 n n 前 n 项之和，满足b n S n ,c n1 c n b m （m 为常数，且m 1）.已知 第 33 页 共 249 页(2m)n 1 c 1,d  ，p 1 ,T d d d d (1)n1d .数列Q 满足 1 n c m n b n 1 2 3 4 n n n n Q 0，当 n 为不等于 1 的奇数时，Q p  p  p p ；当 n 1 n 1 2 3 n1 2n1 为偶数时，Q Q  1. n n1 b n1 (1)已知a 2，求a ,b ,Q ,T 的通项公式； 1 n n n n (2)已知m  1，当 n 为偶数时，Q n4 T n 恒成立；当 n 为奇数时，Q n8 „T n 恒成立，求 m 的取值范围. （注：函数 g(x)48x350x249x37 存在 3 个零点，分别是-0.93，0.60， 1.38，且当 x>1 时，gx单调递增） 98．如果一个数列从第 2 项起，每一项与它得前一项得差都大于 2 ， 则称这个数列为“D ”数列. r 1 1 （1）若数列a 为“D 数列”，且a  3，a  ，a 4，求实数m n r 1 m 2 m 3 的取值范围； （2）是否存在首项为 1 的等差数列a 为“D 数列”，且其前n项和S n r n 满足S n2n？若存在，请求出a 的通项公式；若不存在，请说 n n 明理由； （3）已知等比数列a 的每一项均为正整数，且a 为“D 数列”， n n r 2 a b  a ，c  n ，当数列b 不是“D 数列”时，试判断数列c  n 3 n n (n1)2n5 n r n 是否为“D 数列”，并说明理由. r 99．若定义在 R 上的函数y f(x)满足：对于任意实数x,y，总有 f(xy) f(xy)2f(x)f(y)恒成立，我们称 f(x)为“类余弦型”函数. 5 （1）已知 f(x)为“类余弦型”，且 f(1) ，求 f(0)和 f(2)的值； 4 （2）在（1）的条件下，定义数列a 2f(n1) f(n)（n1,2,3），求 n a a a a log 1 log 2 log 2019 log 2020 的值； 2 3 2 3 2 3 2 3 第 34 页 共 249 页（3）若 f(x)为“类余弦型”，且对任意非零实数t，总有 f(t)1，证 明： ①函数 f(x)为偶函数； ②设有理数 x,x 满足 x  x ，判断 f(x )和 f(x )的大小关系，并证明. 1 2 1 2 1 2 100．对数列a ，规定a 为数列a 的一阶差分数列，其中 n n n a a a  nN*，规定 2a 为a 的二阶差分数列，其中 n n1 n n n 2a a a  nN* . n n1 n （1）数列a 的通项公式a n2 nN*，试判断a ， 2a 是否为 n n n n 等差数列，请说明理由？ （2）数列b 是公比为q的正项等比数列，且q2，对于任意的 nN*， n 都存在 mN*，使得2b b ，求q所有可能的取值构成的集合； n m （3）各项均为正数的数列c 的前n项和为S ，且2c 0，对满足 n n n mn2k，mn的任意正整数m、n、k，都有c c ，且不等式S S tS m n m n k 恒成立，求实数t的最大值. 第 35 页 共 249 页