文档内容
5．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经
（新教材）下学期高一期末备考金卷
核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18
数 学 万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s，则s与s 的大小关系为（ ）
1 1
A．s＝s B．ss D．不能确定
1 1 1
注意事项：
6．在 中， ， ， ，M为BC中点，O为 的内心，
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置。
且 ，则 （ ）
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在
试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
A． B． C． D．1
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效。
7．在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
当开关合上时，电路畅通的概率是（ ）
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．若复数z满足 ，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
2．已知向量 ， ，若向量 与向量 共线，则 （ ）
8．如图，等边三角形 中， 为边 的中点， 于 ．将 沿 翻折至
A． B． C． D．
的位置，连接 ．那么在翻折过程中：
3．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，
①总有 成立；
02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
②存在某个位置，使 ；
③在线段 上，存在异于两端点的 点，使线段 的长度始终保持不变．
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ）
A．10 B．09 C．71 D．20 其中所有正确结论的编号是（ ）
4．从1，2，3，4，5中选出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是3的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
封封密密不不订订装装只只卷卷此此
号号位位座座
号号场场考考
号号证证考考准准
名名姓姓
级级班班C．若 ，则 D．若 ，则
11．下列命题中，正确的是（ ）
A．在 中， ，
B．在锐角 中，不等式 恒成立
C．在 中，若 ，则 必是等腰直角三角形
D．在 中，若 ， ，则 必是等边三角形
12．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且 (λ，μ∈R)，
则下列说法正确的有（ ）
A．若 且λ>0，则点P在线段BC的延长线上
B．若 且λ<0，则点P在线段BC的延长线上
C．若 ，则点P在△OBC外
D．若 ，则点P在△OBC内
A．①② B．①③ C．②③ D．以上选项都不对
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
第Ⅱ卷（非选择题）
要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知100个数据的75百分位数是 ，则下列说法不正确的是（ ） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为 ，第二次朝上一面的点数为
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于
，则函数 在 上为减函数的概率是_______．
B．把这100个数据从小到大排列后， 是第75个数据
14．已知复数z满足 ，则 （其中i是虚数单位）的最小值为________．
C．把这100个数据从小到大排列后， 是第75个数据和第76个数据的平均数
15．一个项目由15个专家评委投票表决，剔除一个最高分96，一个最低分58后所得到的平均分为
D．把这100个数据从小到大排列后， 是第75个数据和第74个数据的平均数 92，方差为16，那么原始得分的方差为__________．
16．已知圆锥的底面积为 ，高为 ，则这个圆锥的侧面积为________ cm2，圆锥的内切球
10．设 为复数， ．下列命题中正确的是（ ）
（与圆锥的底面和各母线均相切的球）的表面积为_________ cm2．
A．若 ，则 B．若 ，则四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知复数 ， ， 为虚数单位．
（1）若复数 ，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；
（2）若 ，求 的共轭复数．
19．（12分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，
具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事．为了普及垃圾分类知识，某
学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为 ，乙同学答
对每题的概率都为 ，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲，乙同时答对的
概率为 ，恰有一人答对的概率为 ．
18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调
（1）求 和 的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率．
查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照 ， ，…，
分成9组，制成了如图所示的频率直方图．
（1）求直方图中 的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数；
