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5.3.2 极值与最值
【题组一 求极值及极值点】
1．（2020·北京市第十三中学高三开学考试）设函数 ，则 的极大值点和极小值点分别
为（ ）
A．－2，2 B．2，－2 C．5，－3 D．－5，3
【答案】A
【解析】易知函数定义域是 ，
由题意 ，
当 或 时， ，当 或 时， ，
∴ 在 和 上递增，在 和 上递减，
∴极大值点是－2，极小值点是2．故选：A．
2．（2020·黑山县黑山中学高二月考）函数 的极值点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，且 为单调函数，
∴ ， ，
由 ，故 的极值点所在的区间为 ，故选：B.
3．（2020·河北新华·石家庄二中高二期末）“ ”是“函数 在 上有极值”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】 ，则 ，令 ，可得 .
当 时， ；当 时， .
所以，函数 在 处取得极小值.
若函数 在 上有极值，则 ， .
因此，“ ”是“函数 在 上有极值”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（2020·扶风县法门高中高二月考（理））设函数 ，则（ ）
A． 为 的极大值点 B． 为 的极小值点
C． 为 的极大值点 D． 为 的极小值点
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ．
又 ，所以 为
的极小值点．
5．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期末（理））已知 是函数 的极小值点，
那么函数 的极大值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】D
【解析】 ,又因为 是函数 的极小值点，所以
， ，所以 ，由 ， 或 ，所以在区间 上， 单调递增，在区间 上， 单调递减，在区间
上， 单调递增，所以函数 的极大值为 ，
故选D.
6．（2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末（理））函数 在 上的极大值为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【解析】由 可得
当 时 ， 单调递增
当 时 ， 单调递减
所以函数 在 上的极大值为 故选：A
7．（2020·天津一中高二期中）函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无数个
【答案】A
【解析】 ，由 得 ，方程无解，因此函数无极
值点
8．（2020·北京高二期末）已知函数 .
（Ⅰ）求曲线 在 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 的极值.【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）极小值是 ，无极大值.
【解析】（Ⅰ） 的定义域是 ， ，
，故所求切线斜率 ，
过 的切线方程是： ，即 ；
（Ⅱ） ，
令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
故 在 递减，在 递增，
故 的极小值是 ，无极大值.
9．（2019·湖南雨花·高二期末（文））已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）求函数 的极值．
【答案】（1）单调增区间为： 和 ，单调减区间为： ；（2）极大值40，极小值
8．
【解析】（1）∵ ，∴ ．令 ，则 或2，2
0 0
单调递增 40 单调递减 8 单调递增
故 的单调增区间为： 和 ，单调减区间为： ．
（2）由（1）得：当 时， 有极大值40，当 时， 有极小值8．
10．（2020·林芝市第二高级中学高二期中（理））已知函数 ，求：
（1）函数 的图象在点 处的切线方程；
（2） 的单调区间及极值．
【答案】（1） ；（2）减区间为 ， ，增区间为 ；极小值为 ，极
大值为25．
【解析】（1）显然由题意有， ， ，
∴
∴由点斜式可知，切线方程为： ；
（2）由（1）有
∴ 时， 或
时，
∴ 的单减区间为 ， ；单增区间为
∴ 在 处取得极小值 ，
在 处取得极大值 .【题组二 求最值点最值】
1．（2020·四川内江·高二期末（文））函数 在区间 上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 ， ，
令 ，解得 ．∴函数 在 内单调递增，在 内单调递减．
∴ 时函数 取得极大值即最大值． ．故选B．
2．（2020·甘肃武威·高三月考（理））已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（1） ；（2）最大值为 ，最小值为 .
【解析】（1）因为 ，所以 .
又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）设 ，则 ，
当 时， ，所以 在区间 上单调递减，
所以对任意 有 ，即 ，
所以函数 在区间 上单调递减，
因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
3．（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三月考）已知函数 ， ， ．若 在
处与直线 相切．
（1）求 ， 的值；
（2）求 在 ， 上的最大值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1） 函数 ， ，
函数 在 处与直线 相切，
，解得 ；
（2） ， ，
当 时，令 得： ，令 ，得 ，
在 ， ，上单调递增，
在 ， 上单调递减，
所以函数的极大值就是最大值，
（1） ．
4．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））已知函数f（x）＝ax3+bx+c在x＝2处取得极值为c﹣16.
（1）求a、b的值；
（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值.
【答案】（1） ；（2）最小值为 ，最大值为28.
