江西省赣州市 2024-2025 学年高一上学期 1 月期末数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 ， ，则 ( )
A={x|x=2n,n∈N} B={x|x2-5x-6≤0} A∩B=
A. {2,4} B. {0,2,4} C. {2,4,6} D. {0,2,4,6}
2.为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高
一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是71，73，80，85，90，92，94，95，98，
100，则60%分位数为( )
A. 92 B. 93 C. 94 D. 87.8
1 1
3.已知事件A，B相互独立，且P(A)= ，P(B)= ，则P(AB)=( )
3 4
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 12 3 3
m
4.若函数f(x)=1- 为奇函数，则( )
2x+1
A. m=2 B. m=1 C. m=-1 D. m=0
5.命题“m∈(2,+∞)”为真命题的充分不必要条件是( )
A. m≥2 B. m≥3 C. m>2 D. m≥1
6.某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可
以得到下一代 粒种子，则第 代得到的种子数为( ) 参考数据： ，
120 10 ( 1.29≈5.16 1.210≈6.19)
A. 5.16×109 B. 6.19×1010 C. 5.16×1018 D. 6.19×1020
7.函数 ，且 ，则 和 的不等关系正确的是( )
f(x)=x2-2x+2 a>b>1 f(ax ) f(bx )
A. B. C. D.
f(ax )>f(bx
)
f(ax )<f(bx
)
f(ax )≥f(bx
)
f(ax )≤f(bx
)
8.给定函数y=f(x)，若实数x 使得f(x )=x ，则称x 为函数f(x)的不动点;若实数x 使得f(x )=-x ，
0 0 0 0 0 0 0
则称 为函数 的次不动点 若函数 在区间 上有且仅有一个不动点和一个
x f(x) . g(x)=log (4x-m⋅2x ) [0,1]
0 2
次不动点，则实数m的取值范围是( )
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1 127 7
A. [0,1] B. (0,1) C. [0, ] D. [1, ]
4 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
1 1
A. 命题“∀x∈(1,+∞)，都有 <1”的否定为“∃x ∈(1,+∞)，使得 ≥1”
x 0 x
0
B. 函数 单调递增区间是
f(x)=log (-x2+2x+3) (-∞,1)
3
C. “a=1”是“函数f(x)=|x-1|在区间(a,+∞)单调递增”的充分不必要条件
D. 不等式ax2+ax+1>0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是0<a<4
10.设函数 1+x2，则下列结论正确的是( )
f(x)=
1-x2
1
A. f(x)为偶函数 B. f( )=-f(x)(x≠0)
x
C. f(x)在(1,+∞)单调递增 D. f(x)的值域为(-∞,-1]∪[1,+∞)
11.若m，n均为正实数，满足2m+n=1，则以下结论中正确的有( )
1 1
A. log m+log n的最大值为-3 B. + 的最小值为4√2
2 2 m n
2 9 1
C. + 的最小值为5 D. m2+n2的最小值为
m+1 n+2 5
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
1
12.函数f(x)=4x+log x，则f(f( ))= ．
2 2
13.若函数f(2x-1)的定义域为(0,2)，则函数f(x)的定义域为 ．
14.函数
f(x)=
{3|log
2
x|,0<x≤2
，若函数
y=f(x)-m
有四个不同的零点
x
，
x
，
x
，
x2-8x+15,x>2 1 2 3
x (x <x <x <x )
，则(x
3
-2)(x
4
-2)的取值范围是 ．
4 1 2 3 4 x x x
1 2 3
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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2 1215.(本小题13分)
设全集为 ，已知集合 ， ．
U=R A={x|m+1≤x≤3m-1} B={x|1≤2x-1≤8}
(1)当m=2时，求(∁ A)∪B;
U
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数 为幂函数．
f(x)=(2a2-3a+2)xa (a≠1)
(1)判断函数f(x)的单调性，并加以证明;
(2)若不等式(m+2)⋅f(x)-x≤m+5在区间[1,+∞)上恒成立，求实数m的取值范围．
17.(本小题15分)
近年来，中国新能源汽车持续领跑全球，引领着全球汽车产业的转型发展浪潮，2024年中国新能源汽车产
销突破1000万辆.现有某种型号的新能源汽车经多次实验得到每小时耗电量Q(单位：W h)与速度v(单位：
