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6.2.3 排列组合的综合运用（精练）
【题组一 全排列】
1．（2020·中山大学附属中学高二期中）一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同
的次序种数为( )
A．4 B． C．24 D．48
【答案】C
【解析】一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为
.
故选：C
2．（2020·全国高二单元测试） 名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一
门，则不同的报名方案有________种.
【答案】
【解析】由题意参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每个学生有 种选择，则 名同学共有
种报名方案.故答案为： .
3．（2020·上海高二专题练习）若把英文单词“hello”的字母的顺序写错了，则可能出现的错误共有
_________种．
【答案】59
【解析】由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题
五个字母进行全排列共有 种结果，
字母中包含2个 ，
五个字母进行全排列的结果要除以2，共有60种结果，
在这60种结果里有一个是正确的，
可能出现的错误的种数是 ，
故答案为：59．4．（2021·浙江衢州市）将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中
球的个数互不相同，则不同的分配方法共有________种.
【答案】18
【解析】将9个相同的球分成个数不同的3份，有（1,2,6），（1,3,5），（2,3,4）三种情况，再将这3
3×6=18
份个数不同的球放到3个不同的盒子中，有 种情况，所以不同的分配方法共有 种.
故答案为：18
5．（2020·天津河西区·高二期中）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和
最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9
的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，则不同的排法有_____种.（用数字作答）
【答案】288
【解析】4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，有 24种排法；3个舞蹈节目要求排在第3，
6，9的位置，有 种排法；2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有 种排法.故共有
24×6×2＝288种排法.故答案为：288.
6．（2020·河南） 年新型冠状病毒肆虐全球，目前我国疫情已经得到缓解，为了彰显我中华民族的
大爱精神，我国决定派遣具有丰富抗击疫情经验的四支不同的医疗队 、 、 、 ，前往四个国家 、
、 、 进行抗疫技术指导，每支医疗队到一个国家，那么总共有______（请用数字作答）种的不同
的派遣方法.如果已知 医疗队被派遣到 国家，那么此时 医疗队被派遣到 国的概率是______.
【答案】
【解析】
由题意可知，每支医疗队到一个国家的派遣方法数为 ，
由于 医疗队被派遣到 国家，则 医疗队可派遣到其它 个国家，因此， 医疗队被派遣到 国的概率是 .故答案为： ； .
【题组二 相邻问题】
1．（2020·沙坪坝区·重庆八中）小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的
决赛，5人坐成一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【解析】解：将小涛与小江、小玉捆绑在一起，与其他两个人全排列，其中小涛位于小江、小玉之间，按
照分步乘法计算原理可得 故选：B
2．（2020·宁夏吴忠市·吴忠中学高二期末）将A，B，C，D，E，F这6个字母随机排成一排组成一个信
息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由捆绑法可得所求概率为 .故答案为C
3．（2020·陕西彬州市·高二月考） 个男生， 个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，
则不同的排法种数为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】两个女生必须相邻，捆绑 ，女生不能排两端，则从5个男生中任选两人排两端， ，
剩余3个男生与捆绑在一起的2个女生看成4个元素，排在其余位置， ，所以不同的排法种数为：
．
4．（2020·广东广州市）2020年初，全国各大医院抽调精兵强将前往武汉参加新型冠状病毒肺炎阻击战，
各地医护人员分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号为1，2，3，4，5，6号，要求到达武汉天河飞机场时，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落，则不同的安排方法有（ ）
A．60 B．120 C．144 D．240
【答案】D
【解析】由题意，因为1号与6号相邻降落，可1号与6号排列后看作一个，同其它飞机进行全排，
将则不同的安排方法有 种.故选：D.
5．（2020·莒县教育局教学研究室高二期中）3名男生､3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相
邻的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意男生一起有 排法，女生一起有 排法，一共有 种排法，
故选：C.．
6．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与
她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为（ ）
A．24 B．48 C．60 D．96
【答案】B
【解析】先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌
手和她的指导老师进行全排，则不同的排法数 ，故选：B.
【题组三 不相邻问题】
1．（2020·全国）六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】丙排第一，除甲乙外还有3人，共 种排法，此时共有4个空，插入甲乙可得 ，
此时共有 种可能；
丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有 排法，甲和乙不排在第一位，则剩下3人有1人排在第一位，则有 种排法，
此时故共有 种排法.
故概率 .