【解析】（1）因 ，故 ，
由于 在点 处取得极值，
故有 ，即 ，解得 ；
（2）由（1）知 ，
令 ，得 ，
当 时， 故 在 上为增函数；
当 时， 故 在 上为减函数，
当 时 ，故 在 上为增函数．
由此可知 在 处取得极大值 ， 在 处取得极小值 ，
由题设条件知 ，得 ，此时 ， ， ，
因此 上 的最小值为 ，最大值为28.
5．（2020·河南商丘·高三月考（文））已知 的一个极值点为2.
（1）求函数 的单调区间；
（2）求函数 在区间 上的最值.
【答案】（1）函数 的减区间为 ，增区间为 ， ；（2）最小值是 ，最大
值是13.
【解析】（1） ， ，
的一个极值点为2，
，解得 .
， ，
令 ，得 或 ；
令 ，得 ；令 ，得 或 ；
故函数 的减区间为 ，增区间为 ， .
（2）由（1）知 ， ，
当 时， ；当 时， ；
在 上为增函数，在 上为减函数，
是 的极大值点，
又 ， ， ，所以函数 在 上的最小值是 ，最大值是13.
6．（2020·重庆高二期末）已知 （ ）在 处取得极值.
（1）求实数 的值；
（2）求 的单调区间；
（3）求 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（1）1；（2）增区间为 ， ，减区间为 ；（3）最大值为9，最小值为 .
【解析】（1） ，由于 在 处取得极值，故 ，解得 ，经检
验，当 时， 在 处取得极值，故 .
（2）由（1）得 ， ，由 得 或 ；由
得 .
故 的单调增区间为 ， ，单减区间为 .
（3）由（2）得函数 的极大值为 ，得函数 的极小值为 ，又 ，
所以函数 在区间 上的最大值为9，最小值为 .
【题组三 已知极值及最值求参数】
1．（2020·湖南其他（理））已知函数 ，若 时， 在 处取得
最大值，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，令 ，
∴ ，∴ 时 ， 在 单调递增；
∴ 时 ， 在 单调递减.如图，∴ ，
∴当 时， ，∴ ， 在 上单调递增，不成立；
当 时， 在 上单调增减，成立；
当 时， 有两个根 ， ，
∵当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ，
∴ 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，显然不成立.
综上， .
故选：A2．（2020·河南郑州·高三月考（文））已知函数 ，若 在 上
既有极大值，又有最小值，且最小值为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】 的零点为 和1，
因为 ，所以1是函数的极小值即最小值点，
则 是函数的极大值点，
所以 ，且 ，解得 .
故选：C.
3．（2020·广东高二期末（理））函数 在 ， 上最大值为2，最小值为0，则实数 取
值范围为（ ）
A． ， B． ， C． ， D．
【答案】A
【解析】. ， ，
令 ，则 或 (舍负)，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
函数 在 ， 上最大值为2，最小值为0，且 ， （1） ，
.
故选：A.
4．（2020·贵州遵义·高三其他（文））若函数 无极值点则实数a的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ,
，
由函数 无极值点知，
至多1个实数根，
，
解得 ，
实数a的取值范围是 ，
故选：B
5．（2020·四川省绵阳江油中学高二开学考试（理））函数 +m在[0，2]上的最小值是2-e，
则最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】 ，
因为 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以函数在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数在 处取得最小值，根据题意有 ，
所以 ，当 时， ，当 时， ，
所以其最大值是2，
故选：B.
6．（2020·四川省绵阳江油中学高二月考（理））函数 在 内有最小值，则 的
取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
∵函数f（x）=x3﹣3ax﹣a在（0，1）内有最小值，
∴f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），
①若a≤0，可得f′（x）≥0，f（x）在（0，1）上单调递增，
f（x）在x=0处取得最小值，显然不可能，
②若a＞0，f′（x）=0解得x=± ，
当x＞ ，f（x）为增函数，0＜x＜ 为减函数，
f（x）在x= 处取得极小值，也是最小值，
所以极小值点应该在（0，1）内，符合要求．
综上所述，a的取值范围为（0，1）
故答案为B
7．（2020·黑龙江高二期中（理））已知函数
（1）若 ，求函数 的极值；
（2）当 时，若 在区间 上的最小值为-2，求 的取值范围.
【答案】(1) 函数 的极大值为 函数 的极小值为 (2)【解析】（1） ， ，定义域为 ，
又 .
当 或 时 ；当 时
∴函数 的极大值为
函数 的极小值为 .