km/h)的数据如下表所示．
v 0 10 30 70
Q 0 1320 3240 7560
1
为了描述该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q(v)= v3+bv2+cv，
50
8
Q(v)=100⋅( ) v+a，Q(v)=1000log v+b．
9 a
(1)当0≤v<80时，选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，请说明理由;并求出相应的函数解析
式;
(2)当0≤v<80时，该型号新能源汽车应以多少速度行驶时百公里耗电量M(v)(单位：W h)最小?并计算
出该最小值．
18.(本小题17分)
赣州市是我国当今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之誉，是客家先民中原南迁的第一站，世称“客
家摇篮”，被命名为“国家历史文化名城”、“中国优秀旅游城市”.目前，赣州市形成了“红色故都、客
家摇篮、江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌.2024年国庆假期，赣州旅游再次火
爆“出圈”.据统计，10月1日至7日，全市共接待游客1050.07万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某
研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，并将收集到的游客满意度分值数据(满分100分)
分成六段：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方
图．
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3 12(1)求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的中位数(结果保留整数);
(2)用分层随机抽样的方法从[70,90)中抽取5个人，再从这5个人中随机抽两人进行深入访谈，求2人满意
度分值在同一区间的概率;
已知满意度分值在 的平均数 ，方差 ，在 的平均数为 ，方差 ，试
(3) [70,80) z =78 s2=9 [80,90) z =88 s2=4
1 1 2 2
求满意度分值在[70,90)的平均数z和方差s2．
19.(本小题17分)
函数y=f(x)图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数.可以将其推广为：函
数y=f(x)图象关于点P(m,n)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+m)-n为奇函数.已知函数
1
f(x)=2x-1- +2．
2x-1
(1)证明：函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称图形;
判断函数 的单调性 不需要证明 ，若 ，求实数 的取值范围．
(2) y=f(x) ( ) f(x2 )+f(3x-2)<4 x
若函数 在区间 上的值域为
λ(2a-4) λ(2b-4)
，求实数 的取值范围．
(3) f(x) [a,b] [ , ] λ
2a 2b
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4 12答案和解析
1.【答案】D
【解析】集合A={x|x=2n,n∈N}={0,2,4,6,8,⋯}，
又 ，
B={x|x2-5x-6≤0}={x|-1≤x≤6}
则A∩B={0,2,4,6}，
故选D．
2.【答案】B
【解析】因为i=10×60％=6，
92+94
故60%分位数为 =93，
2
故选B．
3.【答案】A
1 2
【解析】由P(A)= ，得P(A)=1-P(A)= ，
3 3
1
则P(AB)=P(A)P(B)= ，
6
故选A．
4.【答案】A
m
【解析】函数f(x)=1- 为奇函数，且定义域为R，
2x+1
m
则f(0)=1- =0，解得m=2，
2
经检验，当m=2时，f(x)是奇函数，
则m=2，
故选A．
5.【答案】B
【解析】要求命题“m∈(2,+∞)”为真命题的充分不必要条件，
只需要求(2,+∞)的真子集即可，
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5 12由选项可知，只有B满足题意，
故选B．
6.【答案】C
【解析】
由题意，从第 代到第 代种子数构成了一个等比数列 ，
1 n {a }
n
该等比数列的首项 ，公比 ，则 ，
a =1 q=120 a =120n-1
1 n
则 ． ．
a =1209=1 29×1018≈5.16×1018
10
故第10代得到的种子数约为5.16×1018．
故选C．
7.【答案】C
【解析】 ．
∵f(x)=x2-2x+2
，
∴f(ax )-f(bx )=(ax-bx )(ax+bx-2)
∵a>b>1，
∴若x⩾0，则ax ⩾bx ⩾1，此时ax-bx ⩾0，ax+bx-2⩾0，
则 ，即 ；
(ax-bx )(ax+bx-2)⩾0 f(ax )⩾f(bx
)
若x<0，则ax<bx<1，此时ax-bx<0，ax+bx-2<0，
则 ，即
(ax-bx )(ax+bx-2)>0 f(ax )>f(bx ).
