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安徽省蚌埠市 A 层学校 2024-2025 学年高一上学期第二次联考（11
月）数学试题
命题单位：蚌埠第二中学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知全集 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
的
3. 幂函数 在 上单调递增，则 图象过定点（ ）
A. B. C. D.
4. 若命题 ，使得 为假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
5. 若 ，则 的大小关系是（ ）
A. B.C. D.
6. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事
的
休.”在数学 学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的
图象的特征，如函数f（x） 的图象大致是
A B.
.
C. D.
7. 定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足 ，且 ，则不等式
的解集为（ ）
.
A B. C. D.
8. 若对 ，使不等式 成立，则 的取值范围是（
）A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 的定义域为
B. 函数 的值域为
C.
D. 函数 为减函数
10. 若 ，且 ，则下列各式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
11. 函数 在 上有定义，若对任意 ，有 ，则称
在 上具有性质 ．下列命题正确的有（ ）
A. 函数 在 上具有性质
B. 若 在 上具有性质 ，则 在 上也具有性质
C. 若 在上具有性质 ，且 在 处取得最大值1，则
D. 对任意 ，若 在 上具有性质 ，则
恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. ____________．
13. 已知函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围是__________.
14. 已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，
则不等式 的解集为____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ， .
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
16. 已知 是定义在R上的奇函数．
（1）求 的值；
（2）若存在区间 ，使得函数 在 上的值域为 ，求实数 的取值范
围．
17. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2
小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶
段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长
跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力
（ 表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（
表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力已知该运动员初始体力为 不考虑其他因素，所用时间为 （单位：h），请
回答下列问题：
（1）请写出该运动员剩余体力 关于时间 的函数 ；
（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?
18. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，
依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉
发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学
史上的珍闻．
（1）试利用对数运算性质计算 的值；
（2）已知 为正数，若 ，求 的值；
（3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断 的
位数．（注 ）
19. 列奥纳多 达 芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项
链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人
给出了悬链线的函数表达式 ，其中 为悬链线系数， 称为双曲余弦函数，其函数
表达式为 ，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为 ．
（1）证明： ；
（2）求不等式： 的解集；
（3）函数 的图象在区间 上与 轴有2个交点，求实数 的取
值范围．安徽省蚌埠市 A 层学校 2024-2025 学年高一上学期第二次联考（11
月）数学试题
命题单位：蚌埠第二中学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知全集 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定集合 ，然后根据文氏图的概念及集合的运算求解．
【详解】由题意 ，
阴影部分为 .
故选：D．
2. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】判断条件间的推出关系，根据充分必要性的定义判断即可.【详解】当 ：
若 异号，即 ，显然 成立；
若 或 ，均有 成立；
所以充分性成立；
当 ：若 ， ，显然 不成立，故必要性不成立.
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
3. 幂函数 在 上单调递增，则 的图象过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用幂函数的概念知系数必为1，再由幂函数递增知幂指数大于0，从而解得 ，再利用指数
函数必过点来求出函数过的定点.
【详解】因为幂函数 在 上单调递增，
{m2−2m−2=1
所以 ，解得 ，所以 ，
m>0
故令 得 ，所以
所以 的图象过定点 .
故选：D.
4. 若命题 ，使得 为假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D【解析】
【分析】问题转化为当 时， 恒成立，利用二次函数的性质，求出
在 上的最大值，解不等式求实数 的取值范围即可.
【详解】因为 为假命题，所以 为真命题，
即当 时， 恒成立.
因为函数 图象的对称轴为 ，
所以当 时， ，所以 ，
即 ，解得 或 ，
即实数 的取值范围为 .
故选：D.
5. 若 ，则 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较 的大小，结合基本不等式及对数函数单调性比较
的大小，可得结论.
【详解】 ，
而 ，且 ．
所以 ，故 ．故选：D.
6. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事
休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的
图象的特征，如函数f（x） 的图象大致是
A. B.
C D.
.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据奇偶性的判断可知f（x） 为偶函数，排除A，再通过x 1进行特值判断即可得解.
【详解】函数的定义域为{x|x ±1}，
f（﹣x） f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，
当x 1时，f（x） 0恒成立，排除B，D，
故选：C.
