吉林省长春第二实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学PDF版含解析（可编辑）_2024-2025高一（7-7月题库）_2024年12月试卷

长春二实验中学高一上学期期中考试 数学试卷 考生注意： 1．满分 150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作 答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教 A版必修第一册第四章 4.4.2结束． 一、选择题：本题共 8小题，每小题5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1. 命题“ x1,1  ，x2 2x1 ”的否定是（ ） A. x1,1，x2 2x1 B. x1,1，x2 2x 1 C. x1,1  ，x2 2x 1 D. x1,1  ，x2 2x1  5  2. 已知集合M x 1,xN ，则M 的子集的个数是（ ）   x  A.15 B.8 C.7 D.16 1  3. 若函数 f  3x1  的定义域为 ,1，则函数 f  2x  的定义域为（ ） 3  1  A. 0,1 B. ,1 C. 1,1  D.  ,1 3  4 设a 30.5,blog 6,cln(ln3) ，则（ ） . 3 A. abc B. bac C. a cb D. bca 第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司3x 5. 函数 f(x) 的图象大致为（ ） 3x 3x A. B. C. D.  I  6. 声强级（单位：dB）由公式L 10lg 给出，其中I 为声强（单位：W/m2）．某班级为规范同学在公共 I 1012  场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超 过40dB．现已知3位同学课间交流时，每人的声强分别为5107W/m2，108W/m2，2109W/m2，则这3人 中达到班级要求的人数为（ ） A 0 B.1 C.2 D.3 . (12a)x2a,x0  7. 已知 f(x)1 是xR上的增函数，那么a的取值范围是（ ）  (a1)x,x0 2 1 1 1 1 A. (0, ) B. ( ,1] C. ( ,1) D. (0, ] 2 2 4 4 8.“高斯函数”为 y x  ，其中  x  表示不超过x的最大整数，例如： 2.1 3，  3,1 3． 已知函数 f  x  x1  3 x  ，x 0,2  ，则不等式 f  x  x的解集为（ ） 1  3  1  3  A.  ,1 B.  ,1 C.  ,2 D.  ,2 2  4  2  4  二、选择题：本题共 3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全 部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9. 已知命题 p:x2 4x30，那么命题 p成立的一个充分不必要条件是（ ） A. x1 B. 1 x2 C. x3 D. 2 x3 第2页/共4页 学科网（北京）股份有限公司10. 下列说法正确的有（ ） 1 1 A. 若x ，则2x 的最小值是3 2 2x1 b 1 B. 若a b0，ab1，则 a 2a b C. 若2ab4，22ab8，则4b2 1 1 1 4 D. 若a0，b0，  1，则  的最小值是4 a b a1 b1 11. 已知函数 f  x log  1x log  3x  （a0且a 1）在定义域内存在最大值，且最大值为2， a a g  x  m 2 2 x x 1 ，若对任意x 1     1, 1 2    ，存在x 2 1,1  ，使得 f x 1 gx 2 ，则实数m的取值可以是（ ） A. 1 B.0 C. log 7 D.3 2 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分． 12. 函数 f  x ax2 1(0a1)的图象恒过定点P，则点P坐标为__________.  1 13. 若幂函数的图象过点 4, ，则它在  1,4  上的最小值为____．  4 14. 若集合{x∣x0, f  x  f x  }中恰有 k 个元素，则称函数 f  x  是“ k 阶准偶函数”.已知函数 3x2,xa f  x { 是“2阶准偶函数”，则a的取值范围是________ 2x2 3,xa 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 5 5 15. （1）若3a 5b 15，求  的值； a b 2 （2）求值： 27  3  lg5 2lg2lg50 3 π  eln1． 1 16. 已知集合A{x|  x2}，B  x∣2m1 xm1  ． 2 1 （1）若m ，求A ð B  ； R 2 （2）若“xA”是“xB”的必要条件，求实数m的取值范围． 第3页/共4页 学科网（北京）股份有限公司17. 已知 f  x ln  ex 1  ax是偶函数，g  x ex ex （1）求a的值； （2）若不等式g  f  x   g  mx  在  1, 上恒成立，求实数m的取值范围. 