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格致课堂
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
（用时45分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
基础巩固
1．将一个正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
将正方体 截去四个角后得到一个四面体 ，
设正方体的棱长为 ，
则 ，
四面体 的体积 ，
所以这个四面体的体积是原正方体体积的 .
故选：C.
2．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是 ( )
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1格致课堂
【答案】B
【解析】由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们的面积之比等于对应边长之比的平方，
故为1∶4. 选B.
3．将两个棱长为 的正方体铜块熔化后铸成底面边长为 的正四棱柱，则该四棱柱的高为（ ）
A．8 cm B．80 cm C．40 cm D．
【答案】B
【解析】∵正方体的棱长为 ，
∴两个正方体的体积V＝2×10×10×10＝2000cm3，
设熔化后铸成一个正四棱柱的铜块的高为acm，
则5×5×a＝2000
解得a＝80cm
故选：B．
4．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1m2，互相平行的两个侧面的距离为1m，则这个六棱柱的
体积为( )
A． B． C．1m3 D．
【答案】B
【解析】设正六棱柱的底面边长为 m，高为 m，则 ， ，解得 .
所以六棱柱的体积 .
故选：B.格致课堂
5．若正方体的棱长为 ，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】所求八面体体积是两个底面边长为1，高为 ， 的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积V=
1
，故八面体体积V=2V= ，故选B．
1
6．棱长为2的正四面体的表面积是_____.
【答案】 .
【解析】每个面的面积为 ，∴正四面体的表面积为 .
7．如图，长方体 的体积是120，E为 的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.
【答案】10.
【解析】因为长方体 的体积为120，
所以 ，
因为 为 的中点，格致课堂
所以 ，
由长方体的性质知 底面 ，
所以 是三棱锥 的底面 上的高，
所以三棱锥 的体积 .
8.已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表
面积.
【答案】
【解析】如图，
在四棱台 中，
过 作 ，垂足为 ，
在 中， ， ，
故 ，
所以 ，
故四棱台的侧面积 ，
所以四棱台的表面积 .格致课堂
能力提升
9．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥 ，下半部分是长方体 .正四棱锥
的高为 ， ， ，则该组合体的表面积为（ ）
A．20 B． C．16 D．
【答案】A
【解析】由题意，正四棱锥 的斜高为 ，该组合体的表面积为
.
故选：A
10．如图 直线相交于点 ，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器，
.设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，且液体能
流入下面的三棱锥，则液体流下去后液面高度为______.格致课堂
【答案】 .
【解析】液体部分的体积为三棱锥体积的 ，流下去后，液体上方空出的三棱锥的体积为三棱锥体积的 .
设空出三棱锥的高为 ，则 ，所以 ，所以液面高度为 .
故答案为：
11．如图，在几何体 中， ， ， ，侧棱 ， ， 均垂直于底面
， ， ， ，求该几何体的体积.
【答案】
【解析】由题意可知 为直角三角形，且 为直角，
如图，取 ，连接 ， ， ，
因为 ， ， ，
所以三棱柱 的体积为 ，
因为 ， ， ， ，格致课堂
所以 ， ， ， ，
所以四棱锥 的体积为 ，
所以所求几何体的体积为 .
素养达成
12．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20和30的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面
积等于上下底面面积之和，求棱台的高和体积.
【答案】 ； .
【解析】如图所示，
在三棱台 中，
， 分别为上、下底面的中心，
， 分别是 ， 的中点，
连接 ， ， ， ，
则点 ， 分别在 ， 上，
是等腰梯形 的高，记为 ，
所以 ，
上、下底面面积之和为 ，格致课堂
由 ，得 ，所以 ，
又 ， ，
记棱台的高为 ，
则 ，
由棱台的体积公式，
得棱台体积 ，
计算得棱台体积 .
