文档内容
大同市 2024—2025 学年度第一学期期中高一年级教学质量监测
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字
笔写在答题卡上.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
5.本试卷共4页，满分100分，考试时间90分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
1.设集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.下列关于 ， 的关系中， 是 的函数的是
A. B.
1 2 3 4
0 0 -6 1
C. D.
3.设 ， ，则下列不等式中不正确的是
A. B. C. D.
4.如图是某高一学生晨练时离家距离 与行走时间 之间的函数关系的图像。若用黑点表示该学生家
的位置，则该同学散步行走的路线可能是
A. B. C. D.5.命题“ ， ”的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.设 ，若 是 的最小值，则 的取值范围为
A. B. C. D.
7.荀子曰“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情如
果不去一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得“积跬步”是“至千里”的
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值是
A.25 B.16 C.18 D.8
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分
9.若集合 具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若 ，则 ，且当 时，
.这样的集合 被称为“紧密集合”.以下说法正确的是
A.整数集是“紧密集合”
B.实数集是“紧密集合”
C.“紧密集合”可以是有限集
D.若集合 是“紧密集合”，且 ，则
10.一般地，若函数 的定义域为 ，值域为 ，则称 为 的“ 倍跟随区间”；
若函数的定义域为 ，值域也为 ，则称 为 的“跟随区间”.下列结论正确的是
A.若 为 的跟随区间，则
B.函数 存在跟随区间C.若函数 存在跟随区间，则
D.二次函数 存在“3倍跟随区间”
三、填空题：本题共2小题，每小题4分，共8分.
11.已知二次函数 的图像过原点，且 ， ，则 的取值范围是
________.
12.已知 为 上的奇函数， ，若对任意 ，当 时，都有
，则不等式 的解集为________.
四、解答题：本题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13.（8分）
（1）已知 ， ，求 的值：
（2）已知 ，求 的值.
14.（8分）
已知函数 ，且 .
（1）求 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
15.（8分）
设函数 ， .
（1）当 时，求函数 的最大值和最小值：
（2）若函数的最小值为 ，求 .
16.（12分）
函数 的定义域为 ，且满足对于任意 ，有 .
（1）求 的值；（2）判断 的奇偶性并证明你的结论；
（3）如果 ， ，且 在 上是增函数，求 的取值范围.
17.（12分）
某公司为调动员工工作极性拟制定以下奖励方案，要求奖金 （单位：万元随投资收益 （单位：万元）
的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的 .即假定奖励方案模拟函数为
时，该公司对函数模型的基本要求是：当 时，① 是增函数； 恒
成立；③ 恒成立.
（1）现有两个奖励函数模型：（I） ；（II） .试分析这两个函数模型是
否符合公司要求？
（2）已知函数 符合公司奖励方案函数模型要求，求实数 的取值范围.2024—2025 学年度第一学期高一年级期中教学质量监测
数学答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.答案：A
解析：由题设得 ，故选A.
2.答案：D
解析：对于A，不等式 的解集为 ，所以 不是 的函数；
对于B，当 时，有两个 与 对应，所以 不是 的函数；
对于C，当 时，有两个 与 对应，所以 不是 的函数；
对于D，满足 与 的一一对应，所以 是 的函数.故选D.
3.答案：C
解析：因为 在 上是增函数，所以 ；
因为 在 上是减函数，所以 ；
当 时， ，所以C不成立；
因为 ；所以 .故选C.
4.答案：D
解析：由已知函数图像可知，有一段时间该同学离家距离保持不变，结合选项可知只有D中的路线符合要
求.故选D.
5.答案：C
解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，所以该命题的否定为“ ， ”.故选C.
6.答案：B
解析：当 时， ， 是 的最小值，所以 ，
当 时， ，当且仅当 时等号成立，要满足 是 的最小值，需，即 ，解得 .
所以 的取值范围是 .故选B.
7.答案：A
解析：荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“积跬步”是“至千里”的必要
不充分条件.故选A.