18.2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽 车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购 买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某 种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产x(xN*)百件，需另投入成本W  x  万元，且0 x45 4900 时，W  x 3x2 260x；当x45时，W(x) 501x 4950，由市场调研知，该产品每件的售价为5 x20 万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）分别写出0 x  45与x45时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 19. 已知函数 f  x  满足如下条件：①对任意x 0， f  x 0；② f  1 1；③对任意x 0， y 0，总有 f  x  f  y  f  x y  . （1）写出一个符合上述条件的函数（写出即可，无需证明）； （2）证明：满足题干条件的函数 f  x  在  0, 上单调递增；   f 2ks （3）①证明：对任意的s0， 2k ，其中kN*；   f s ②证明：对任意的x  2k1,2k kN* ，都有 f  x  f   1   x  2 .  x 2 x 第4页/共4页 学科网（北京）股份有限公司长春二实验中学高一上学期期中考试 数学试卷 考生注意： 1．满分 150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作 答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教 A版必修第一册第四章 4.4.2结束． 一、选择题：本题共 8小题，每小题5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1. 命题“ x1,1  ，x2 2x1 ”的否定是（ ） A. x1,1，x2 2x1 B. x1,1，x2 2x 1 C. x1,1  ，x2 2x 1 D. x1,1  ，x2 2x1 【答案】C 【解析】 【分析】由命题否定的定义即可得解. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，故命题“ x1,1  ，x2 2x1”的否定是“ x1,1  ， x2 2x 1”. 故选：C.  5  2. 已知集合M x 1,xN ，则M 的子集的个数是（ ）   x  A 15 B.8 C.7 D.16 . 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合子集个数公式进行求解即可. 5 【详解】因为xN ，所以由 15 x x5M  1,2,3,4 ，  x 所以M 的子集的个数是24 16， 故选：D 第1页/共12页 学科网（北京）股份有限公司1  3. 若函数 f  3x1  的定义域为 ,1，则函数 f  2x  的定义域为（ ） 3  1  A. 0,1 B. ,1 C. 1,1  D.  ,1 3  【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域即可得到答案. 【详解】令t 3x1，则t 3x1 0,2 ， 则02x2，解得0 x1，即定义域为0,1 . 故选：A. 4. 设a 30.5,blog 6,cln(ln3) ，则（ ） 3 A. abc B. bac C. a cb D. bca 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性质将a，b，c分别与1与3比较即可． 【详解】解：1a 30.5 3，blog 3 6log 3 36log 3 273， cln(ln3)1，bac． 故选：B． 3x 5. 函数 f(x) 的图象大致为（ ） 3x 3x A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的基本性质逐项排除即可. 第2页/共12页 学科网（北京）股份有限公司3x 【详解】因为 f (x)的定义域为R ，关于原点对称. f(x) f(x)， 3x 3x 所以函数 f (x)是奇函数，即 f (x)的图象关于原点对称，故B错误； 当x 0时，因为3x0，3x 3x 0， 3x 所以 f  x  0，故C错误； 3x 3x 3 9 6 27 因为 f(1)  , f(2)   f(1)， 331 10 932 41 所以 f (x)在(0,)上并不单调递增，故D错误. 故选：A.  I  6. 声强级（单位：dB）由公式L 10lg 给出，其中I 为声强（单位：W/m2）．某班级为规范同学在公共 I 1012  场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超 过40dB．现已知3位同学课间交流时，每人的声强分别为5107W/m2，108W/m2，2109W/m2，则这3人 中达到班级要求的人数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给声强级公式计算声强级不超过40dB的声强，即可求解.  I  【详解】依题意，L 10lg  40， I 1012  ∴I 108， 故声强为108W/m2，2109W/m2的两人达到要求， 故选：C (12a)x2a,x0  7. 已知 f(x)1 是xR上的增函数，那么a的取值范围是（ ）  (a1)x,x0 2 1 1 1 1 A (0, ) B. ( ,1] C. ( ,1) D. (0, ] . 