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1995 年吉林高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分，考试时间 120
分．
第Ⅰ卷(选择题共65分)
一、选择题(本大题共15小题,第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65
分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知I为全集，集合M，NI，若M∩N=N，则( )
(A) M N (B) M N (C) M N (D) M N
1
2．函数y= 的图像是( )
x1
3．函数y=4sin(3x+ )+3cos(3x+ )的最小正周期是( )
4 4
2
(A) 6π (B) 2π (C) (D)
3 3
4．正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是( )
a2 a2
(A) (B) (C) 2πa2 (D) 3πa2
3 2
第1页 | 共11页5．若图中的直线l，l，l的斜率分别为k，k，k，则( )
1 2 3 1 2 3
(A) karccosx成立的x的取值范围是( )
2 2 2
(A) 0， (B) ，1 (C)1， (D) 1，0
2 2 2
8．双曲线3x2－y2=3的渐近线方程是( )
1 3
(A) y=±3x (B) y=± x (C) y=± 3x (D) y=± x
3 3
5
9．已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ= ，那么sin2θ等于( )
9
2 2 2 2 2 2
(A) (B) (C) (D)
3 3 3 3
10．已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下面四个命题：
①α∥βl⊥m ②α⊥βl∥m ③l∥mα⊥β ④l⊥mα∥β
其中正确的两个命题是( )
(A) ①与② (B) ③与④ (C) ②与④ (D) ①与③
11．已知y=log(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是( )
a
(A) (0，1) (B) (1，2) (C) (0，2) (D) 2，
S 2n a
12．等差数列{a}，{b}的前n项和分别为S与T，若 n ，则lim n 等于( )
n n n n
T 3n1 nb
n n
6 2 4
(A) 1 (B) (C) (D)
3 3 9
13．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共( )
(A) 24个 (B) 30个 (C) 40个 (D) 60个
14．在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点(2c，0)，离心率为e，则它的极坐
标方程是( )
第2页 | 共11页c 1e c 1e2
(A) (B)
1ecos 1ecos
c 1e c 1e2
(C) (D)
1ecos e1ecos
15．如图，ABC－ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D，F分别是AB，AC的中点，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
若BC=CA=CC，则BD与AF所成的角的余弦值是( )
1 1 1
30 1 30 15
(A) (B) (C) (D)
10 2 15 10
第Ⅱ卷(非选择题，共85分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上)
x28
1
16．不等式 32x的解集是__________
3
17．已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为
，则圆台的体积与球体积之比为_____________
3
18．函数y=sin(x－ )cosx的最小值是____________
6
19．直线l过抛物线y2=a(x+1)(a>0)的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的
线段长为4，则a=
20．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有
__________种(用数字作答)
三、解答题(本大题共6小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
21．(本小题满分7分)
在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z，Z，Z，O (其中O是原
1 2 3
点)，已知Z对应复数Z 1 3i．求Z和Z对应的复数．
2 2 1 3
22．(本小题满分10分)求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．
23．(本小题满分12分)
第3页 | 共11页如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF
⊥DE，F是垂足．
(1)求证：AF⊥DB；
(2)如果圆柱与三棱锥D－ABE的体积的比等于3π，求直线DE
与平面ABCD所成的角．
24．(本小题满分12分)
某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供
政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8
≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：
P=1000(x+t－8)( x≥8，t≥0)，
Q=500 40
x8
2
(8≤x≤14)．
当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．
(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；
(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?