综上， ，
f(ax )⩾f(bx
)
故选C．
8.【答案】A
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6 12【解析】由于函数 在区间 上有且仅有一个不动点和一个次不动点，
g(x)=log (4x-m⋅2x ) [0,1]
2
所以 以及 ，都有且仅有 个根，
log (4x-m⋅2x )=x log (4x-m⋅2x )=-x 1
2 2
由 ，即 ，即 在 有且仅有 个根，
(1) log (4x-m⋅2x )=x 4x-m⋅2x=2x m=2x-1 [0,1] 1
2
即20-1⩽m⩽21-1，即0⩽m⩽1，
1
(2)由log (4x-m⋅2x )=-x，即4x-m⋅2x=2-x，即m=2x- 在[0,1]有且仅有1个根，
2 4x
1
易得函数y=2x-
在[0,1]上单调递增，
4x
1 1 7
则20- ⩽m⩽21-
，即0⩽m⩽ ，
40 41 4
综合(1)、(2)可知，0⩽m⩽1，
故选A．
9.【答案】AC
1 1
【解析】对于A，命题“∀x∈(1,+∞)，都有 <1”的否定为“∃x ∈(1,+∞)，使得 ≥1”故A正
x 0 x
0
确；
对于 ，函数 是由函数 和 复合而成，
B f(x)=log (-x2+2x+3) y=log u u=-x2+2x+3
3 3
由于函数y=log u单调递增，解-x2+2x+3>0，得-1<x<3，
3
函数u=-x2+2x+3的单调递增区间为(-1,1)，
故函数 单调递增区间是 ，故B错误；
f(x)=log (-x2+2x+3) (-1,1)
3
对于C，函数f(x)=|x-1|在区间(a,+∞)单调递增，所以a⩾1，
a=1能推出a⩾1，而a⩾1不能推出a=1，所以“a=1”是“函数f(x)=|x-1|在区间(a,+∞)单调递
增”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，不等式ax2+ax+1>0对任意x∈R恒成立，当a=0时，1>0恒成立，故a的值可以为0，故D错
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7 12误，
故选AC．
10.【答案】ABC
【解析】A选项，易得函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，
1+(-x) 2 ，故 为偶函数，故A选项正确．
f(-x)= =f(x) f(x)
1-(-x) 2
1
1+( ) 2
1 x x2+1 1+x2 x2+1
B选项，f( )= = ，-f(x)=- = ，
x
1-(
1
) 2
x2-1 1-x2 x2-1
x
1
所以f( )=-f(x)(x≠0)，故B选项正确；
x
选项，因为 1+x2 -(1-x2 )+2 2 ，
C f(x)= = =-1+
1-x2 1-x2 1-x2
设 ，因为 在 上单调递减，所以 1+x2在 单调递增，故C选项正
y=1- x2 y=1- x2 (1,+ ∞) f(x)= (1,+ ∞)
1-x2
确；
2
D选项，由C选项知f(x)=-1+ ，
1-x2
2 2
因为1- x2 ⩽1，则 ∈(-∞,0)∪[2,+∞)， -1+ ∈(-∞,-1)∪[1,+∞),
1-x2 1-x2
函数f(x)的值域为 (-∞,-1)∪[1,+∞)，故D错误．
故选ABC．
11.【答案】AD
【解析】因为 2m+n=1，
1
又因为 2m+n⩾2√2mn，即 mn⩽ ，
8
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8 121
当且仅当n=2m= 时等号成立，
2
1
log m+log n=log mn⩽log =-3，故log m+log n的最大值为-3，
2 2 2 28 2 2
故A正确；
1 1 1 1 n 2m
因为 + =(2m+n)( + )=3+ + ⩾3+2√2，
m n m n m n
当且仅当 n=√2m且 2m+n=1，
√2
即 m=1- ,n=√2-1时等号成立，故B错误；
2
因为2m+n=1，所以2(m+1)+n+2=5
2 9 1 2 9
+ = ( + )[2(m+1)+n+2]
m+1 n+2 5 m+1 n+2
1 2(n+2) 18(m+1) 1
= (13+ + )⩾ ×(13+12)=5，
5 m+1 n+2 5
当且仅当 n=3m+1且 2m+n=1，
即m=0，n=1时，等号成立，
又实数 m>0,n>0，所以等号不成立，故C错误；
因为 m2+n2=m2+(1-2m) 2=5m2-4m+1=5 ( m- 2) 2 + 1，
