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河北省保定市六校联考2025-2026学年高一上学期11月期中
数学试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3．已知函数 ，则 （ ）
A．8 B． C． D．
4．已知二次函数 的图象如图所示，则函数 和 在第一象限的图象可能为
（ ）
A． B． C． D．5．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
6．已知正实数x，y满足 ，且使得不等式 恒成立，则实数 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数 的定义域为 ，且 在 上单调递减，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B． 是真命题C．如果集合A满足 ，则满足条件的集合A的个数为7个
D．设 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
10．下列四个命题中正确的是（ ）
A．
B．若 ， ，且 ，则 的最小值为9
C．若 的定义域为 ，则 的定义域为
D．若 ，则 的解析式为
11．已知定义在 上函数 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① ；②
，当 时，都有 ；③ .则下列选项成立的是（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D． ，使得
三、填空题
12．命题“ ， ”的否定是 .
13．已知函数 是定义在 上的奇函数， 时， ，则函数 在 上的解析
式为
14．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 .
四、解答题15．已知集合 ， .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)设命题 ，命题 ，若 是 成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
16．已知幂函数 在 上单调递增.
(1)求实数 的值；
(2)求关于 的不等式 的解集.
17．已知二次函数 ，满足当 时， 取得最大值2，且 .
(1)求二次函数 的表达式；
(2)若 ，求函数 的最大值 ；
(3)已知函数 的值域为 ，求实数 的取值范围.
18．已知定义在 上的函数 满足：对 ，都有 ，且当
时， ．
(1)判断函数 的奇偶性并用定义证明；
(2)判断函数 在 上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)解不等式： ．
19．若实数x，y，m满足 ，则称 比 接近 ．
(1)若4比 接近0，求 的取值范围；
(2)对于任意的两个不等正数 ，判断 是否比 接近 ，并说明理由；(3)若对于任意的非零实数 ，实数 比 接近 ，求 的取值范围．1．C
应用并集定义计算求解.
【详解】因为集合 ， ，则 .
故选：C.
2．B
根据不等式的性质，结合作差法比较大小，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】选项A：若 ，满足 ，但 ，故A错误；
选项B：若 ，且 ，则 ，故B正确；
选项C：若 ，满足 ，但 ，故C错误；
选项D： ，因为 ，当 时 ，即 ，故D错误.
故选：B
3．B
先求 ，再求 得解.
【详解】因为 ，所以 .
故选：B.
4．B
由已知图象可确定 与 的正负情况，进而判断根据幂函数单调性判断各选项正误.
【详解】因为二次函数 的图象开口向上，所以 ，又对称轴在 轴右侧，则 ，所以
，
则在第一象限，根据幂函数的单调性可得 单调递增， 单调递减．
故选：B.
5．D
根据函数的定义域即可判断选项A和选项B；化简函数的解析式，再结合其定义域即可判断选项C和选项
D．【详解】对于选项A，由 ，解得 ，所以 的定义域为 ，
又 ，解得 或 ，所以 的定义域为 ，
即 与 的定义域不同，所以它们不是同一个函数，故A错误；
对于选项B，由 的定义域为 ，而 的定义域为 ，
即 与 的定义域不同，所以它们不是同一个函数，故B错误；
对于选项C，由 ，
所以 与 的对应关系不相同，即它们不是同一个函数，故C错误；
对于选项D，由 ，且定义域为 ，
又 定义域为 ，所以 与 的定义域相同，对应关系也相同，即它们是同一个函数，故D正
确．
故选：D．
6．D
利用基本不等式得出 ，结合题干信息得出 ，利用 即可.
【详解】因 ，则 ，等号成立时 ，
因 ，则 ，即 ，
解得 ，即 ，
因不等式 恒成立，则 ，故实数 的最小值是 .
故选：D
7．A
根据分段函数单调性结合一次函数及二次函数单调性列式计算求参.【详解】因为函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以 .
故选：A.
8．D
根据给定条件，利用对称性及单调性求解函数不等式.
【详解】由函数 的定义域为 ，得函数 的图象关于直线 对称，
又函数 在 上单调递减，则不等式 ，
即 ，解得 ，所以所求不等式的解集为 .
故选：D
9．ACD
利用充分条件、必要条件的概念可判定A、D，利用特称量词命题的概念可判定B，利用子集的概念结合
集合的性质可判定C.
【详解】对于A项，由 可知 ，满足充分性；由 知 可为负数，不能推出 ，
不满足必要性，故A正确；
对于D项，同理由 不能推出 ，因为 可能为0，即不满足充分性；
若 则 ，满足必要性，故D正确；
对于B项，显然方程 无实数根，即B错误；
对于C项，易知 中至少有2个元素 ，至多有4个元素，列举符合条件的情况如下：
共7个，故C正确.故选：ACD
10．BCD
由集合与集合的关系可判断A，由乘1法可判断B，由抽象函数定义域的求解可判断C，由配凑法可判断
D.