25．(本小题满分12分)
设{a}是由正数组成的等比数列，S是其前n项和．
n n
lgS lgS
(1)证明 n n2 lgS ；
2 n1
lg S c lg S c
(2)是否存在常数c>0，使得 n n2 lg S c 成立?并证明你的
2 n1
结论．
26．(本小题满分12分)
x2 y2
已 知 椭 圆 1， 直 线
24 16
x y
l: 1P．是l上点，射线OP交椭圆于点R，
12 8
又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|，当点P在l
上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
参考答案
第4页 | 共11页一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)
1．C 2．B 3．C 4．B 5．D 6．D 7．B 8．C 9 . A
10．D 11．B 12．C 13．A 14．D 15．A
二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)
7 3 3
16．{x|－20，q>0．
n 1
(i)当q=1时，S=na，从而
n 1
S·S －S2
n n+2 n1
=na·(n+2)a－(n+1)2a2
1 1 1
=－a2<0
1
a 1qn
(ⅱ)当q≠1时，S 1 ，从而
n 1q
第7页 | 共11页S·S －S2
n n+2 n1
a2
1qn
1qn2
a2
1qn1
2
1 1
1q
2
1q
2
=a2qn 0．
1
由(i)和(ii)得S·S －S2 ．根据对数函数的单调性，知
n n+2 n1
lg(S·S )0，使结论成立．
(ii)当q≠1时，若条件①成立，因为
(S—c)( S —c)－( S —c)2
n n+2 n+1
2
a 1qn a 1qn2 a 1qn1
= 1 c 1 c 1 c
1q 1q 1q
=－aqn[a－c(1－q)]，
1 1
a
且aqn≠0，故只能有a－c(1－q)=0，即c 1
1 1
1q
此时，因为c>0，a>0，所以00，使结论
n 1q 1q
成立．
综合(i)、(ii)，同时满足条件①、②的常数c>0不存在，即不存在常数c>0，使
lg S c lg S c
n n2 lg S c ．
2 n1
证法二：用反证法，假设存在常数c>0，使
lg S c lg S c
n n2 lg S c ，
2 n1
则有
S c 0，
n ①
S
n1
c 0,
②
S c 0,
n2 ③
(S c)(S c) (S c)2.
n n2 n1 ④
由④得
SS －S2 =c (S + S －2 S )． ⑤
n n+2 n1 n n+2 n+1
根据平均值不等式及①、②、③、④知
S + S －2 S
n n+2 n+1
=(S—c)+( S —c)－2(S —c) ≥2 S c S c －2( S —c)=0．
n n+2 n+1 n n2 n+1
因为c>0，故⑤式右端非负，而由(1)知，⑤式左端小于零，矛盾．故不存在常数
c>0，使
lg S c lg S c
n n2 =lg( S —c)
n+1
2
26．本小题主要考查直线、椭圆的方程和性
质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利
用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想
和综合运用知识的能力．
解法一：由题设知点Q不在原点．设P、R、
Q的坐标分别为(x，y)，(x，y)，(x，y)，其
P P R R
中x，y不同时为零．
第9页 | 共11页当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组
x2 y2
R R 1
24 16
y y
R
x x
R
解得
48x2 ①
x2
R 2x2 3y2
48y2
y2
R 2x2 3y2 ②
由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组
x y
p p 1
12 8
y y
p
x x
p
24x ③
x
p 2x3y
解得
24y
y
p 2x3y ④
当点P在y轴上时，经验证①－④式也成立．
由题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得
2
x2 y2 x2 y2 x2 y2
P P R R
将①－④代入上式，化简整理得
242
x2 y2
2
48
x2 y2
2x3y 2 2x2 3y2
因x与x同号或y与yp同号，以及③、④知2x+3y>0，故点Q的轨迹方程为
p
x1
2
y1
2
1(其中x，y不同时为零)．
5 5
2 3
10 15
所以点Q的轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为 和 且长轴与x轴平
2 3
行的椭圆、去掉坐标原点．
第10页 | 共11页解法二：由题设知点Q不在原点．设P，R，Q的坐标分别为(x，y)，(x，y)，(x，
p p R R
y)，其中x，y不同时为零．
设OP与x轴正方向的夹角为α，则有
x=|OP|cosα，y=|OP|sinα；
p p
x=|OR|cosα，y=|OR|sinα；
R R
x=|OQ|cosα，y=|OQ|sinα；
由上式及题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得
OP
x x, ①
P OQ
OP
y y,
P OQ ②
OP
x2 x2,
R OQ
③
OP
y2 y2,
R OQ
④
由点P在直线l上，点R在椭圆上，得方程组
x y
P P 1， ⑤
12 8
x2 y2
R R 1， ⑥
24 16
将①，②，③，④代入⑤，⑥，整理得点Q的轨迹方程为
x1
2
y1
2
1(其中x，y不同时为零)．
5 5
2 3
10 15
所以点Q的轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为 和 且长轴与x轴平行
2 3
的椭圆、去掉坐标原点．
第11页 | 共11页