2 2 4 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，列出不等式组，转化求解a的范围即可． 第3页/共12页 学科网（北京）股份有限公司(12a)x2a,x0  【详解】要使函数 f(x)1 是R上的增函数，  (a1)x,x 0 2  12a0  1 需a11 ，解得0a ， „  4 1 2a „  2 故选：D． 8.“高斯函数”为 y x  ，其中  x  表示不超过x的最大整数，例如： 2.1 3，  3,1 3． 已知函数 f  x  x1  3 x  ，x 0,2  ，则不等式 f  x  x的解集为（ ） 1  3  1  3  A.  ,1 B.  ,1 C.  ,2 D.  ,2 2  4  2  4  【答案】D 【解析】 【分析】先将 f  x  x1  3 x  ，x 0,2  转化为分段函数，然后分类解 f  x  x即可. 【详解】当x 0,1 时，  x 0，x1，此时 f  x 3  1x 33x， 当x 1,2 时，  x 1，x1，此时 f  x 2  x1 2x2， 若 f  x  x， 3 3  当x 0,1 时， f  x 33x x，得x≥ ，故x  ,1， 4 4  当x 1,2 时， f  x 2x2 x，得x2，故x 1,2 ， 3  所以 f  x  x得解集为  ,2， 4  故选：D. 二、选择题：本题共 3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全 部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9. 已知命题 p:x2 4x30，那么命题 p成立的一个充分不必要条件是（ ） A. x1 B. 1 x2 C. x3 D. 2 x3 【答案】BD 【解析】 第4页/共12页 学科网（北京）股份有限公司【分析】解出不等式，再根据充分不必要的条件的判定即可得到答案. 【详解】x2 4x30，解得1 x3，设A x|1 x3  则命题 p成立的充分不必要条件是集合A的真子集，则BD选项符合题意. 故选：BD. 10. 下列说法正确的有（ ） 1 1 A. 若x ，则2x 的最小值是3 2 2x1 b 1 B. 若a b0，ab1，则 a 2a b C. 若2ab4，22ab8，则4b2 1 1 1 4 D. 若a0，b0，  1，则  的最小值是4 a b a1 b1 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解AD，根据不等式的性质即可求解BC. 1  1  1 【详解】对于A，由题设2x10，则2x   12x  12  12x  11 ，当   2x1  12x 12x 且仅当12x1，即x0时等号成立，A错误； 1 b 1 1 b 1 对于B，因为ab1，a b0，所以a 1b0，则a 2a 2，   ，所以 a ，B b 2a a2a 2 2a b 正确； 对于C，∵22ab8，∴8  b  2a  2，∵2ab4，∴4  2a2b 8， 8b2a2 ∵ ，∴12  3b  6 ，∴4b2，故C正确； 42a2b8 1 4 b4a5 对于D，由题设abab，而 a1  b1  ab ab 1 b4a5， 1 1 b 4a b 4a 又b4a  b4a       52  59 ，当且仅当b2a3时等号成立， a b a b a b 1 4 所以  4，D正确． a1 b1 故选:BCD． 第5页/共12页 学科网（北京）股份有限公司11. 已知函数 f  x log  1x log  3x  （a0且a 1）在定义域内存在最大值，且最大值为2， a a g  x  m 2 2 x x 1 ，若对任意x 1     1, 1 2    ，存在x 2 1,1  ，使得 f x 1 gx 2 ，则实数m的取值可以是（ ） A. 1 B.0 C. log 7 D.3 2 【答案】ABC 【解析】  1 【分析】先求出 f  x log  x1 2 4  ，得到x 1, 时， f  x  log 72,2  . 2    2   2 再由题意得到log 2 72 m2，即可求出m的范围，对照四个选项即可得到正确答案. 【详解】 f  x  定义域为 3,1  . f  x log  1x log  3x log  x2 2x3  log  x1 2 4  a a a a   由题意知x1时， f  x 2，即log 42,a2. a 此时 f  x log  x1 2 4  ， 2   1 x 1, 时， f  x  log 72,2  .   2   2 1 g  x m 2x ,x1,1 时，g(x) min m2，由log 2 72 m2得m „ log 2 7. 对照四个选项，可以选:ABC. 故答案为：ABC 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分． 12. 函数 f  x ax2 1(0a1)的图象恒过定点P，则点P坐标为__________.   【答案】 2,2 【解析】 【分析】根据x20，即可求解x2，代入即可得纵坐标. 【详解】令x20，则x2，故 f  2 a0 12，因此P  2,2  ，   故答案为： 2,2  1 13. 若幂函数的图象过点 4, ，则它在  1,4  上的最小值为____．  4 1 【答案】 ##0.25 4 【解析】 第6页/共12页 学科网（北京）股份有限公司1 【分析】先求出解析式 f  x  ，利用单调性求出 f  x  在  1,4  上的最小值. x 【详解】设幂函数 f x x .  