（2）函数 的定义域为 ，
且 ，
令 ，得 或 ，
当 ，即 时， 在 上单调递增，
∴ 在 上的最小值是 ，符号题意；
当 时， 在 上的最小值是 ，不合题意；
当 时， 在 上单调递减，
∴ 在 上的最小值是 ，不合题意
故 的取值范围为
8．（2020·北京八中高二期末）已知函数 .f' (x)>0
（1）当 时，求函数 在 上的最小值；
f' (x)>0
（2）若函数 在 上的最小值为1，求实数 的取值范围；
（3）若 ，讨论函数 在f' (x)>0上的零点个数．
【答案】（1）1；（2） ；（3）答案见解析.
【解析】(1)当 时，
，
因为 ，所以 ，所以 为单调递增函数，
所以 ．
(2) ， ，
当 时， ，所以 为单调递增函数， ，符合题意；
当 时，在 上， 单调递减，在 上， 单调递增，所以
，
因为 ，故 ，与 的最小值为1矛盾.
故实数 的取值范围为
(3)由(2)可知，当 时，在f' (x)>0上， 为单调递增函数， ，
此时函数 的零点个数为0；
当 时， ，令 ，则 ，函数 单调递减，
令 ，解得 ，
所以当 ， ， ， ， ， ，
所以当 时， ，此时函数 在f' (x)>0上的零点个数为0；
当 时， ，此时函数 在f' (x)>0上的零点个数为1；
，
又 ，故 在 存在一个零点，
，故 在 存在一个零点，
f' (x)>0
此时函数 在 上的零点个数为2．
综上，可得 时，函数 在 上的零点个数为0；
时，函数 在 上的零点个数为1；
，函数 在 上的零点个数为2.
9．（2020·广东禅城·佛山一中高二月考）已知函数 ；
讨论 的极值点的个数；
若 ，求证： ．
【答案】（1）当a≤0时，f（x）无极值点；当a＞0时，函数y=f（x）有一个极大值点，无极小值点；(2)
见解析
【解析】（1）根据题意可得， ，当 时， ，函数 是减函数，无极值点；
当 时，令 ，得 ，即 ，
又 在 上存在一解，不妨设为 ，
所以函数 在 上是单调递增的，在 上是单调递减的.
所以函数 有一个极大值点，无极小值点；
总之：当 时，无极值点；
当 时，函数 有一个极大值点，无极小值点.
（2） ， ，
由（1）可知 有极大值 ，且 满足 ①，
又 在 上是增函数，且 ，所以 ，
又知： ，②
由①可得 ，代入②得 ，
令 ，则 恒成立，
所以 在 上是增函数，
所以 ，即 ，
所以 .
10．（2020·四川达州·高二期末（理））已知 ，函数 ， .（1）讨论 的单调性；
（2）记函数 ，求 在 上的最小值.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】（1） ，则 .
当 时，当 时， ，函数 单调递增；
当 时，当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减.
综上所述，当 时，函数 的单调递增区间为 ；
当 时，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2） ， ，
.
①当 时，对任意的 ， ，函数 单调递增，
所以，函数 在 上的最小值为 ；
②若 ，对任意的 ， ，函数 单调递减，
所以，函数 在 上的最小值为 ；③若 时，当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
又因为 ， ，
.
（i）当 时，即当 时， ，
此时，函数 在区间 上的最小值为 ；
（ii）当 时，即当 时， .
此时，函数 在区间 上的最小值为 .
综上所述， .
11．（2020·四川省绵阳江油中学高二期中（文））已知函数 在 处取
得极小值1．
（1）求 的解析式；
（2）求 在 上的最值．
【答案】（1） （2）最小值为1，最大值为3．
【解析】（1） ，由 ，得 或 ．
当 时， ，则 在 上单调递增，在 上单调
递减，符合题意，由 ，得 ；
当 时， ，则 在 上单调递增，在 上
单调递减， 在 处取得极大值，不符合题意．
所以 ．
（2）由（1）知 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，所以 的最小值为1，最大值为3．
12．（2020·扶风县法门高中高二月考（理））已知函数 ，曲线 在点
处切线方程为 ．
（1）求 的值；
（2）讨论 的单调性，并求 的极大值．
【答案】（1） ；（2）见解析.
【解析】（1） ．
由已知得 ， ．
故 ， ．从而 ， ．
（2）由（1）知， ，
．
令 得， 或 ．
从而当 时， ；
当 时， ．
故 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
当 时，函数 取得极大值，极大值为 ．