5 5
2 1 1
当m= ，n= 时，m2+n2的最小值为 ，故D正确．
5 5 5
故选AD．
12.【答案】4
【解析】因为 ，
f(x)=4x+log x
2
所以 1 1 1 ．
f( )=42+log =2-1=1
2 22
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9 121
则f(f( ))=f(1)=4-0=4，
2
故答案为4．
13.【答案】(-1,3)
【解析】∵函数f(2x-1)的定义域为(0,2)，
∴0<x<2，
∴0<2x<4
∴-1<2x-1<3．
∴函数f(x)的定义域为(-1,3)．
故答案为(-1,3)．
14.【答案】(0,1)
【解析】因为 f(x)=
{3|log
2
x|,0<x≤2
，
x2-8x+15,x>2
当 时， ，可知其对称轴为 ，
x>2 f(x)=x2-8x+15=(x-4) 2-1 x=4
令x2-8x+15=0，解得x=3或x=5;
令x2-8x+15=3，解得x=2或x=6;
1
当0<x≤2时，f(x)=3|log x|，令3|log x|=3，解得x= 或x=2，
2 2 2
作出函数y=f(x)的图象，如图所示，
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10 12若方程f(x)=m有四个不同的实根x ，x ，x ，x (x <x <x <x )，
1 2 3 4 1 2 3 4
即y=f(x)图象与直线y=m有四个不同的交点，交点横坐标依次为x ，x ，x ，x (x <x <x <x )，
1 2 3 4 1 2 3 4
1
则 <x <1<x <2<x <3<5<x <6，
2 1 2 3 4
对于x ，x ，则|log x |=|log x |，可得log x +log x =log (x x )=0，所以x x =1;
1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2
对于x ，x ，则x +x =8，x ∈(2,3)，x ∈(5,6)，可得x =8-x ;
3 4 3 4 3 4 4 3
所以(x -2)(x -2) x x -2(x +x )+4 x (8-x )-12 12 ，
3 4 = 3 4 3 4 = 3 3 =-(x + )+8
x x x x x 3 x
1 2 3 3 3 3
12 12
由对勾函数可知y=-(x + )+8在(2,3)上单调递增，得-(x + )+8∈(0,1)，
3 x 3 x
3 3
所以(x -2)(x -2)的取值范围是 ．
3 4 (0,1)
x x x
1 2 3
故答案为(0,1)．
15.解：(1)当m=2时，A={x|3≤x≤5}，
∁
A={x|x<3或x>5}，
U
又因为 ，
B={x|1≤2x-1≤8}={x|1≤x≤4}
则(∁ A)∪B={x|x⩽4或x>5}．
U
(2)因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分条件，则A⊆B，
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11 12集合A={x|m+1≤x≤3m-1}，B={x|1≤x≤4}，
当A=⌀时，m+1>3m-1，即m<1.符合题意；
{m+1⩽3m-1
5
当A≠⌀时， m+1⩾1 ，解得：1⩽m⩽ ．
3
3m-1⩽4
5
综上所述，实数m的取值范围是{m|m⩽ }.
3
16.解：(1)函数f(x)为幂函数，则2a2-3a+2=1，
即(2a-1)(a-1)=0，
1
因为a≠1，所以a= ，
2
1
得
f(x)=x2
，则函数f(x) 在 [0,+∞) 上单调递增，
下面证明：
任取x ,x ∈[0,+∞),且x <x ，
1 2 1 2
x -x
则 f(x )-f (x )=√x -√x = 1 2 ，
1 2 1 2 √x +√x
1 2
因为 ，所以 ，而 ，
x <x x -x <0 √x +√x >0
1 2 1 2 1 2
得 ，即 ，
f(x )-f (x )<0 f(x )<f (x )
1 2 1 2
故函数f(x)在[0,+∞)上单调递增．
(2)由不等式(m+2)⋅f(x)-x≤m+5得，
(m+2)√x-x⩽m+5，
令t=√x，由x⩾1，得，t⩾1，
不等式变为： ，
(m+2)t-t2 ⩽m+5
得 ，
m(t-1)⩽t2-2t+5
第 页，共 页
12 12当t=1时，上式恒成立，
t2-2t+5
当t>1时，m⩽ ，
t-1
t2-2t+5 4 √ 4
而 =t-1+ ⩾2 (t-1)· =4，
