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格致课堂
8.6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
（用时45分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
线面垂直的定义及判定定理的理解 1
线面垂直的判定及证明 2,4,8,12
直线与平面所成的角 3,6,9
综合问题 5,7,10,11
基础巩固
1．已知 和 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出
的是（ ）
A． ，且 B． ，且
C． ，且 D． ，且
【答案】B
【解析】A中， ，且 ，则 ，故A错误；
一条直线垂直于平面，则与这条平行的直线也垂直于这个平面，易知B正确；
C、D中， 或 或m与 相交均有可能，故C、D错误.
故选：B
2．如图所示的正方形 中， 分别是 ， 的中点，现沿 ， ， 把这个正方
形折成一个四面体，使 ， ， 重合为点 ，则有（ ）格致课堂
A． 平面 B． 平面
C． 平面 D． 平面
【答案】A
【解析】由题意： ， ，
， 平面
所以 平面 正确，D不正确；.
又若 平面 ，则 ，由平面图形可知显然不成立；
同理 平面 不正确；
故选：A
3．把正方形 沿对角线 折起，当以 四点为顶点的棱锥体积最大时，直线 和平面
所成的角的大小为（ ）
A．90° B．60 C．45° D．30°
【答案】C
【解析】记正方形 的对角线 与 交于点 ，
将正方形 沿对角线 折起后，如图，
当 平面 时，三棱锥 的体积最大.格致课堂
为直线 和平面 所成的角，
∵因为正方体对角线相互垂直且平分，
所以在Rt DOB中， ，
△
∴直线 和平面 所成的角大小为45°.
故选：C.
4．如图，在正方体 中， 是底面 的中心， ， 为垂足，则
与平面 的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不对
【答案】A
【解析】格致课堂
连接 .
∵几何体 是正方体，底面 是正方形，
∴ .
又∵ ，∴ 平面 .
∵ 平面 ，∴ .
∵ ，∴ 平面 .
故选A.
5．在长方体 中， ， 与平面 所成的角为 ，则该长方体的
体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在长方体 中，连接 ，格致课堂
根据线面角的定义可知 ，
因为 ，所以 ，从而求得 ，
所以该长方体的体积为 ，故选C.
6．一条与平面 相交的线段 ，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，则线段
与平面 所成的角是________.
【答案】 .
【解析】如图，作出 ， ，
则 ， 确定的平面与平面 交于 ，且 与 相交于 ，
因为 ，
则 ，
.
即线段 与平面 所成的角是 .
故答案为格致课堂
7．如图，在直三棱柱 中，底面是 为直角的等腰直角三角形， ，
， 是 的中点，点 在线段 上，当 _______时， 平面 .
【答案】 或
【解析】由已知得 是等腰直角三角形， ， 是 的中点，∴ ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴ .
若 平面 ，则 .
设 ，则 ，
，
∴ ，格致课堂
解得 或 .
8．如图，在四面体 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点，且
.求证： 平面 .
【答案】证明见解析
【解析】取 的中点为 ，连接 ， .
∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ // ，又 为 的中点，
，∴ .
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ .
∵ ，∴ .
又 ， 平面
∴ 平面 .格致课堂
能力提升
9．在正三棱柱 中，侧棱长为 ，底面三角形的边长为1，则 与侧面 所成角的
大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，取AC的中点O，连结 ,
因为正三棱柱 中，侧棱长为 ，底面三角形的边长为1，
所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
所以 是 与侧面 所成的角，
因为 ，格致课堂
所以 ，
所以 ， 与侧面 所成的角 ．
10．如图，在正方体 中，有下列结论：
①AC//平面 ；② 平面 ；
③ 与底面 所成角的正切值是 ；
④ 与 为异面直线.
其中正确结论的序号是______.（把你认为正确的结论的序号都填上）
【答案】②③④
【解析】①因为 平面 ，所以 与平面 不平行，故①错误；格致课堂
②连接 ，易证 .
因为 ，所以 平面 ，故②正确；
③因为 底面 ，所以 是 与底面 所成的角，所以 ，
故③正确；
④ 与 既无交点也不平行，所以 与 为异面直线，故④正确.
故答案为：②③④.
11．如图，正方形 的边长为2， 与 的交点为 ， 平面 ， ，且
.
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正切值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）∵ 平面 ， 平面
∴ ，又 ， ，
， 平面 ，∴ 平面 .
又 平面 ，∴ .格致课堂
∵四边形 是正方形，∴ .
又 ， 平面
所以 平面 .
（2）取 的中点 ，连接 ， .
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，又 ，∴ .
∵ ，∴ 平面 ，
∴ 为直线 与平面 所成的角
在 中，知 ， ，
∴ .
素养达成
12．如图，直三棱柱ABC−ABC 中（侧棱与底面垂直的棱柱），AC=BC=1，∠ACB＝90°，AA＝ ，D
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是AB 的中点．
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（1）求证：C D⊥平面AABB；
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（2）当点F 在BB 上的什么位置时，AB⊥平面C DF ？并证明你的结论．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）∵ 是直三棱柱，
∴AC ＝BC ＝1，且∠AC B＝90°．
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又D是AB 的中点，
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∴C D⊥AB．
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∵AA⊥平面ABC ，C D 平面ABC ，
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∴AA⊥C D，
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∴C D⊥平面 ．
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（2）作 交AB 于点E，延长DE交BB 于点F，连接C F，则AB⊥平面C DF，点F即所求．
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事实上，∵C D⊥平面AABB，AB 平面AABB，
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∴C D⊥AB．
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又AB⊥DF， ，
1
∴AB⊥平面C DF．
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∵AA=AB= ，
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∴四边形AABB为正方形．
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又D为AB 的中点，DF⊥AB，
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∴F为BB 的中点，
1
∴当点F为BB 的中点时，AB⊥平面C DF．
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