（3）估计居民月均用水量的中位数．20．（12分）如图所示，在三棱柱 中，侧棱AA⊥底面ABC， ，D为AC的中点，
1
， ．
（1）求证： 平面BC D；
1
（2）求AB 与BD所成角的余弦值．
1
22．（12分）如图所示，在四棱锥 中，底面 为菱形，侧面 为等边三角形，且侧
面 垂直底面 ， ， 分别为 ， 的中点．
21．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ， ．
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC周长的取值范围．
（1）求证： ；（2）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，请找出点 的位置；若不存在，请说
明理由．（新教材）2020-2021 学年下学期高一期末备考金卷
则 ，
数 学 答 案
，
第Ⅰ卷（选择题）
若比较 与 的大小，只需比较 与 的大小即可，
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
而 ， ，
符合题目要求的．
1．【答案】C
所以 ，
【解析】由已知 ，虚部为 ，
从而 ，故选C．
故选C． 6．【答案】A
2．【答案】A
【解析】由题知， ，根据三角形面积与周长和内心的关系求得，内切圆半径
【解析】由题意得 ，
因为向量 与向量 共线，所以 ，解得 ，
，四边形AEOF为矩形，
故选A．
3．【答案】B
【解析】从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复
的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，
所以选出来的第4个个体的编号为09，故选B．
4．【答案】C
【解析】从1，2，3，4，5这5个数中，选出三个不同的数字组成一个三位数，共有 个三个位数，
则 ，
若这个三位数是3的倍数，则必须是由1，2，3或1，3，5或2，3，4或3，4，5组成的三位数，这一共可
组成 ， 又 ，
所以这个三位数是3的倍数的概率为 ，故选C．
则 ，
5．【答案】C
【解析】由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，
即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为 ，∴ ，故③正确，
则 ，则 ，
故选B．
故选A．
7．【答案】A
【解析】当开关合上时，电路畅通即表示 至 畅通且 至 畅通，
至 畅通的概率 ，
至 畅通的概率 ，
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
所以电路畅通的概率 ，故选A． 要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．【答案】ABD
8．【答案】B
【解析】因为 为整数，
【解析】①∵ ，∴ ， ，
所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位 ，
又 ，∴ 平面 ，∴ ，故①正确； 所以A、B不正确；C正确；D不正确，
故选ABD．
②假设存在某个位置，使得 ，
10．【答案】BC
连接 ，则 ， ， 【解析】由复数模的概念可知， 不能得到 ，例如 ， ，A错误；
故 平面 ，∴ ， 由 可得 ，因为 ，所以 ，即 ，B正确；
又由（1）知 ， ，∴ 平面 ，∴ ， 因为 ， ，而 ，所以 ，所以 ，
C正确；
∴ ，显然这是不可能的，故假设错误，故②错误；
取 ， ，显然满足 ，但 ，D错误，
③存在点 ，满足 ，取 的中点 ，连接 ，
故选BC．
易得 ， ，
11．【答案】ABD
设底面三角形 的边长为 ，则 ， ， ， 【解析】对于A，由 ，可得 ，利用正弦定理可得 ，正确；
∵ 平面 ，故 平面 ，∴ ，故 是直角三角形， 对于B，在锐角 中， ，不在△OBC内，D错误，
， ，
故选BC．
，因此不等式 恒成立，正确；
第Ⅱ卷（非选择题）
对于C，在 中，由 ， 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
利用正弦定理可得 ， ，
13．【答案】
， 或 ，
【解析】由题意，将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，可得 ， ，
或 ，
又由函数 在 上为减函数，则 ，即 ，
是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误；
当 取1时， 可取2，3，4，5，6；
对于D，由于 ， ，
当 取2时， 可取4，5，6；
由余弦定理可得 ，可得 ，解得 ，
当 取3时， 可取6，共9种，
可得 ，故正确，
故选ABD．
又因为 的取值共36种情况，
12．【答案】BC
【解析】因为 ，
所以所求概率为 ，故答案为 ．
若 且λ>0，则 ，
14．【答案】1
【解析】 复数 满足 为虚数单位），
故 ，即 ，
又λ>0，则点P在线段BC或其反向延长线上，A错误；
设 ， ，
若 且λ<0，同上可得 ，而λ<0，则点P在线段BC的延长线上，B正确；
则 ，
若 ， ，同上可得 ， 当且仅当 时取等号，
故答案为1．
当 时， ，根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点P在△OBC外，
15．【答案】
C正确；
【解析】剔除最高分和最低分后的 ，
若 ，不妨令λ=0， ，则 ，很显然此时点P在线段CO的延长线上，，
所以圆锥的内切球半径为 ，
则原始平均分 ，
所以圆锥的内切球的表面积为 ，
原始 ，
故答案为 ， ．
原始方差 ，
即原始方差为88． 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．【答案】 ， 17．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】设圆锥底面圆的半径为 ，母线长为 ，
【解析】（1）由题意，复数 ， ，
由题意可得 ，可得 ，
则 ，
由勾股定理可得 ，
因为复数 在复平面上对应的点在第四象限，
所以圆锥的侧面积为 ，
所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围 ．
（2）由 ，
作圆锥的轴截面如图所示： 、 分别与圆 相切于 两点， 所以 ．
