文档内容
A． B． C． D．
吉林省普通高中 G8 教考联盟 2024-2025 学年上学期期末考试
高一年级 数学 6．某机器上有相互啮合的大小两个齿轮，大轮有50个齿，小轮有15
个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为 ，则小轮每秒转过的
本试卷共4页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 弧长是 ( ) ．
息条形码粘贴区。
2．答题时请按要求用笔。 A． B． C． D．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无
效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 7．已知函数 ，若 为偶函数，且 在区间 上不单
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
调，则 ( )
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
A． B． C． D．
1．已知集合 ， ，则 ( )
A． B． C． D． 8．已知函数 ，则函数 的零点个数是 ( )
2．已知幂函数 ，且 的图象在第一象限内单调递增，则实数 ( )
A．6 B．5 C．4 D．3
A．0 B． C．3 D．3或
3． 的定义域为( )
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
A． B． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列命题正确的是 ( )
C． D． A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．“ ”是“ ”的 ( )
10．下列说法正确的是 ( )
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A．命题：“ ”的否定是“ ”
5．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上是单调递增的，设 ，
B．函数 恒过定点
， ，则 的大小关系为 ( ) C．函数 的值域为
数学试题 第1页 （共2页） 数学试题 第2页 （共2页）D．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
16．（15分）已知函数 是奇函数，
11．如图，在扇形OPQ中，半径 ，圆心角 ，C是扇形弧PQ上的动点，矩形
(1)求 的值；
内接于扇形，记 ．则下列说法正确的是 ( ) (2)若 是区间 上的减函数且 ，求实数 的取值范围.
17．（15分）为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，长春市一乡镇响应号召，努
A．弧PQ的长为
力打造“生态水果特色小镇”，调研发现：某生态水果的单株产量 （单位： ）与单株肥料费
B．扇形OPQ的面积为
C．当 时，矩形 的面积为
用 （单位：元）满足如下关系： ，单株总成本投入为 （单位：元）．
D．矩形 的面积的最大值为
已知这种水果的市场售价为10元 ，且供不应求，记该生态水果的单株利润为 （单位：
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
元）．
12．计算 = .
(1)求 的函数解析式；
13．若 则函数 的最大值为 . (2)当投入的单株肥料费用为多少元时，该生态水果的单株利润最大？最大利润是多少元？
14．已知函数 ， . 若对于任意 ，总存在唯一的
，使得 ，则 的取值范围为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（17分）已知函数 .
15．（13分）已知 角的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的值.
(2)求 的值.
数学试题 第1页 （共2页） 数学试题 第2页 （共2页）所以 的定义域为
故选：A
19．（17分）已知函数 是偶函数．
4.【答案】B
(1)求实数 的值；
【详解】因为 ，等价于 即 ，解得 ，
(2)若函数 的最小值为 ，求实数 的值；
所以 是 的充要条件.
(3)若关于 的方程 有两根，求实数 的取值范围．
故选：B.
5.【答案】C
【详解】依题意， ，
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由函数 是偶函数，得 ，
高一年级 数学学科参考答案
又函数 在 上单调递增，则 ，
一、单选题
所以 的大小关系为 .
1.【答案】D
故选：C.
6.【答案】B
【详解】依题意， ，又因为 ，
【详解】由大轮有50个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为
则 .
圈，
故选：D.
2.【答案】C 因此小轮每秒钟转的弧度数为 ，
【详解】因为幂函数 ，且 的图象在第一象限内单调递增，
所以小轮每秒转过的弧长是 .
所以 ，解得 .
故选：B
7.【答案】A
故选：C
3.【答案】A 【详解】 为偶函数，
【详解】令 ，
故 ，故 ，
函数 的定义域为： ，
由于 ，故 ，则 ，
函数 的定义域： ，则 ，即 ，
数学试题 第1页 （共2页） 数学试题 第2页 （共2页）10.【答案】ABD
令 ,
【详解】对于A：命题：“ ”的否定是“ ”，故A正确；
对于B：由 时， ，故函数恒过定点 ，故B正确；
解得 ，
对于C：因为 ，所以 ，
故 的一个单调递增区间为 ，
所以函数 的值域为 ，故C错误.