【点睛】本题考查了函数图像的判断，有如下几个方法：
（1）根据奇偶性判断；（2）根据特值判断；
（3）根据单调性和趋势判断.
7. 定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足 ，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造新函数 ，根据题意得出函数 在(0,+∞)内单调递减；把不等式
转化为 ，结合单调性和定义域即可求解.
【详解】不妨设任意的 ， ，
因为 ，则 ，
所以 ，
所以 在(0,+∞)内单调递减.
不等式 等价于 ，又 ，
所以等价于 ，
因为 在(0,+∞)内单调递减，所以 ，即不等式 的解集为 .
故选：B.
8. 若对 ，使不等式 成立，则 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得 ，利用对勾函数的单调性可求得 ，
从而将问题再转化为 恒成立，然后分情况求 的取值范围.
【详解】 ，
即对 ，使不等式 成立，
∴ ，
∵对勾函数 在 上单调递增， ．
恒成立，
的对称轴 ，
∴ ，解得 ，或 ，无解，
或 ，无解，
综上 ，
即 的取值范围为 ．
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 的定义域为
B. 函数 的值域为
C.
D. 函数 为减函数
【答案】BC
【解析】
【分析】根据分母不为 求出函数的定义域，即可判断A；再将函数解析式变形为 ，即
可求出函数的值域，从而判断B；根据指数幂的运算判断C，根据函数值的特征判断D.
【详解】对于函数 ，则 ，解得 ，所以函数的定义域为 ，故A错误；
因为 ，又 ，当 时 ，则 ，
当 时 ，则 ，
所以函数 的值域为 ，故B正确；
又 ，故C正确；
当 时 ，当 时 ，所以 不是减函数，故D错误.
故选：BC
10. 若 ，且 ，则下列各式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先由题意得到 ，进而分析得 与 ，从而判断BC，再举反例排除AD，从而
得解.
【详解】因为 ，所以 ，则 ，
又由于 ，所以 ， ， ，则 ，故B正确；
因为 ，所以 ，故C正确；
当 ， ， 时，可 ，故A错误；
.
当 ， ， 时， ，故D错误
故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，举反例排除AD，从而得解.
11. 函数 在 上有定义，若对任意 ，有 ，则称
在 上具有性质 ．下列命题正确的有（ ）
A. 函数 在 上具有性质
B. 若 在 上具有性质 ，则 在 上也具有性质
C. 若 在 上具有性质 ，且 在 处取得最大值1，则
D. 对任意 ，若 在 上具有性质 ，则
恒成立
【答案】ACD
【解析】
【分析】由性质 的定义判断A选项；举反例判断B选项；C选项，由 可证得
；D选项，由性质 的定义证明.
【详解】对A， ，对任意 时，
，
满足 ，A选项正确；
对B，函数 在 上满足性质 ，证明方法同A选项，
对于函数 ， ，，不满足 ，
在 上不满足性质 ，故B选项不成立；
对C：在 上， 在 处取得最大值1，由 ，
，故 ，
所以对任意的 ，故C选项成立；
对D，对任意 ，
有
，
，故D选项成立．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ____________．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据对数运算法则化简即可求得结果.
【详解】 ．故答案为：-2.
13. 已知函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】画出函数图象，分析出 ， ，故 ，
，结合函数单调性得到值域，求出取值范围.
【详解】画出 的图象，
当 时， 单调递增，且 ，
当 时， 单调递增，且 ，
令 ，解得 ，令 ，则 ，
若 ，且 ，则 ， ，
所以 ， ，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，又 时， ， 时， ，
故 .
故答案为：
14. 已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，
则不等式 的解集为____________．
【答案】 或
【解析】
【分析】赋值求出 ，令 ，且 ，根据 时， ，得到
，然后根据函数单调性解不等式即可.
【详解】因为 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，且 ，则 ，
整理得 ，
因为 ，则 ，可得 ，
所以 ，即 ，
可知 在定义域在 上单调递增，
又因为 ，即 ，可得 ，即 ，
由 在定义域在 上单调递增，可得 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 或 ．
故答案为： 或
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ， .
