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第七章 随机变量及其分布--复习与小结 ---A基础练
一、选择题
1．（2021·全国高二专题练）甲、乙两名运动员练习定点投球，已知在该点每次投篮甲命中的概率
是0.8，乙命中的概率是0.9，每人投两次，则甲、乙都恰好命中一次的概率为（ ）
A．0.32 B．0.18 C．0.50 D．0.0576
【答案】D
【详解】甲命中一次的概率为 ×0.8×(1－0.8)＝0.32，乙命中一次的概率为 ×0.9×(1－0.9)＝
0.18，他们投篮命中与否相互独立，所以甲、乙都恰好命中一次的概率为P＝0.32×0.18＝0.0576.故
选：D.
2．（2021·全国高二月考）某工厂的一台流水线生产质量稳定可靠，已知在正常工作状态下生产线
上生产的零件内径尺寸 (单位： )服从正态分布 .甲､乙两名同学正进行尺寸测量练习.
甲､乙对各自抽取的 个零件测量零件内径尺寸(单位： )如下，甲同学测量数据： ， ，
， ， ；乙同学测量数据： ， ， ， ， .则可以判断（ ）
A．甲､乙两个同学测量都正确 B．甲､乙两个同学测量都错误
C．甲同学测量正确，乙同学测量错误 D．甲同学测量错误，乙同学测量正确
【答案】C
【详解】 ， ，即 ；
甲同学测量的数据均落在 之间，测量数据正确；乙同学测量的数据中有两个数据落在
之外，即小概率事件发生，知其测量错误.故选：C.
3．（2021·无锡市才智教育培训中心高二月考）一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，
从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，设此时盒中旧球个数为X， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球的个数 ，即旧球的个数增
加了2个，所以，取出的3个球必为2个新球1个旧球，
所以， .故选：A.
4．（2021·全国高二专题练）已知 ，随机变量 的分布列如下，当 增大时（ ）
0 1
A． 增大， 增大 B． 减小， 增大
C． 增大， 减小 D． 碱小， 减小
【答案】B
【详解】 ， 当 增大时， 减小，
，
在 上随 的增大而增大，故选：B．
5．（多选题）（2021·湖南永州市高二）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗
历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单
位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和 道填空题)，不放回地依次随机抽取 道题
作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第 次抽到选择题”，则下列结论中正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC【详解】 ,故A正确； ，故B正确；
，故C正确；
， ， ，故D错误.
故选: ABC
6．（多选题）（2021·长沙市湖南师大附中高二月考）下列命题中，正确的命题有（ ）
A．已知随机变量服从二项分布 ，若 ， ，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
D．若某次考试的标准分 服从正态分布 ，则甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过
90分的概率为
【答案】BCD
【详解】根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得 ，
，解得 ，所以A错误；根据数据方差的计算公式可知，将一组数据
中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以B正确；由正态分布的图象的对称性可得
，所以C正确；甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率 ，故D正确.故选：BCD
二、填空题
7．（2021·全国高二专题练）已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为
，两个路口连续遇到红灯的概率为 ，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇
到红灯的概率为___________．
【答案】
【详解】设事件A：第一个路口遇到红灯，事件B：第二个路口遇到红灯，
则 ， ， .
8．（2021·全国高二专题练）某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每
个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概
率为 ，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是________．
【答案】
【详解】在一轮投篮中，甲通过的概率为 ，未通过的概率为 .
甲3个轮次通过的次数X服从二项分布X～ ，
由二项分布的期望公式，得E(X)＝3× ＝
9．（2021·湖北高二）一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这种新药的4个病人中
至少3人被治愈的概率为_______（用数字作答）．
【答案】0.9744
【详解】解：由题意知本题分情况讨论：若共有3人被治愈，则 ；若共有4人被治愈，则 ， 至少有3人被治愈概率 ．
10．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 ， ， ， ， 的卡片中随机摸取
一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡
片上数字之差的绝对值的 倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量 和 分别表示赌客在一局
赌博中的赌金和奖金，则 ________（元）．
【答案】
【解析】赌金的分布列为
1 2 3 4 5
P
所以
奖金的分布列为
1.4 2.8 4.2 5.6
P
所以
三、解答题
11．（2019·天津高考）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、
乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学
期望；
（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 发生的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为 ，
故 ，从面 .
所以，随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
随机变量 的数学期望 .
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为 ，则 .
且 .
由题意知事件 与 互斥，
且事件 与 ，事件 与 均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
12．（2021·全国高二专题练）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类
制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上.截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.武汉市在实
施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社
区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右
的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：
垃圾量 [12.5， [15.5， [18.5， [21.5， [24.5， [27.5， [30.5，
X
15.5） 18.5） 21.5） 24.5） 27.5） 30.5） 33.5]
频数 5 6 9 12 8 6 4
（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值 （精确到0.1）；
（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N（μ，σ2），其中μ
近似为（1）中的样本平均值 ，σ2近似为样本方差s2，经计算得s＝5.2.请利用正态分布知识估计
这320个社区中“超标”社区的个数.
（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定
对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查.现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟
踪调查，设Y为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y的分布列与数学期望.
（参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）
≈0.9974）
【答案】(1)22.8；(2)51；（3）分布列见解析，
【详解】（1）由频数分布表得：
，
所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨；
（2）由（1）知 ， ， ，
，
，
所以这320个社区中“超标”社区的个数为51；
（3）由频数分布表知：8个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，所以的可能取值为1，2，3，4，且 ， ，
， ，
所以 的分布列为：
1 2 3 4
．