1 1 因为幂函数的图像过点 4, ，所以 f 4 4   ，解得：1.  4 4 1 所以 f  x  x1  . x 所以 f  x  在  1,4  上单调递减， 1 所以 f  x  在  1,4  上的最小值为 f  4  . 4 1 故答案为： 4 14. 若集合{x∣x0, f  x  f x  }中恰有 k 个元素，则称函数 f  x  是“ k 阶准偶函数”.已知函数 3x2,xa f  x { 是“2阶准偶函数”，则a的取值范围是________ 2x2 3,xa  1 【答案】  0,   2 【解析】 【分析】根据题意分类讨论，a 0时，其中 f(x)2x2 3(x a)有部分具有偶函数性质，不符合题意；a0时， 根据分段函数的解析式通过方程 f  x  f x  (x0)的解，确定a的范围． 3x2,xa 【详解】根据题意，函数 f  x { 是“2阶准偶函数”， 2x2 3,xa 则集合  x x 0, f  x  f x  中恰有2个元素， 3x2, xa 当a 0时，函数 f  x  一段部分为y 2x2 3,xa， 2x2 3, x a 注意到函数 y 2x2 3本身具有偶函数性质， 故集合  x x 0, f  x  f x  中不止有两个元素；   当a0时，根据“2阶准偶函数”的定义得 f x 的可能取值为2x2 3或3x2， f x  为3x2，3x23x2，故x0，方程无解， 1 当 2x2 33x2，解得x 或x1， 2 第7页/共12页 学科网（北京）股份有限公司故要使得集合  x x 0, f  x  f x  中恰有2个元素， 1 1 则需要满足a ，即0a ， 2 2 3x2,x0 当a 0时，函数 f  x  , f  x  的取值为2x2 3， f x  为3x2， 2x2 3, x0 根据题意得：2x2 33x2， 1 解得x 或x1，满足恰有两个元素，故a 0满足条件. 2  1 综上，实数a的取值范围是  0, .  2  1 故答案为：  0, .  2 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 5 5 15. （1）若3a 5b 15，求  的值； a b 2 （2）求值： 27  3  lg5 2lg2lg50 3 π  eln1． 【答案】（1）5；（2）14π 【解析】 【分析】（1）由指对互化求出a和b，再结合换底公式即可求解； （2）考虑将lg2lg50转化为  1lg5  1lg5  ，进而得解. 1 1 1 1 【详解】（1）因为3a 5b 15，所以a log 15,blog 15，  ,  ， 3 5 a log 15 b log 15 3 5 5 5  1 1  则  5  5  log 3log 5 5log  35 5； a b log 15 log 15 15 15 15 3 5 （2） 27  2 3  lg5 2lg2lg50 3 π 1  33 2 3  lg5 2 lg 10 lg  105  π 3 1 5 32  lg5 2 1lg5  1lg5  π 4 13 π  lg5 21  lg5 2  14 π． 1 16. 已知集合A{x|  x2}，B  x∣2m1 xm1  ． 2 1 （1）若m ，求A ð B  ； R 2 （2）若“xA”是“xB”的必要条件，求实数m的取值范围． 第8页/共12页 学科网（北京）股份有限公司 3  【答案】（1）x|  x2  2   3  （2）m| m 1或m 2  4  【解析】 【分析】（1）根据题意，直接由集合的运算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得B A，然后分B与B讨论，即可得到结果. 【小问1详解】 1  3 当m 时，B x∣0 x ， 2  2 3 ð B x|x0或x ， R 2  3  则Að B x|  x2. R  2  【小问2详解】 因为“xA”是“xB”的必要条件，则B A， 当B时，则m12m1，即m  2； m12m1   1 3 当B时，2m1 ，解得 m1，  2 4 m12   3  综上所述，m的取值范围为m| m 1或m 2.  4  17. 已知 f  x ln  ex 1  ax是偶函数，g  x ex ex （1）求a的值； （2）若不等式g  f  x   g  mx  在  1, 上恒成立，求实数m的取值范围. 1 【答案】（1）a  2 1 （2）mln  e1  2 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求a的值； （2）根据函数的单调性将不等式g  f  x   g  mx  在  1,＋上恒成立，转化为m f  x x在  1, 上恒 第9页/共12页 学科网（北京）股份有限公司成立，设h  x  f  x x，求出其最小值，从而得出结果. 【小问1详解】 f  x  的定义域是R ，因为 f  x  是偶函数，所以 f x  f  x  恒成立， 所以ln  ex 1  axln  ex 1  ax，     即ln ex 1 xaxln ex 1 ax， 所以  2a1  x0恒成立， 1 所以a  ； 2 【小问2详解】 1 g  x ex ex ex  ，xR ， ex 1 1 因为 y ex是增函数，y  是减函数，所以g  x ex  是增函数， ex ex 所以不等式g  f  x   g  mx  等价于 f  x mx， 所以m f  x x在  1, 上恒成立， 设h  x  f  x xln  ex 1   1 x，xR ， 2   1 因为 y ln ex 1 是增函数， y  x是增函数， 2 所以h  x ln  ex 1   1 x是增函数， 2 1 所以当x1时，h  x  h  1 ln  e1  ， min 2 1 所以mln  e1  . 