t-1 t-1 t-1
当且仅当t=3时等号成立，
则m⩽4，
故实数m的取值范围为：(-∞,4]
17.解：(1)对于Q(v)=1000log v+b ，当v=0 时，它无意义，所以不符合题意；
a
8
对于Q(v)=100⋅( ) v+a ，它显然是个减函数，所以不符合题意，
9
1
故选Q(v)= v3+bv2+cv ．
50
1
{ ×103+b×102+c×10=1320
根据提供的数据，则有 50 ，解得 ，
b=-2,c=150
1
×303+b×302+c×30=3240
50
1
当0⩽v<80 时，Q(v)= v3-2v2+150v ．
50
100
(2)设车速为vkm/h ，行驶时百公里所用时间为 h ，
v
100 1
所耗电量M(v)= ( v3-2v2+150v)
v 50
，
=2(v2-100v+7500)=2(v-50) 2+10000
要使耗电量达到最小，则v=50 ．
最小耗电量为10000W h ．
18.解：(1)由(0.005+0.010×2+0.020+a+0.025)×10=1，解得a=0.030;
满意度分值在[40,80)的频率为(0.005+0.010×2+0.020)×10=0.45<0.5，
在[40,90)的频率为(0.005+0.010×2+0.020+0.030)×10=0.75>0.5，
所以中位数落在区间[80,90)内，
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13 120.5-0.45 245
所以中位数为80+10× = ≈82;
0.3 3
(2)从[70,80)中抽取2人，记为A，B，
从[80,90)中抽取3人，记为a，b，c
所以5个人中随机抽取两人，抽取的结果有：
{(ab),(ac),(aA),(aB),(bc),(bA),(bB),(cA),(cB),(AB)}，共有10种情况，
4 2
取到2人满意度分值在同一区间有{(ab),(ac),(bc),(AB)}有4种情况，所以概率为 = ，
10 5
2
∴2人满意度分值在同一区间的概率为 ；
5
(3)满意度分值在[70,80)的频率为0.02×10=0.2，人数为20;
在[80,90)的频率为0.03×10=0.3，人数为30，
满意度分值在 的平均数 ，方差 ，
[70,80) z =78 s2=9
1 1
在 的平均数 ，方差 ，
[80,90) z =88 s2=4
2 2
20z +30z
所以满意度分值在[70,90)的平均数z= 1 2=84，
50
20 30
满意度分值在[70,90)的方差为s2= [s2+(z -z) 2 ]+ [s2+(z -z) 2 ]
50 1 1 50 2 2
=30．
19. (1)证明：由题意得：函数f(x)的定义域为R，
又 ，令 ，可知： ，
y=f(x+1)-2=2x-2-x g(x)=f(x+1)-2=2x-2-x g(-x)=2-x-2x
从而g(-x)=-g(x)，所以g(x)是奇函数，即y=f(x+1)-2是奇函数，
故函数f(x)图象关于点(1,2)成中心对称图形．
解： 在 上是增函数，
(2) g(x)=2x-2-x (-∞,+∞)
1
所以函数f(x)=2x-1- +2在(-∞,+∞)上也是增函数，
2x-1
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14 12由 可得 ，即 ，
f(x2 )+f(3x-2)<4 f(x2-1+1)-2+f(3x-3+1)-2<0 g(x2-1)+g(3x-3)<0
所以 ，又函数 在 上是增函数，
g(x2-1)<g(3-3x) g(x) (-∞,+∞)
所以x2-1<3-3x，即x2+3x-4<0，解得-4<x<1，
所以实数x的取值范围是(-4,1)．
解：由 在 上是增函数可得，函数 在区间 上的值域为
λ(2a-4) λ(2b-4)
也
(3) f(x) (-∞,+∞) f(x) [a,b] [ , ]
2a 2b
{ 2a-1-21-a+2=
λ(2a-4)
2a
就是 ,
λ(2b-4)
2b-1-21-b+2=
2b
所以 ， 是方程
λ(2x-4)的两个不相等实根，
a b 2x-1-21-x+2=
2x
1
令t=2x，则方程变为 t2-2+2t=λ(t-4)，
2
也就是需要方程 有两不等正根，
t2+2(2-λ)t+8λ-4=0
{4(2-λ) 2-4(8λ-4)>0
所以 ，解得 ，
8λ-4>0 λ>6+2√7
2-λ<0
所以实数λ的取值范围是(6+2√7,+∞)．
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