8.答案：B
解析：由 得 ，又 ，因为 ，
，所以原式 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立.故选B.
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分。
9.答案：BC
解析：若 ， ，而 ，故整数集不是“紧密集合”，A错误；
根据“紧密集合”的性质，知实数集是“紧密集合”，B正确；
集合 是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确；
集合 是“紧密集合”，当 ， 时， ，D错误，
故选BC.
10.答案：ACD
解析：对于A，由已知可得函数 在区间 上单调递增，由 ，解得 或
（舍去），所以 ，A正确；
对于B，若存在跟随区间 ，因为函数在单调区间上单调递减，则由 解得
或 ，不满足 ，故不存在，B不正确；
对于C，由已知得，函数在定义域上单调递减，若存在跟随区间 ，则有 即两式作差得， ，即 ，又
，所以 ，易得 ，所以 ，
设 ，由于 ，所以 ，即 ，则 ，解
得 ，C正确；
对于D，若函数存在3倍跟随区间，设定义域为 ，值域为 ，当 时，易得函数在定义
域上单调递增，则 ， 是方程 的两个不相等的实数根，解得 或 ，故存在定
义域为 使得值域为 ，D正确.故选ACD.
三、填空题：本题共2小题，每小题4分，共8分。
11.答案：
解析：设 ，
由 ，得
所以 ，又 ，所以 ，
即 的取值范围是 .
12.答案：
解析：令 ，又 为 上的奇函数，
所以 为 上的偶函数，且 ，又对任意 ，当 时，都有 ，
即相当于 ，
所以 在 上单调递减，
又 ，所以 ，
所以不等式 ，
即 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 中，要满足 成立，
还需 ，即
所以 .
四、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
13.（8分）
解析：
（1）
……（4分）
（2）因为 ，所以 ，
又 ，所以 .……（8分）
14.（8分）
解析：
（1）因为 ，所以 ，即 ，所以 ……（2分）
（2）由于 ，所以其定义域为 ，……（3分）又 在 上是增函数.……（4分）
由 可得 ，解得 ，……（7分）
所以实数 的取值范围为 .……（8分）
15.（8分）
解析：
（1）当 时，函数 ， ，所以函数 的最大值为 ，最小
值为 .……（2分）
（2） 的对称轴为直线 ；
①当 ，即 时，此时 在 上单调递增，所以当 时函数取得最小值
；……（4分）
②当 ，即 时，此时 在 上单调递减，所以当 时函数取得最小值
；……（6分）
③当 ，即 时，此时 在 上先减后增，所以函数在 时取得最小值，
即 .……（8分）
16.（12分）
解析：
（1）因为对于任意 ，都有 ，所以令 ，得 ，
所以 .……（2分）（2） 为偶函数.……（3分）
证明如下： 的定义域关于原点对称，
令 ，有 ，所以 .
令 ， ，有 ，
所以 ，所以 为偶函数.……（7分）
（3）依题设有 ，由（2）知 是偶函数，
所以 等价于 ，……（9分）
又 在 上是增函数，
所以 ，
解得 且 ，
所以 的取值范围是 .……（12分）
17.（12分）
解析：
（1）对于函数模型：（I） ，
用验证条件③时，当 时， ，而 ，
即 不恒成立，故不符合公司要求；……（2分）
对于函数模型：（II） ，
当 时，条件① 是增函数满足，
所以 ，满足条件②；对于条件③，记 ，
则 ，
因为 ，所以当 时，
，
所以 恒成立，即条件③也成立.
故函数模型（Ⅱ） 符合公司要求.……（6分）
（2）因为 ，所以函数 符合条件①，
由函数 符合条件②，
得 ，解得 ；……（8分）
由函数 符合条件③，
得 对 恒成立，……（9分）
即 对 恒成立.
因为 ，当且仅当 ，
即 时等号成立，所以 ，……（11分）
综上所述，实数 的取值范围是 .……（12分）