2 18.2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽 车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购 买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某 种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产x(xN*)百件，需另投入成本W  x  万元，且0 x45 4900 时，W  x 3x2 260x；当x45时，W(x) 501x 4950，由市场调研知，该产品每件的售价为5 x20 万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）分别写出0 x  45与x45时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1）答案见解析； 第10页/共12页 学科网（北京）股份有限公司（2）年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元 【解析】 【分析】（1）结合题意，分0 x  45和x45时利用利润=销售收入-成本求出关系式即可； （2）当0 x  45时，由二次函数求出最值，当x45时，由基本不等式求出最值，再确定结果即可； 【小问1详解】 由题意可得当0 x  45时， y 500x3x2 260x20003x2 240x2000， 4900 4900 当x45时， y 500x(501x 4950)20002950(x )， x20 x20 【小问2详解】 由（1）得0 x  45时， y 3x2 240x20003  x40 2 2800， 此时x40（百件）时， y 2800（万元）， max 当x45时， 4900 4900 4900 y2950(x )2970(x20 )29702 (x20) 29702702830， x20 x20 x20 4900 当且仅当x20 ，即x50时等号成立， y 2800（万元）， x20 max 而28002830，故x50（百件）时，利润最大， 综上所述，年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元. 19. 已知函数 f  x  满足如下条件：①对任意x 0， f  x 0；② f  1 1；③对任意x 0， y 0，总有 f  x  f  y  f  x y  . （1）写出一个符合上述条件的函数（写出即可，无需证明）； （2）证明：满足题干条件的函数 f  x  在  0, 上单调递增；   f 2ks （3）①证明：对任意的s0， 2k ，其中kN*；   f s ②证明：对任意的x  2k1,2k kN* ，都有 f  x  f   1   x  2 .  x 2 x 【答案】（1） f  x  xa a1  （答案不唯一） （2）证明见解析 （3）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件设计一个函数即可； （2）根据条件，运用函数单调性的定义推导即可； 第11页/共12页 学科网（北京）股份有限公司（3）运用递推的方法先证明①，再根据①的结论，考虑的x的区间即可证明. 【小问1详解】 f  x  x， f  x  x2， f  x  x3等，即形如 f  x  x1  均可； 【小问2详解】 任取x  y 0， f  x  f  y  f  x y y  f  y  . 因为x y0，故 f  x y y  f  x y  f  y  且 f  x y 0. 故 f  x  f  y  f  x y y  f  y  f  x y 0. 故 f  x  在  0, 上单调递增. 【小问3详解】 ①由题意可知：对任意正数s，都有 f  s 0，且 f  s  f  t  f  st  ，   f 2s 在③中令x y s，可得 f  2s 2f  s  ，即 2；   f s f  2ks  f  2ks  f  2k1s  f  2s  故对任意正整数k与正数s，都有     2k； f  s  f  2k1s  f  2k2s  f  s  ②由①可知：对任意正整数k与正数s，都有 f  2ks  2k f  s  ， 故对任意正整数k与正数s，都有 f  2k1s  2k1 f  s  ， 令s21k，则 f  21k  21k f  1 21k ； 对任意x  2k1,2k  kN*  ，可得 1   2k,21k  ，并且2k2  x 2k1, 21k  2 22k ， x 2 x 又因为 f  1 1，所以由（2）中已经证明的单调性可知： f  x  f  2k1  2k1f  1 2k1  x ， f   1   f  21k  21k  2 ， 2  x x 1 x 2 所以 f  x  f     .  x 2 x 【点睛】对于第二问，如何巧妙运用 f  x  f  y  f  x y  要学习，抽象函数中经常会用到这个方法；对于第 三问，可以把2ks 看作 s    s    s      s ，再运用 f  x  f  y  f  x y  可以证明①，再利用①的结论推出 2k x 1 2 f  x  ， f    . 2  x x 第12页/共12页 学科网（北京）股份有限公司