【详解】对于A，集合 的元素中没有 ，故A错；
对于B， ，
当且仅当 时取等号，故B正确，
对于C，由 的定义域为 ，得 ，
所以 的定义域为 ，C正确，
对于D， ，
又 ，
所以 ，D正确，
故选：BCD
11．ABD
根据已知得到函数的奇偶性和单调性，可判断A；解不等式可判断B和C；结合函数单调性判断函数的最
值可判断D.
【详解】由条件①得 是偶函数，条件②得 在 上单调递减，
所以 在 单调递增，又 ，所以 ，
因为定义在 上函数 的图象是连续不断的，
所以当 时， ；当 时， .
对于A， ，故A正确；对于B，若 ，则 ，即 ，
解得 或 ，则 ，故B正确；
对于C，若 ，则 或 ，
即 或 ，
解得 或 ，故C错误；
对于D，因为定义在 上的函数 的图象是连续不断的，
且在 上单调递减，在 单调递增，
所以 ，所以对 ，只需 即可，故D正确.
故选：ABD.
12． ，
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可直接写成命题的否定.
【详解】∵全称量词命题的否定是存在量词命题，
“ ， ”的否定是“ ， ”.
故答案为： ， .
13．
根据函数的奇偶性分别求出 和 时的解析式即可.
【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，
设 ，则 ，
则 ，所以 ，
所以 ，
故答案为： .
14．
根据二次函数单调性结合定义域列式计算求解.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
所以 或 ，
所以 ，
则实数 的取值范围是 .
故答案为： .
15．(1)
(2)
（1）根据包含关系求解即可；
（2）由题意可得 ，进而分 、 两种情况求解即可.
【详解】（1）由 ，则 ，解得 ，
则实数 的取值范围为 .（2）因为 是 成立的充分不必要条件，所以 ，
当 时， ，解得 ；
当 时，由 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围为 ．
16．(1)
(2)当 时，不等式解集为 ；当 时，不等式解集为；;当 时，不等式解集为 .
（1）根据幂函数的概念，结合 时，幂函数在 上单调递增即可解题；
（2）根据一元二次不等式的解集的求法，对 分类讨论，即可求解.
【详解】（1）因为函数 为幂函数，
所以 ，解得 或 .
当 时， ，在 上单调递增，符合题意；
当 时， ，在 上单调递减，不符合题意；
所以 .
（2）由（1）知 ，由 ，
得 .
当 ，即 时，不等式 无解；
当 ，即 时，不等式 解为 ；
当 ，即 时，不等式 解为 .
综上可得， 当 时，不等式 解集为 ；当 时，不等式 解集为 ；
当 时，不等式 解为 .
17．(1)
(2)
(3)
（1）根据已知条件，用待定系数法可求得二次函数 的表达式；
（2）讨论已知区间 与函数 的对称轴的关系，分析函数 在 上的单调性，即求出函
数 的最大值 ；
（3）根据函数 的值域为 ，可得 可以取到全部非负实数，由此可
得 在 上有解.令 ，可得实数 的取值范围.
【详解】（1）
由已知可得： ，解得： .
所以二次函数 的表达式为： .
（2）由题可知： 的对称轴为： .
所以函数 在 上单调递增；在 上单调递减.当 ，即 时，函数 在 上单调递增，所以函数 的最大值为
；
当 ，即 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 的最大值为 ；
当 时，函数 在 上单调递减，所以函数 的最大值为 .
综上所述，函数 的最大值 .
（3）由函数 的值域为 ，可得 可以取到全部非负实数.
所以 在 上有解，即 在 上有解.
所以 ，即 .
解得： ，或 .
故实数 的取值范围是 .
18．(1)函数 是奇函数，证明见解析
(2)函数 在 上单调递减，证明见解析
(3)
【详解】（1）函数 是奇函数，
证明：令 ，则 ，解得 ，
令 ，则 ，令 ，则 ．为定义在 上的奇函数．
（2）函数 在 上单调递减，
证明： ，设 ，则 ，
，
， ， ．
又 ， ，
又当 时， ，由（1）知 为定义在 上的奇函数．
则当 时， ， ，
，即 ，即 ，
在 上单调递减；
（3）因为 ，
由（1）知 为定义在 上的奇函数，
则 ，
的定义域为 且在 上是单调递减的，解得 ，
不等式的解集为 ．
19．(1)
(2) 比 接近 ，理由见解析
(3) ．
【详解】（1）由题意得： ，则 或 ，
求得 或 ，
所以 取值范围为 ；
（2）因为 且 ，所以 ，且 ，
所以
，则 ，
，即 比 接近 ．
（3）由题意： 对于x∈R， 恒成立，
当 时， ，当 时等号成立，当 时，则 ， ，当 时等号成立，
所以 ，则 .
综上， ．
