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2.5.1直线与圆的位置关系 -A基础练
一、选择题
1．（2020·全国高二课时练习）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
【答案】B
【解析】由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1，则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d=
= ＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与
圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B
2．（2020山东泰安实验中学高二期中）直线 与圆 相切，则实数 等
于（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】圆的方程即为（ ，圆心 到直线的距离等于半径
或者 ，故选C．
3.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是 ( )
A.6 B.3 C.2√6 D.8
【答案】A
【解析】∵圆的方程为x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,∴圆心为(0,3),半径为3,而直线y=kx+3过定点(0,3),过圆心,
故直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长即为直径6.
4．（2020福建莆田一中高二期中）已知圆 截直线 所得弦的长度为
4，则实数 （ ）
A．-2 B．-4 C．-6 D．-8【答案】B
【解析】圆心 ， ，设圆心到直线的距离为 ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ．
5．（多选题）（2020辽宁盘锦二中高二期中）在同一直角坐标系中,直线y=ax+a2与圆(x+a)2+y2=a2的位置
不可能为( )
【答案】ABD
【解析】由题意,可得a2>0,直线y=ax+a2显然过点(0,a2),故ABD均不可能.
6．（多选题）（2020山东泰安一中高二期中）若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的
斜率可能是( )
√3 1
A.-1 B.- C. D.√2
3 3
【答案】BC
【解析】由题意知直线l的斜率必存在,设为k,则l的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,圆心C(1,0).半径r=1.直线
|k-3k| 1 √3 √3
与圆有公共点,需 ≤1,所以|2k|≤√k2+1,得k2≤ ,所以- ≤k≤ ,对照选项知B,C适合.
√k2+1 3 3 3
二、填空题
7．（2020福建三明二中高二期中）过原点且倾斜角为60°的直线被圆 所截得的弦长为
______.
【解析】直线方程为 ，圆方程为 ，圆心 到直线的距离
，弦长 ．8.过点P(3,5)引圆(x-1)2+(y-1)2=4的切线,则切线长为 .
【答案】4
【解析】由圆的标准方程(x-1)2+(y-1)2=4,得到圆心A坐标(1,1),半径r=|AB|=2,又点P(3,5)与A(1,1)的距离|AP|
= =2 ,由直线 PB为圆A的切线,得到△ABP为直角三角形,根据勾股定理得|PB|=
√(3-1)2+(5-1)2 √5
=4.则切线长为4.
√|AP|2-|AB|2=√(2√5)2-22
9．（2020·浙江下城杭州高级中学高二期中）圆 的半径为______．若直线 与
圆 交于两点,则 的取值范围是______．
【答案】2；
【解析】 ,所以圆心坐标为： ,圆的半径为2.因为
直线 与圆 交于两点,
所以有 .
10.（2020山西师大附中高二期中）如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12
m,当水面下降1 m后,水面宽为 m.
【答案】 2√51
【解析】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,
如下图所示:由题意可知:设圆的方程为:x2+(y+r)2=r2(其中r为圆的半径),因为拱顶离水面2 m,水面宽12 m,所以设A(6,-2),
代入圆的方程中,得r=10,所以圆的方程为:x2+(y+10)2=100,当水面下降1 m后,设A'(x,-3)(x>3)代入圆的方程
0 0
中,得x=√51,所以此时水面宽2√51 m.
0
三、解答题
11．（2020·江西赣州三中高二期中）已知圆 ，直线 ．
（1）判断直线 与圆C的位置关系；
（2）设直线 与圆C交于A，B两点，若直线 的倾斜角为120°，求弦AB的长．
【解析】 (1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，
因此直线l过定点D(1，1)，又 ＝1< ，
所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．
(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，又k＝tan 120°＝－ ，即m＝－ ．
此时，圆心C(0，1)到直线l： x＋y－ －1＝0的距离d＝ ＝ ，
又圆C的半径r＝ ，所以|AB|＝2 ＝2 ＝ ．
12.已知两点O(0,0),A(6,0),圆C以线段OA为直径,
(1)求圆C的方程;
(2)若直线l 的方程为x-2y+4=0,直线l 平行于l,且被圆C截得的弦MN的长是4,求直线l 的方程.
1 2 1 2
|OA|
【解析】 (1)依题意知:圆C的半径r= =3,
2
圆心坐标为(3,0),故圆C的方程为(x-3)2+y2=9.
(2)∵直线l 平行于l,直线l 的方程为x-2y+4=0,
2 1 1
∴设直线l 的方程为x-2y+C=0,
2
|3+C|
又∵ 弦长MN=4,圆的半径为3,故圆心C到直线l 的距离d=
=√32-22=√5
,
2 √12+22
∴|3+C|=5,得C=2或C=-8,∴直线l 的方程为x-2y+2=0或x-2y-8=0.
2