由于区间 关于原点对称，要使 在区间 上不单调，故 ，
故选：A 对于D：因为函数 的定义域为 ，
8.【答案】C
对于函数 ，令 ，解得 ，所以函数 的定义域为 ，
【详解】函数 的零点， 故D正确；
故选：ABD
11.【答案】AD
即方程 和 的根，函数 的图象，如下图所示：
【详解】由题意知，在扇形OPQ中，半径 ，圆心角 ，
故弧PQ的长为 ，A正确；
由图可得方程 和 的根，共有4个根，即函
扇形OPQ的面积为 ，B错误；
数 有4个零点．
在 中， ，
故选：C．
在 中， ,
二、多选题
则 的面积
9.【答案】AC
【详解】对于A，由 可得 ，又 ，因此可得 ，即A正确；
对于B，若 ，此时 ，即B错误； ，
对于C，若 ， 在 上单调递减，所以 ，即C正确；
对于D，由 可得 ，即 ， 当 时，又 ，故 ，
同理，由 可得 ，即 ，所以 ，即D错误.
故选：AC
数学试题 第1页 （共2页） 数学试题 第2页 （共2页）综上可知：函数 的最大值是 ．
则 ，
故答案为： ．
14.【答案】
则 ，
【详解】当 时，有 ，此时 ，
则 ，
令 ，则 ，
因为 时，所以 ，
即矩形 的面积为 ，C错误；
因为对于 的任意取值， 在 上有唯一解，
由C的分析可知矩形 的面积 ，
即 在 上有唯一解，如图所示：
由图可知， ，所以 .
当 ，即 时，矩形 的面积取最大值 ，D正确，
故答案为： .
故选：AD
四、解答题
三、填空题
12.【答案】20 15.【答案】(1) ， ， ；
【详解】
(2)
【详解】（1）因为角 的终边经过点 ，由三角函数的定义知
=20.
，——————————————2分
13.【答案】
【详解】解：由 ，解得 ．
，————————————4分
①当 时，函数
，其最大值 ； ——————————————6分
②当 或 时， 函数
（2）由诱导公式，得
，其最大值为 ．
数学试题 第1页 （共2页） 数学试题 第2页 （共2页）所以单株利润 的函数解析式为： ————————6
.——————————13
分
分 （2）当 时， 为开口向上的抛物线，
（说明:诱导公式化简正确给4分，最后结果正确给3分；若化成齐次式求解，同样标
其对称轴为： ，
准给分）
16.【答案】(1) (2) 所以当 时 ， ————————9分
当 时， ,
【详解】（1） 函数 是奇函数，
，解得 ————————3分
且 ，解得 ————————6分 ， ————————————11分
经检验，符合题意 ————————7分.
当且仅当 即 时等号成立，此时 ，————————13分
（2） ，
综上所述：
.
当投入的单株肥料费用为3元时，该生态水果的单株利润最大，最大利润是270元．—————
是奇函数， ，————————9分
15分
是区间 上的减函数，
18.【答案】(1)
，即有 ，————————13分
(2)
，则实数 的取值范围是 .——————————15分 【详解】（1）
————————5分
17.【答案】(1)
令 ，
(2)当投入的单株肥料费用为3元时，该生态水果的单株利润最大，最大利润是270元 解得 ，
【详解】（1）由题意可得
故 的单调递增区间为 ；————————8分
数学试题 第1页 （共2页） 数学试题 第2页 （共2页）（2）因为 ，所以 ，
则 ，或 ，解得 ；————————11分
，即 ，——————10分
所以 ， ——————————12分 （3）由 ，
， ——————————14分 函数 在区间 上单调递增，
所以 当 时， ，所以 在 上单调递增，
故当 时，函数 单调递增，
. ————————————17分
由函数 为偶函数，可知函数 的增区间为 ，减区间为 ，
19.【答案】(1) (2) (3) 或 或 令 ，有 ，
方程 ①，
【详解】（1）由题意知 的定义域为R，
可化为 ，
，
整理为 ②，——————————12分
整理得 ，
，
而
（ⅰ）当 时， 或 ，
时，方程②的解为 ，可得方程①仅有一个解为 ；
，
时，方程②的解为 ，可得方程①有两个解；——————————14分
∴ ； ————————————5分
（2） ， （ⅱ）当 时，可得 或 ，
令 ，
∴ ，
则 有一正一负两根， ,
依题意，函数 的最小值为 ，
或 . ——————————————16分
令 ， ，当且仅当 时等号成立.，————————8分
故 的最小值为﹣3， 综上所述 或 或 .——————————————17分
数学试题 第1页 （共2页） 数学试题 第2页 （共2页）数学试题 第1页 （共2页） 数学试题 第2页 （共2页）
