文档内容
2023—2024 学年第二学期高一期末调研考试
数学试题
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写
在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若复数z满足 ，则复数z的虚部为（ ）
A. 1 B. －1 C. D.
2. 已知直线m，平面 、 、 ，下面条件能推出 的是（ ）
A. ， B. ，
C. m与 、 所成的角相等 D. ，
3. 若一组数据3，4，m，7，9的平均数为6，则这组数据的方差是（ ）
A. 3 B. C. D.
4. 在 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ， ， ，则c为（
）
A. B. C. D. 5
5. 底面积是 ，侧面积是 的圆锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
6. 在正三棱柱 中， ，则点A到平面 的距离为（ ）
A. B. C. D. 1
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司7. 一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为
3，4.从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是红
球”，C表示事件“取出的两球同色”，则下列说法错误的是（ ）
A. A与C互斥 B. A与B相互独立 C. D.
8. 已知 的外接圆圆心为O，且 ， ，点D是线段BC上一动点，则
的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 是虚数单位，下列说法中正确的是（ ）
A. 若 ， 互为共轭复数，则
B. 若复数z满足 ，则复数z对应的点在以点 为圆心，3为半径的圆上
C. 复数 与 分别表示向量 与 ，则表示向量 的复数为
D. 若 是关于x的方程 的一个根，其中p，q为实数，则
10. 设Ox，Oy是平面内相交的两条数轴，其中 （ 且 ）， ， 分别是与x轴，
y轴正方向同向的单位向量.若平面向量 满足 ，则有序数对 称为向量 在“仿射”坐
标系xOy下的“仿射”坐标，记作 ，下列命题中是真命题的是（ ）
A. 已知 ，则
B. 已知 ， ，则
C. 已知 ， ，则
D. 已知 ， ，若 ，则
11. 正方体 的棱长为2，点M是四边形 内部及边界上一动点，点P是棱 上
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司靠近点A的三等分点，下列结论正确的有（ ）
A.
B. 当直线AM与平面 所成的角为 时，点M的轨迹长度为
C. 若 ，则点M的运动轨迹长度为
D. 直线 被正方体 的外接球所截得的线段的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量 ， ，若 ，则 ______.
13. 在山脚A测得山顶P的仰角 ，沿倾斜角 的公路向上走600m到达B处，在B处测得山
顶P的仰角 ，如图，若在山高的 处的点S位置建造下山索道，则此索道离地面的高度为
______m.
14. 我国古代《九章算术》中将底面为矩形，顶部为一条棱，且棱与底面平行的五面体称为刍甍，如图，
刍甍 有外接球，且 ， ， ， ，则该刍甍
外接球的表面积为______.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
“青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动.某
市宣传部门为了了解广大青年的学习情况，从全市随机抽取了1000名共青团员进行调查，统计他们2023
年下半年的学习时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计学习时长的样本数据的67%分位数；
（2）为了解广大青年学习的具体情况，现采用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中再抽取50人参加
座谈，则参加座谈的共青团员中学习时长在区间 内的有多少人？
16.（15分）
如图在长方体 中， ， ，点E在棱AB上移动.
（1）证明： ；
（2）若点E满足 ，求二面角 的平面角的正切值.
17.（15分）
甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：每次比赛两人上场比赛，第三人为裁判，一局结束后，
败者下场作为裁判，原裁判上场与胜者比赛，按此规则循环下去，共进行4局比赛.三人决定由乙、丙先上
场比赛，甲作为裁判.
（1）第一局比赛开始前，丙提出由掷骰子决定谁先发球，连续抛掷一枚质地均匀的六面体骰子两次，记
下骰子朝上的点数，若两次点数之和为6则由乙发球，两次点数之和能被4整除则由丙发球，用所学知识
判断这个方法公平吗？并说明理由；
（2）三人实力相当，在每局比赛中战胜对手的概率均为 ，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局，求
在四局比赛中甲当2局裁判的概率.
18.（17分）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司一块四棱锥木块如图所示， 平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，且 ，
.
（1）要经过点B、D将木料锯开，使得截面平行于侧棱SA，在木料表面该怎样画线？并说明理由；
（2）计算（1）中所得截面的面积；
（3）求直线SC与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.
19.（17分）
阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长
与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即
如果AD是 中BC边上的中线，则 .
（1）若在 中， ， ， ，求此三角形BC边上的中线长；
（2）请证明题干中的定理；
（3）如图 中，若 ，D为BC中点， ， ，
，求 的值.
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