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可知， ，可得出关于实数 的不等式组，由此可解得实数 的取值范围；
（2）先考虑当 时，求出实数 的取值范围，分 、 两种情况讨论，根据集合的包
含关系可得出关于实数 的不等式（组），综合可得出实数 的取值范围，再利用补集思想可得出当
时实数 的取值范围.
【小问1详解】
由 可知 ，所以， ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 ．
【小问2详解】
考虑当 时，实数 的取值范围，则 ，若 ，满足 ，则 ，解得 ；
若 ，因为 ，所以 ，解得 ，
所以 时， 的取值范围是 ，
所以 时， 的取值范围是{m|m>1}.
16. 已知 是定义在R上的奇函数．
（1）求 的值；
（2）若存在区间 ，使得函数 在 上的值域为 ，求实数 的取值范
围．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质求出并验证即可.
（2）探讨函数 的单调性，结合函数在区间上的值域，构造方程 有两个不相
等的正实根，再利用一元二次方程实根分布求出范围.
【小问1详解】
因为 是定义在R上的奇函数，有 ，得 ，
则有 ，函数定义域为R，
有 ，即 是奇函数，
所以 ；【小问2详解】
由（1）得 ，
令 ，
因为 在R上递增，所以 在R上递减，
所以 在R上递增，
因为函数 在 上的值域为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以关于 的方程 有两个不相等的正实根，
所以 ，
解得 ，即 的取值范围为
17. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2
小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶
段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长
跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力
（ 表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力
已知该运动员初始体力为 不考虑其他因素，所用时间为 （单位：h），请
回答下列问题：
（1）请写出该运动员剩余体力 关于时间 的函数 ；
（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?
【答案】（1）
（2） 时有最小值，最小值为 .
【解析】
【分析】（1）先写出速度 关于时间 的函数，进而求出剩余体力 关于时间 的函数；
（2）分 和 两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.
【小问1详解】
由题可先写出速度 关于时间 的函数 ，
代入 与 公式可得
解得 ；
【小问2详解】
①稳定阶段中 单调递减，此过程中 最小值 ；
②疲劳阶段 ，则有 ，
当且仅当 ，即 时，“ ”成立，
所以疲劳阶段中体力最低值为 ，
由于 ，因此，在 时，运动员体力有最小值 .
18. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，
依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉
发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学
史上的珍闻．
（1）试利用对数运算性质计算 的值；
（2）已知 为正数，若 ，求 的值；
（3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断 的
位数．（注 ）
【答案】（1）
（2）
（3）610
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可；
（2）令 ，则 ，根据对数与指数的互化可得 ，利
用对数的换底公式化简原式即可；（3）利用对数的运算性质可得 ，结合位数的定义即可得出结果.
【小问1详解】
原式 ；
【小问2详解】
由题意知，令 ，则 ，
所以 ，
所以 ；
【小问3详解】
设 ，则 ，又 ，
所以 ，
所以 ，则 ，
所以 的位数为610．
19. 列奥纳多 达 芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项
链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人
给出了悬链线的函数表达式 ，其中 为悬链线系数， 称为双曲余弦函数，其函数
表达式为 ，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为 ．
（1）证明： ；
（2）求不等式： 的解集；
（3）函数 的图象在区间 上与 轴有2个交点，求实数 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（
（3）
【解析】
【分析】（1）结合双曲余弦函数和双曲正弦函数代入计算即可；
（2）求出 的单调性和奇偶性，得到 ， ，
求出解集；
（3）参变分离得到 在 有2个实数根，换元得到
，由对勾函数单调性得到 的值域，与 有两个交点，故
需满足 ，即 .
【小问1详解】
．
【小问2详解】
因为 恒成立，故 是奇函数．
又因为 在R上严格递增， 在R上严格递减，
故 是R上的严格增函数，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
即所求不等式的解集为 ；
【小问3详解】
因为 的图象在区间 上与 轴有2个交点，
所以 ，
即 在 有2个实数根，
所以 在 有2个实数根，
令 ，易知 在 上单调递增，
所以 ，
则 ，
令 ， ，
由对勾函数性质可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，作函数草图如图，当 时，函数 与 有两个交点，
即函数 的图象在区间 上与 轴有2个交点，
所以 ，即 .
【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念.