故选：C.
2．（2020·全国）将编号为 、 、 、 、 的 个小球全部放入 、 、 三个盒子内，若每个盒子
不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将编号为 、 、 、 、 的 个小球，根据小球的个数可分为 、 、 或 、 、 两组.
①当三个盒子中的小球个数分别为 、 、 时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
故 个小球的编号只能是 、 、 的在一个盒子里，故只有一种分组方法，
再分配到三个盒子，此时共有 种分配方法；
②当三个盒子中的小球个数分别为 、 、 时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
此时放 个小球的盒子中小球的编号分别为 、 或 、 或 、 或 、
或 、 或 、 ，共 种，
再分配到三个盒子中，此时，共有 种.
综上所述，不同的放法种数为 种.故选：A.
3．（2020·全国）某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定
的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》
的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（
）A．72种 B．48种
C．36种 D．24种
【答案】C
【解析】首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有 种排
法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，共有 种排法，
则后六场开场诗词的排法有 种，故选：C.
4．（2020·防城港市防城中学高二期中） 个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不
同的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先将丙与丁捆绑，形成一个“大元素”与戊进行排列，然后再将甲、乙插空，
由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为 种.故选：C.
5.．（2020·北京丰台区·高二期末）某活动中需要甲、乙、丙、丁4名同学排成一排．若甲、乙两名同
学不相邻，则不同的排法种数为_________．（用数字作答）
【答案】12
【解析】先求出甲、乙、丙、丁4名同学排成一排的全排列： ；再求出甲、乙两名同学相邻的排
列： 然后， 故答案为：12
6．（2020·上海）2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种.
【答案】72
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①、将3位男生排成一排，有 种情况，
②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有 种情况，
则 位女生不相邻的排法有 种；故答案为：7．（2020·安徽省太和第一中学高二月考（理））将 ， ， ， ， 五个字母排成一排，若 与
相邻，且 与 不相邻，则不同的排法共有__种.
【答案】36
【解析】依题意，可分三步，先排 ， ，有 种方法，产生3个空位，将 捆绑有 种方法，将
捆绑看作一个元素，插入三个空位之一，有 种方法，这时 、 、 产生四个空位，最后将
插入与 不相邻的三个空位之一，有 种方法，根据分步乘法计数原理得：共有
种，
故答案为：36.
8．（2020·博兴县第三中学高二月考）某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各
一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是___________
【答案】
【解析】根据题意，分3步进行分析：
①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有 种情况，
②将这个整体与英语全排列，有 种顺序，排好后，有 个空位，
③数学与物理不相邻，有 个空位可选，有 种情况，
则不同排课法的种数是 种；故答案为： .
【题组四 分组分配】
1．（2020·全国）将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，
则有________种不同的分法．
【答案】360
【解析】先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有 种选法；再从余下的5本
中选2本，有 种选法；最后余下3本全选，有 种选法．故共有 种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有 种分配方法.故答案为 : 360.
2．（2020·全国）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．
(用数字作答)
【答案】1560
【解析】把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种．
①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有 (种)；
②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有 (种)．
所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．
然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有 (种)．
故答案为：1560.
3（2020·福建省泰宁第一中学高二月考）五一劳动节期间，5名游客到三个不同景点游览，每个景点至少
有一人，至多两人，则不同的游览方法共有___________种.(用数字填写答案)
【答案】90
【解析】把5人按人数 分成三组，然后再安排到三个景点浏览，总方法为 ．
故答案为：90．
4．（2020·全国）把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为________．
【答案】 ．
【解析】将这 张不同的电影票分成四组，每组至少一张，共有 种分组办法，再分给 人的不
同分法有 种．故答案为： ．
5．（2020·全国）从 个人中选 个人值班，第一天 个人，第二天1个人，第三天2个人，共有多少种
排法_________.
【答案】180【解析】 .故答案为：180.
6．（2020·重庆北碚区·西南大学附中高二期中）某学校安排5名高三教师去3个学校进行交流学习，且
每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有______种.
【答案】150
【解析】分2步分析：
先将5名高三教师分成3组，由两种分组方法，
若分成3、1、1的三组，有 种分组方法，
若分成1、2、2的三组，有 种分组方法，
则一共有 种分组方法；
再将分好的三组全排列，对应三个学校，有 种情况，
则有 种不同的安排方式；
故答案为： ．
7．（2020·全国）2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶
贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派
党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）．
【答案】900
【解析】由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，第二步，将3名医护人员分
派到三个不同的扶贫村.