设圆 半径为 ，连接 ，则 ，
18．【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
过点 作 ，则 ， ，
【解析】（1）由频率直方图可知，月均用水量在 的频率为 ．
所以 ，
0.25
同理，在 ， ， ， ， ， 的频率分别为 ， ， ，
所以 ，即 ，解得 ，
0.06，0.04，0.02．
10.040.080.210.250.060.040.020.5a0.5a
a0.30
由 ，解得 ．0.060.040.020.12 1 3 3 1 3 3 3 9
（2）由（1）知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为 ． PA PA
由题意得， 1 4 4 4 4 8， 2 4 4 16，
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为
2 1 1 2 4 2 2 4
3000000.1236000． PB PB
1 3 3 3 3 9 ， 2 3 3 9 ．
x
（3）设中位数为 ，
0.040.080.150.210.250.730.5 E AB A B
E
因为前5组的频率之和为 ． 设 {甲乙二人共答对3道题}，则 1 2 2 1．
0.040.080.150.210.480.5 A B AB A B
而前4组的频率之和为 ， 由于 i和 i相互独立， 1 2与 2 1相互互斥，
所以2 x2.5， 3 4 9 4 5
PE PAB PA B PA PB PA PB
所以 1 2 2 1 1 2 2 1 8 9 16 9 12 ，
0.5x20.50.48
x2.04
由 ，解得 ，
5
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04．
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为12．
3 2 5
p q
19．【答案】（1） 4， 3；（2）12．
26
20．【答案】（1）证明见解析；（2） 13 ．
PA p PBq
【解析】（1）设A{甲同学答对第一题}，B{乙同学答对第一题}，则 ， ．
【解析】（1）证明：如图，连接BC，设BC与BC 相交于点O，连接OD．
1 1 1
C D=
设 {甲、乙二人均答对第一题}， {甲、乙二人中恰有一人答对第一题}， ∵四边形BCC B 是平行四边形，∴点O为BC的中点．
1 1 1
∵D为AC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AB．
C AB D AB AB 1 1
则 ， ．
∵OD 平面BC D，AB 平面BC D，
1 1 1
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响， ∴AB 1⊂∥平面BC 1 D． ⊄
A B AB AB （2）解：由（1）可知，∠ODB为AB 与BD所成的角或其补角，
所以 与 相互独立， 与 相互互斥， 1
AB 2 2 OD 2
PC PAB PAPB PD P AB AB ∵AA 1 ＝AB＝2，∴ 1 ， ，
所以 ，
AC 13
P AB P AB PAP B P A PB PA 1PB 1PA PB ． 在Rt ABC中，D为AC的中点，则 BD 2 2 ，
△
1 1 3 2
pq pq p p 13
OB
2 2 4 3 同理可得 2 ，
由题意可得 5 ，即 17 ，解得 2 或 3 ，
p1qq1 p pq q q
12 12 3 4
在△OBD中，
p
3
q
2
2
13 2 13 2
由于 p q，所以 4， 3．
OD2 BD2 OB2
2
2
2
26 ，
cosODB
2ODBD 13 13
2 2
A i B i i 0 2
（2）设 i {甲同学答对了 道题}， i {乙同学答对了 道题}， ，1，2．π π B π π
26
B ( , )
∴AB 1 与BD所成角的余弦值为 13 ． 6 2 ，∴ 2 12 4 ，
1
B (1,2 3)
∴tan (2 3,1)，∴ B ，
2 tan
2
93 3
,93 3
∴周长的取值范围为 ．
2
P AC A
22．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点 在棱 上靠近点 的三等分点处．
π 93 3
( ,93 3) 【解析】（1）证明：连接BD，
21．【答案】（1）3 ；（2） 2 ．
a b c
【解析】（1）∵sin A sinB sinC ，∴asinBbsinA，
3
sin A
∴sin AasinB sin Absin A4sin A2 3，∴ 2 ，
π
A
ABC为锐角三角形，于是 3．
四边形BCDE为菱形，CE BD，
△
O，F 分别为BE，DE的中点，即OF∥BD，
3 3 ∴CE OF ，
（2）由正弦定理 a b c ，可得 ， 3sinC ，
c
2
sin A sinB sinC a sinB 面ABE为等边三角形，且O为BE的中点，AO BE ，
sinB
又面ABE 面BCDE，AO面ABE，
3 3 3 3 2π ABE BCDE= BE AO BCDE
3sinC 3sin B ， 面 面 ， 面 ，
2 2 3
ac3 3 3
sinB sinB 又CE 面BCDE，AOCE ，
AO OF O AO,OF AOF CE AOF
3 3 3 1 又 ， 面 ， 面 ，
∴周长
3 cosB sinB
2 2 2 3 3 1cosB 9
3 又AF 面AOF ，CE AF ．
sinB 2 sinB 2
B
2cos2
3 3 9 3 3 9
2
，
2 B B 2 B 2
2sin cos 2tan
2 2 2
π
0 B
2
又∵△ABC为锐角三角形， 2π π ，
0 B
3 2BD CE M OF CE N
（2）解：设 交 于 ， 交 于 ，
则M 为CE的中点，N 为EM 的中点，
在△ACE中，过点M 作MP∥AN 交AC 于点P，则点P即为所求．
理由如下：
O，F 分别为BE，DE的中点，
ON∥BM ，ON 面PBM ，BM 面PBM ，
ON// 面PBM ，同理AN//面PBM ，
ON AN N ON AN AON
， ､ 面 ，
面PBM∥面AON ，即面PBM∥面AOF ，
BP面PBM ，BP∥面AOF ．
AP NM 1
MP∥AN ， AC NC 3，
故点P在棱AC 上靠近点A的三等分点处．