第一步：因为党员有5人，先分成3个组进行分派，分组情况有两种，第一种按人数是1，1，3分组有
种不同情况，第二种按人数是2，2，1分组有 种不同情况，再将分好的
组分派到不同的扶贫村共有 种不同分派方式；
第二步：将3名医护人员分派到3个不同的扶贫村，共有 种不同情况.所以所有的不同分派方案有 种.
故答案为：900.
【题组五 几何问题】
1．（2021·全国）直线 ， 将圆面 分成若干块，现有5种颜色给这若干块涂色，
且任意两块不同色，则所有可能的涂色种数是（ ）
A．20 B．60 C．120 D．240
【答案】D
【解析】当 或 时，圆面 被分成2块，
此时不同的涂色方法有 种，
当 或 时，圆面 被分成3块，
此时不同的涂色方法有 种，
当 时，圆面 被分成4块，
此时不同的涂色方法有 种，
所有可能的涂色种数是240．
故选：D
2．（2021·安徽省） 表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成
的三角形个数为（ ）
A．286 B．281 C．256 D．176
【答案】C
【解析】由题意可得 表示的平面区域内的整点共有13个，其中三点共线的情况有10种，五点
共线的情况有2种，
所以从13个点中可以构成三角形的个数为 个．故选C．
3．（2020·全国高二单元测试）以一个正方体的顶点为顶点的四面体的个数为( )
A．70 B．64 C．58 D．52【答案】C
【解析】正方体的8个顶点中任取4个共有C4=70个，
8
不能组成四面体的4个顶点有：已有的6个面，对角面:有6个，共12个，
∴以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70-12=58个.故答案为C.
【题组六 方程不等式问题】
1．（2021·太原市）不定方程 的非负整数解的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不定方程 的非负整数解的个数 将 个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放
法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将 个相同小球放入三个盒子，没有空盒的
放法种数，则只需在 个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，
因此，不定方程 的非负整数解的个数为 .故选：C.
2．（2021·湖北）若方程 ，其中 ，则方程的正整数解的个数为
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】A
【解析】 方程 ，其中 ，
则
将其转化为有6个完全相同的小球，排成一列，利用挡板法将其分成3组，
第一组小球数目为
第二组小球数目为
第三组小球数目为
共有 种方法
故方程的正整数解的个数为10故选
【题组七 数字问题】
1．已知集合 ，从集合 中任取2个元素组成集合 ，则集合 中含有元素 的概率为
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】 中任取2个元素组成集合 ，则 的情况有
，共6个，其中符合情况的集合
为 共3个，故集合 中含有元素 的概率为 故选：C
2．如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如
1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（ ）
A．12 B．44 C．58 D．76
【答案】B
【解析】分类讨论：
尾数为1：则前三位的数字可能为027,036,045,共 ,
还可能为234,有 种；
尾数为3：则前三位的数字可能为016,025,共 ,还可能为124,有 种；
尾数为5：则前三位的数字可能为014,023,045,共 ；
尾数为7：则前三位的数字可能为012,共 .
综上所述,共有 种.故选：B
3．从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有______种（用数字
作答）.【答案】34
【解析】从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，共有 ，乘积为奇数只有 一种情况
故这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有 种.故答案为：
【点睛】
本题考查了组合的应用，利用排除法可以快速得到答案，是解题的关键.
4．已知 ，则方程 表示焦点在 轴上的椭圆的概率是
_______ .
【答案】
【解析】因为 ，所以 的可能情况有： 种，
又因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆，所以 ，所以满足要求的有： 种，
所以概率为： .故答案为： .
5．（2021·宁波市）有写好数字2，2，3，3，5，5，7，7的8张卡片，任取4张，则可以组成不同的四
位数的个数为_________.
【答案】204
【解析】由题意得取出的4张卡片上的数字含有相同数字对的个数可能为0，1，2.
当含有0对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为 个；
当含有1对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为 个；
当含有2对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为 个.
综上，可以组成不同的四位数的个数为 个.
故答案为：204.
6．（2020·江西省信丰中学）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的
概率为________．【答案】
【解析】十个数中任取七个不同的数共有C 种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有
C种情况，于是所求概率P＝ ＝ ．
